1、第三章第三章 圆锥曲线的方程圆锥曲线的方程 3.33.3 抛物线抛物线 3.3.13.3.1 抛物线及其标准方程抛物线及其标准方程 学 习 目 标 核 心 素 养 1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的 概念(重点) 2.掌握抛物线的标准方程及其推导过 程(易错点) 3.明确 p 的几何意义，并能解决简单 的求抛物线标准方程问题(难点) 1.通过抛物线定义的学习， 培养数学抽象核心素养. 2.通过抛物线定义及标准方 程的应用，培养学生的直观 想象、 数学建模等核心素养. 情情 景景 导导 学学 探探 新新 知知 我们已经学习了圆、椭圆、双曲线三种圆锥曲线，今天我们来学 习第四种圆锥曲线抛物线 在物
2、理上，抛物线被认为是抛射物体的运行轨道；在数学中，抛 物线是二次函数的图象 现在来作一个实验 如图，把一根直尺固定在画图板内，直线 l 的位置上，一块三角 板的一条直角边紧靠直尺的边缘， 把一根绳子的一端固定于三角板另 一条直角边上点 A，截取绳子的长等于 A 到 l 的距离 AC，并且把绳 子另一端固定在图板上的一点 F；用一支铅笔扣着绳子，紧靠着三角 板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直角尺左右滑动， 这样铅笔就画出了一条曲线，这条曲线就叫做抛物线 1抛物线的定义 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)的距离_ 的点的轨迹叫做抛物线 点 F 叫做抛物线的_，
3、直线 l 叫做抛物线 的_ 相等 焦点 准线 思考：抛物线的定义中，若点 F 在直线 l 上，那么点的轨迹是什 么？ 提示 点的轨迹是过点 F 且垂直于直线 l 的直线 2抛物线的标准方程 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 _ _ _ _ F p 2 ，0 _ y22px(p0) F p 2，0 xp 2 y22px(p0) xp 2 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 _ _ _ _ _ _ x22py(p0) F 0，p 2 yp 2 x22py(p0) F 0，p 2 yp 2 1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹一定 是抛物
4、线 ( ) (2)y4x2的焦点坐标为(1,0) ( ) (3)以(0,1)为焦点的抛物线的标准方程为 x24y ( ) 提示 (1) (2) (3) 2抛物线 y28x 的焦点到准线的距离是( ) A1 B2 C4 D8 C 由 y28x 得 p4，即焦点到准线的距离为 4. 3抛物线 x4y2的准线方程是( ) Ay1 2 By1 Cx 1 16 Dx1 8 C 由 x4y2得 y21 4x，故准线方程为 x 1 16. 4抛物线 y4ax2(aR 且 a0)的焦点坐标为_ 0， 1 16a 把方程化为标准形式为 x2 1 4ay，所以焦点在 y 轴上， 坐标为 0， 1 16a . 合合
5、 作作 探探 究究 释释 疑疑 难难 求抛物线的标准方程 【例 1】 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程 (1)准线方程为 2y40； (2)过点(3，4)； (3)焦点在直线 x3y150 上 思路探究 确定抛物线的位置设出标准方程确定参数 写出方程. 解 (1)准线方程为 2y40，即 y2，故抛物线焦点在 y 轴的正半轴上，设其方程为 x22py(p0)又p 22，2p8，故所 求抛物线的标准方程为 x28y. (2)点(3，4)在第四象限，抛物线开口向右或向下， 设抛物线的标准方程为 y22px(p0)或 x22p1y(p10) 把点(3，4)的坐标分别代入 y22px 和 x22p
6、1y 中，得(4)2 2p 3,322p1 (4)，即 2p16 3 ，2p19 4. 所求抛物线的标准方程为 y216 3 x 或 x29 4y. (3)令 x0 得 y5；令 y0 得 x15. 抛物线的焦点为(0，5)或(15,0) 所求抛物线的标准方程为 x220y 或 y260 x. 1用待定系数法求抛物线标准方程的步骤 2求抛物线的标准方程时需注意的三个问题 (1)把握开口方向与方程一次项系数的对应关系； (2)当抛物线的位置没有确定时，可设方程为 y2mx(m0)或 x2 ny(n0)，这样可以减少讨论不同情况的次数； (3)注意 p 与p 2的几何意义 跟进训练 1根据下列条件
7、分别求出抛物线的标准方程： (1)准线方程为 y2 3； (2)焦点在 y 轴上，焦点到准线的距离为 5； (3)经过点(3，1)； (4)焦点为直线 3x4y120 与坐标轴的交点 解 (1)因为抛物线的准线交 y 轴于正半轴，且p 2 2 3，则 p 4 3， 所以所求抛物线的标准方程为 x28 3y. (2)已知抛物线的焦点在 y 轴上，可设方程为 x22my(m0)，由 焦点到准线的距离为 5，知|m|5，m 5，所以满足条件的抛物线 有两条，它们的标准方程分别为 x210y 和 x210y. (3)点(3，1)在第三象限，设所求抛物线的标准方程为 y2 2px(p0)或 x22py(
8、p0) 若抛物线的标准方程为 y22px(p0)，则由(1)22p( 3)，解得 p1 6； 若抛物线的标准方程为 x22py(p0)，则由(3)22p( 1)，解得 p9 2. 所求抛物线的标准方程为 y21 3x 或 x 29y. (4)对于直线方程 3x4y120，令 x0，得 y3；令 y0， 得 x4， 抛物线的焦点为(0，3)或(4,0) 当焦点为(0，3)时，p 23，p6，此时抛物线的标准方程为 x212y； 当焦点为(4,0)时，p 24，p8，此时抛物线的标准方程为 y 2 16x. 所求抛物线的标准方程为 x212y 或 y216x. 抛物线定义的应用 探究问题 1如何看
9、待抛物线的定义？ 提示 抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点， 设为 M； 一个定点 F 叫做抛物线的焦点； 一条定直线 l 叫做抛物线的 准线；一个定值，即点 M 到点 F 的距离和它到直线 l 的距离之比等 于 1. 2如何看待抛物线中焦点和准线的位置？ 提示 焦点在抛物线开口方向的内部，而准线在外部，即“怀 抱焦点，背着准线” 3抛物线方程中参数 p 的几何意义是什么？ 提示 抛物线的标准方程中参数 p 的几何意义是：抛物线的焦 点到准线的距离(即焦准距)，所以 p 的值永远大于 0.当抛物线标准方 程中一次项的系数为负值时，不要出现 p0 的错误 【例 2】 (1)已知抛物线
10、 C：y2x 的焦点为 F，A(x0，y0)是 C 上一点，|AF|5 4x0，则 x0( ) A1 B2 C4 D8 (2)若位于 y 轴右侧的动点 M 到 F 1 2，0 的距离比它到 y 轴的距离 大1 2.求点 M 的轨迹方程 思路探究 (1)利用抛物线的定义知，|AF| x0p 2 ，建立方程 求解 (2)直线 y 轴与直线 x1 2间距离为 1 2，利用点 M 到 F 的距离比 到 y 轴的距离大1 2， 可以知道： 动点 M 到 F 的距离与到直线 x 1 2的 距离相等，利用定义求解 (1)A 由题意知抛物线的准线为 x1 4.因为|AF| 5 4x0，根据抛 物线的定义可得
11、x01 4|AF| 5 4x0，解得 x01，故选 A. (2)解 由于位于 y 轴右侧的动点 M 到 F 1 2，0 的距离比它到 y 轴的距离大1 2， 所以动点 M 到 F 1 2，0 的距离与它到直线 l：x 1 2的距离相等 由抛物线的定义知动点 M 的轨迹是以 F 为焦点， l 为准线的抛物 线(不包含原点)， 其方程应为 y22px(p0)的形式， 而p 2 1 2，所以 p1,2p2， 故点 M 的轨迹方程为 y22x(x0) 1 变结论若本例(2)中点 M 所在轨迹上一点 N 到点 F 的距离为 2，求点 N 的坐标 解 设点 N 的坐标为(x0，y0)，则|NF|2.又点
12、M 的轨迹方程为 y22x(x0)， 所以由抛物线的定义得 x01 22， 解得 x0 3 2.因为 y 2 0 2x0，所以 y0 3，故点 N 的坐标为 3 2， 3 或 3 2， 3 . 2变结论若本例(2)中增加一点 A(3,2)，其他条件不变，求|MA| |MF|的最小值，并求出点 M 的坐标 解 如图，由于点 M 在抛物线上，所以|MF|等 于点 M 到其准线 l 的距离|MN|， 于是|MA|MF|MA| |MN|AN|31 2 7 2.当 A，M， N 三点共线时，|MA| |MN|取最小值，亦即|MA|MF|取最小值7 2，这时 M 的纵坐标为 2.可设 M(x0,2)，代入
13、抛物线方程得 x02，即 M(2,2) 抛物线定义的两种应用 (1)实现距离转化根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦 点的距离等于它到准线的距离， 因此， 由抛物线定义可以实现点点距 与点线距的相互转化，从而简化某些问题 (2)解决最值问题在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和 的最小值时， 往往用抛物线的定义进行转化， 即化折线为直线解决最 值问题 抛物线的实际应用 探究问题 已知抛物线，如何建系，才能使抛物线方程为标准方程？ 提示 以抛物线的顶点为坐标原点，以抛物线的对称轴为坐标 轴建系 【例 3】 河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶 5 米时，水面宽 为 8 米，一小船宽 4 米，高 2
14、 米，载货后船露出水面上的部分高3 4米， 问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？ 思路探究 建系设方程解方程求出相关量 解决问题 解 如图，建立坐标系，设拱桥抛物线方程为 x22py(p0)， 由题意，将 B(4，5)代入方程得 p8 5，抛物线方程为 x 216 5 y. 当船的两侧和拱桥接触时船不能通航 设此时船面宽为 AA，则 A(2，yA)， 由 2216 5 yA，得 yA5 4. 又知船露出水面上部分为3 4米，设水面与抛物线拱顶相距为 h， 则 h|yA|3 42(米)，即水面上涨到距抛物线拱顶 2 米时，小船不能 通航 求解抛物线实际应用题的步骤 跟进训练
15、2.一辆卡车高 3 m，宽 1.6 m，欲通过断面为抛物线形的隧道，如 图所示，已知拱口宽 AB 恰好是拱高 OD 的 4 倍若拱口宽为 a m， 求能使卡车通过的 a 的最小整数值 解 以拱顶 O 为原点，拱高 OD 所在直线为 y 轴，建立直角坐 标系，如图所示 设抛物线方程为 x22py(p0) AB 是 OD 的 4 倍，点 B 的坐标为 a 2， a 4 . 由点 B 在抛物线上，得 a 2 2 2p a 4 ， pa 2. 抛物线方程为 x2ay. 设点 E(0.8，y0)为抛物线上一点， 代入方程 x2ay，得 0.82ay0， y00.64 a ， 点 E 到拱底 AB 的距离
16、 ha 4|y0| a 4 0.64 a ， 令 h3，则a 4 0.64 a 3， 解得 a62 241 5 或 a62 241 5 (舍去) a 的最小整数值为 13. 课课 堂堂 小小 结结 提提 素素 养养 1焦点在 x 轴上的抛物线，其标准方程可以统设为 y2 mx(m0)，此时焦点为 F m 4 ，0 ，准线方程为 xm 4 ；焦点在 y 轴上 的抛物线，其标准方程可以统设为 x2my(m0)，此时焦点为 F 0，m 4 ，准线方程为 ym 4 . 2设 M 是抛物线上一点，焦点为 F，则线段 MF 叫做抛物线的 焦半径若 M(x0，y0)在抛物线 y22px(p0)上，则根据抛物
17、线的定 义， 抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相互转化， 所以 焦半径|MF|x0p 2. 3建立坐标系求抛物线的标准方程的方法：以抛物线的顶点为 坐标原点， 对称轴为一条坐标轴建立坐标系 这样可使得标准方程不 仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单 1 准线与 x 轴垂直， 且经过点(1， 2)的抛物线的标准方程是( ) Ay22x By22x Cx22y Dx22y B 由题意可设抛物线的标准方程为 y2ax，则( 2)2a，解 得 a2，因此抛物线的标准方程为 y22x，故选 B. 2过点 A(3,0)且与 y 轴相切的圆的圆心轨迹为( ) A圆 B椭圆 C
18、直线 D抛物线 D 由题意可知，动圆的圆心到点 A 的距离与到直线 y 轴的距 离相等，满足抛物线的定义，故应选 D. 3设抛物线 y28x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4，则点 P 到该抛 物线焦点的距离是_ 6 由抛物线的方程得p 2 4 22，再根据抛物线的定义，可知所 求距离为 426. 4如图是抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离水面 2 米，水 面宽 4 米水位下降 1 米后，水面宽_米 2 6 建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为 x2 2py，则点(2，2)在抛物线上，代入可得 p1，所以 x22y. 当 y3 时，x26，所以水面宽为 2 6米 5若抛物线 y22px(p0)上有一点 M，其横坐标为9，它 到焦点的距离为 10，求点 M 的坐标 解 由抛物线方程 y22px(p0)，得其焦点坐标为 F p 2，0 ，准线方程为 x p 2.设点 M 到准线的距离为 d，则 d|MF| 10，即p 2(9)10，得 p2，故抛物线方程为 y 24x. 由点 M(9，y)在抛物线上，得 y 6，故点 M 的坐标为(9,6) 或(9，6) 点击右图进入点击右图进入 课课 时时 分分 层层 作作 业业 Thank you for watching !
