1、第二章第二章 直线和圆的方程直线和圆的方程 2.12.1 直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角与斜率 2.1.22.1.2 两条直线平行和垂直的判定两条直线平行和垂直的判定 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解并掌握两条直线平行的条件及两 条直线垂直的条件 2能根据已知条件判断两直线的平行与 垂直 3能应用两条直线的平行或垂直解决实 际问题. 通过对两条直线平行 与垂直的学习， 提升直 观想象、 逻辑推理和数 学运算的数学素养. 情情 景景 导导 学学 探探 新新 知知 魔术师的地毯 有一天，著名魔术大师拿了一块长宽都是 13 分米的地毯去找地 毯匠， 要求把这块正方形的地毯改制成宽 8 分米，
2、 长 21 分米的矩形， 地毯匠对魔术师说：这不可能吧，正方形的面积是 169 平方分米，而 矩形的面积只有 168 平方分米， 除非裁去 1 平方分米 魔术师拿出事 先准备好的两张图，对地毯匠说：“你就按图(1)的尺寸把地毯分成 四块，然后按图(2)的样子拼在一起缝好就行了，我不会出错的，你 尽管放心做吧”地毯匠照着做了，缝了一量，果真是宽 8 分米，长 21 分米魔术师拿着改好的地毯得意洋洋地走了而地毯匠还在纳 闷哩，这是什么回事呢？ (1) (2) 为了破解这个谜底，今天我们学习直线的平行与垂直 1两条直线平行与斜率之间的关系 类型 斜率存在 斜率不存在 条件 12_ 12_ 对应关系
3、l1l2_ l1l2两直线斜率都不存在 图示 90 90 k1k2 思考： 如果两条直线平行， 那么这两条直线的斜率一定相等吗？ 提示 不一定只有在两条直线的斜率都存在的情况下斜率才 相等 2两条直线垂直与斜率之间的关系 图示 对应关系 l1l2(两条直线的斜率都 存在，且都不为零) _ l1的斜率不存在， l2的斜率 为 0_ k1k21 l1l2 1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)平行的两条直线的斜率一定存在且相等 ( ) (2)斜率相等的两条直线(两直线不重合)一定平行 ( ) (3)只有斜率之积为1 的两条直线才垂直 ( ) (4)若两条直线垂直，则斜率乘积为1 ( )
4、提示 (1) (2) (3) (4) 2 已知 A(2,0)， B(3,3)， 直线 lAB， 则直线 l 的斜率 k 等于( ) A3 B3 C1 3 D 1 3 B kAB30 323，lAB，kl3. 3若直线 l1，l2的方向向量分别为(1，3)和(1，k)，且 l1l2， 则 k_. 1 3 由于 l1l2，则(1，3) (1，k)0， 即 13k0，k1 3. 4(教材 P58T6(1)改编)l1的斜率为2 3，l2 经过点 A(1,1)，B(0，m)， 当 l1l2时，m 的值为_ 1 2 由条件 l1l2 得2 3 m1 1 1，解得 m1 2. 合合 作作 探探 究究 释释
5、疑疑 难难 两直线平行的判定及应用 【例 1】 (1)根据下列给定的条件， 判断直线 l1与直线 l2是否平行 l1经过点 A(2,3)，B(4,0)，l2经过点 M(3,1)，N(2,2)； l1的斜率为1 2，l2 经过点 A(4,2)，B(2,3)； l1平行于 y 轴，l2经过点 P(0，2)，Q(0,5)； l1经过点 E(0,1)，F(2，1)，l2经过点 G(3,4)，H(2,3) 思路探究 (1)先求出两直线的斜率，再利用斜率进行判断； (2)利用两直线平行的条件建立方程，解方程求得 解 (1)kAB 30 24 1 2，kMN 21 231，kABkMN， 所以 l1与 l2
6、不平行 l1的斜率 k11 2，l2 的斜率 k232 24 1 2，k1k2，所以 l1 与 l2平行或重合 由题意，知 l1的斜率不存在，且不与 y 轴重合，l2的斜率也不 存在，且与 y 轴重合，所以 l1l2. 由题意，知 kEF11 201，kGH 34 231，kEFkGH，所以 l1与 l2平行或重合 需进一步研究 E，F，G，H 四点是否共线，kFG41 321. 所以 E，F，G，H 四点共线，所以 l1与 l2重合 (2)由题意知 CD 的斜率存在， 则与其平行的直线 AB 的斜率也存 在，kAB m 6m，kCD 2 4 1 2. 由于 ABCD，所以 kABkCD，即
7、m 6m 1 2.解得 m2. 经验证 m2 时，直线 AB 的斜率存在，故 m 的值为2. 判断两条不重合直线是否平行的步骤 跟进训练 1 已知ABCD 的三个顶点的坐标分别为 A(0,1)， B(1,0)， C(4,3)， 求顶点 D 的坐标 解 设 D(m，n)，由题意，得 ABDC，ADBC，则有 kAB kDC，kADkBC. 所以 01 10 3n 4m， n1 m0 30 41， 解得 m3， n4. 所以顶点D的坐标为(3,4). 两直线垂直的判定及应用 【例 2】 (1)判断下列各题中 l1与 l2是否垂直 l1经过点 A(1，2)，B(1,2)；l2经过点 M(2，1)，N
8、(2,1)； l1的斜率为10；l2经过点 A(10,2)，B(20,3)； l1经过点 A(3,4)，B(3,10)；l2经过点 M(10,40)，N(10，40) (2)已知直线 l1经过点 A(3，a)，B(a2,3)，直线 l2经过点 C(2,3)， D(1，a2)，如果 l1l2，求 a 的值 思路探究 (1)判断两直线垂直，当斜率存在时，利用 k1k2 1，若有一条斜率不存在时，判断另一条斜率是否为 0. (2)含字母的问题判断要分 k 存在和不存在两种情况来解题 解 (1)k122 112，k2 11 22 1 2， k1k21，l1与 l2不垂直 k110，k2 32 2010
9、 1 10，k1k21，l1l2. 由 A，B 的横坐标相等得 l1的倾斜角为 90 ，则 l1x 轴 k2 4040 10100，则 l2x 轴，l1l2. (2)因为直线 l2经过点 C(2,3)，D(1，a2)，所以 l2的斜率存在， 设为 k2. 当 k20，即 a23，亦即 a5 时，A(3,5)，B(3,3)，显然直线 l1的斜率不存在，满足 l1l2；当 k20，即 a23，亦即 a5 时， 显然 l1的斜率存在，设为 k1，要满足题意，则 k1k21，得 3a a23 a23 12 1，解得 a2.综上可知，a 的值为 5 或 2. 利用斜率公式来判定两直线垂直的方法 (1)一
10、看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线 的斜率不存在只需看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等， 则垂直，若不相等，则进行第二步 (2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式 (3)三求：计算斜率的值，进行判断尤其是点的坐标中含有参 数时，应用斜率公式要对参数进行讨论 跟进训练 2已知 A(m3,2)，B(2m4,4)，C(m，m)，D(3,3m2)， 若直线 ABCD，求 m 的值 解 A，B 两点纵坐标不相等， AB 与 x 轴不平行ABCD， CD 与 x 轴不垂直，m3，m3. 当 AB 与 x 轴垂直时，m32m4，解得 m1.当 m 1 时 C，D 两点的纵坐标均为1.
11、CDx 轴，此时 ABCD，满足题意 当 AB 与 x 轴不垂直时，由斜率公式得 kAB 42 2m4m3 2 m1， kCD3m2m 3m 2m1 m3 . ABCD，kAB kCD1， 即 2 m1 2m1 m3 1，解得 m1. 综上，m 的值为 1 或1. 两直线平行与垂直的综合应用 探究问题 1两直线 l1l2k1k2成立的前提条件是什么？ 提示 (1)两条直线的斜率存在；(2)两直线不重合 2 对任意两条直线， 如果 l1l2， 一定有 k1k21 吗？为什么？ 提示 不一定当两条直线的斜率都存在时，k1k21，还有 另一种情况就是，一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为零 【例 3
12、】 ABC 的顶点 A(5，1)，B(1,1)，C(2，m)，若ABC 是以点 A 为直角顶点的直角三角形，求 m 的值 思路探究 由 A 为直角顶点可得 kAB kAC1. 解 因为A 为直角，则 ACAB， 所以 kAC kAB1， 即m1 25 11 151，得 m7. 1变条件本例中，将“C(2，m)”改为“C(2,3)”，你能判断 三角形的形状吗？ 解 如图，AB 边所在的直线的斜率 kAB 1 2，BC 边所在直线的斜率 kBC2.由 kAB kBC 1，得 ABBC，即ABC90 . ABC 是以点 B 为直角顶点的直角三角形 2变条件本例中若改为A 为锐角，其他条件不变，如何求
13、解 m 的值？ 解 由于A 为锐角，故B 或C 为直角 若B 为直角，则 ABBC， 所以 kAB kBC1， 则11 15 m1 21 1，得 m3. 若C 为直角，则 ACBC， 所以 kAC kBC1， 即m1 25 m1 21 1，得 m 2. 综上可知，m3 或 m 2. 3变条件若将本例中的条件“点 A 为直角顶点”去掉，改为 若ABC 为直角三角形，如何求解 m 的值？ 解 若A 为直角， 则 ACAB， 所以 kAC kAB1， 即m1 25 11 151， 得 m7； 若B 为直角， 则 ABBC， 所以 kAB kBC1， 即11 15 m1 21 1， 得 m3； 若C
14、为直角，则 ACBC， 所以 kAC kBC1， 即m1 25 m1 21 1， 得 m 2. 综上可知，m7 或 m3 或 m 2. 利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤 课课 堂堂 小小 结结 提提 素素 养养 1两直线平行或垂直的判定方法 斜率 直线 斜率均不存在 平行或重合 一条直线的斜率为 0，另一条直线的斜率不存在 垂直 相等 平行或重合 斜率均存在 积为1 垂直 2.在两条直线平行或垂直关系的判断中体会分类讨论的思想 1下列说法正确的是( ) A若直线 l1与 l2倾斜角相等，则 l1l2 B若直线 l1l2，则 k1k21 C若直线的斜率不存在，则这条直线一定平行于 y 轴
15、 D若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行 D 对 A，两直线倾斜角相等，可能重合；对 B，若 l1l2，l1 与 l2中可能一条斜率不存在，另一条斜率为 0；对 C，若直线斜率不 存在，可能与 y 轴重合；对 D，若两条直线斜率不相等，则两条直线 一定不平行，综合可知 D 正确 2若直线 l1的斜率为 a，l1l2，则直线 l2的斜率为( ) A1 a Ba C1 a D1 a或不存在 D 由 l1l2，当 a0 时，kl21 a，当 a0 时，l2 的斜率不存 在，故应选 D. 3 若经过点 M(m,3)和 N(2， m)的直线 l 与斜率为4 的直线互相 垂直，则 m 的值是_ 14 5
16、 由题意知，直线 MN 的斜率存在，因为 MNl， 所以 kMNm3 2m 1 4，解得 m 14 5 . 4若两条直线 l1，l2的方向向量分别为(1,2)和(1，k)，当 l1l2 时，k 的值为_ 2 l1l2时 k1k2或斜率均不存在，由条件可知 k2. 5直线 l1经过点 A(m,1)，B(3,4)，直线 l2经过点 C(1，m)， D(1，m1)，当 l1l2或 l1l2时，分别求实数 m 的值 解 直线 l1的方向向量为(3m,3)， 直线 l2的方向向量为(2,1) 当 l1l2时3m 2 3 1，得 m3； 当 l1l2时，2(3m)30 得 m9 2， 故 l1l2时 m3，l1l2时 m9 2. 点击右图进入点击右图进入 课课 时时 分分 层层 作作 业业 Thank you for watching !
