1、第六章第六章 几何图形初步几何图形初步重点题型重点题型 线段、角的运动问题线段、角的运动问题荣老师告诉荣老师告诉你你线段和角的运动问题的主要表现形式有动点、翻折、线段和角的运动问题的主要表现形式有动点、翻折、旋转等，是各旋转等，是各类考试类考试的重点和难点的重点和难点.熟识与把握这类题目，熟识与把握这类题目，有助于学生提升研究问题的能力，延展问题有助于学生提升研究问题的能力，延展问题运用运用的方法的方法.类型类型动点、动线问题动点、动线问题1此类问题的解决方法主要是化动为静此类问题的解决方法主要是化动为静，用，用含时间的代含时间的代数式表示线段长度数式表示线段长度(或角度或角度的大小的大小)，
2、然后利用线段，然后利用线段(或角度或角度)之间的之间的关系列关系列方程求解，有时需要分类讨论方程求解，有时需要分类讨论.角度角度1 线段中的动点问题线段中的动点问题例例1 期末期末 广州广州如图如图1，线段，线段AB=20 cm，C 为为AB 的的中中点点，点，点P 从点从点A 出发，出发，以以2 cm/s 的速度沿线段的速度沿线段AB 向右向右运动，到点运动，到点B 停止停止；点；点Q 从点从点B 出发，以出发，以1 cm/s 的速的速度沿线度沿线段段BA 向左运动，到点向左运动，到点A 停止停止.若若P，Q 两点两点同同时出发时出发，当其中一点，当其中一点停止停止运动运动时，另一点也随时，
3、另一点也随之停之停止止.设点设点P 的运动时间为的运动时间为x(x 0)s.(1)AC=_cm.(2)是否存在某一时刻，使得是否存在某一时刻，使得C，P，Q 三三点中点中，有一点恰，有一点恰好为另外两点所连线段的中点好为另外两点所连线段的中点？若？若存在，求出所有满足存在，求出所有满足条件的条件的x 的值；若不的值；若不存在存在，请说明理由，请说明理由.10解：解：存在存在.依题意，得依题意，得AP=2x cm，BQ=x cm，由，由(1)可知可知AC=BC=10 cm.分分三种情况讨论：三种情况讨论：当点当点C 为为PQ 的中点时，则的中点时，则PC=QC.因为因为PC=ACAP=(10 2
4、 x)cm，QC=BCBQ=(10 x)cm，所以，所以10 2x=0 x，解得解得x=0(不合题意，舍去不合题意，舍去)；当点当点P 为为CQ 的中点时，则的中点时，则PC=PQ，如图如图2 所示所示.因为因为PC=APAC=(2x1 0)cm，所以所以BP=ABAP=(20 2x)cm.所以所以PQ=BPBQ=202xx=(203x)cm.所以所以2x1 0=2 0 3x，解得，解得x=6；当当Q 为为PC 的中点时，则的中点时，则PC=2CQ，如图如图3 所示所示.因为因为PC=APAC=(2x10)cm，CQ=BCBQ=(10 x)cm，所以所以2x1 0=2(1 0 x)，解得，解得
5、x=7.5.综上所述，当综上所述，当x=6 s 或或7.5 s 时，时，C，P，Q三三点中，有点中，有一点恰好为另外两点所连线段一点恰好为另外两点所连线段的中点的中点.【知识运用】【知识运用】(1)如图如图5，AOB=120，射线，射线OM是是射线射线OA 的友好线，则的友好线，则AOM=_.(2)如图如图6，AOB=180，射线，射线OC 与与射线射线OA 重合，并绕点重合，并绕点O 以每秒以每秒2 的速度的速度逆时针逆时针旋转，射线旋转，射线OD与射线与射线OB 重合，并重合，并绕点绕点O 以每秒以每秒3的速度的速度顺顺时针时针旋转，当射线旋转，当射线OD与与射射线线OA 重合时，运动停止
6、重合时，运动停止.40是否存在某个时刻是否存在某个时刻t(s)，使得，使得COD的度数的度数是是40，若存在，求出，若存在，求出t 的值，若不存在的值，若不存在，请，请说明理由说明理由；解：解：射线射线OD 与射线与射线OA 重合时，重合时，t=60.存在某个时刻存在某个时刻t(s)，使得使得COD 的的度数度数是是40，有两种情况：，有两种情况：在在OC，OD 相遇前，相遇前，180 3t 2 t=4 0，所以，所以t=2 8；在在OC，OD 相遇后，相遇后，3 t2 t180=4 0，所以，所以t=4 4.综上所述，当综上所述，当t 为为28 或或44 时时，COD 的度数的度数是是4 0
7、.当射线当射线OC，OD相遇后，射线相遇后，射线OC，OD中中恰好有一条射线是恰好有一条射线是另一条射线的友好线另一条射线的友好线，求，求此时此时t 的值的值.类型类型翻折问题翻折问题2不论是线段翻折还是角的翻折，其最不论是线段翻折还是角的翻折，其最基本基本的关系是翻的关系是翻折前后的线段长度折前后的线段长度(角度角度)相等相等，然后综合题目中的其他条，然后综合题目中的其他条件求解件求解.角度角度1 线段翻折问题线段翻折问题例例3 期末期末 安顺安顺将一段长将一段长为为60 cm 的绳子的绳子AB 拉直铺拉直铺平，沿点平，沿点M，N 折叠折叠(绳子绳子无弹性，折叠处长度忽无弹性，折叠处长度忽略
8、不计略不计)，设点，设点A，B分别分别落在点落在点A，B处处.(1)如图如图7，当点，当点A，B恰好重合时，恰好重合时，MN的的长长为为_cm；30(2)如图如图8，若点，若点A落在点落在点B的左侧，的左侧，且且AB=20 cm，求，求MN的长的长；(3)若若AB=n cm，求，求MN的长的长(.用含用含n的式子的式子表示表示)角度角度2 角的翻折问题角的翻折问题例例4 期末期末漳州漳州 O，E 分别是分别是长方形纸片长方形纸片ABCD边边AB，AD上的点，沿上的点，沿OE，OC翻折翻折，点，点A 落在点落在点A处，点处，点B 落落在点在点B处处.(1)如图如图11，当点，当点B恰好落在线段恰
9、好落在线段OA上上时，时，求求COE 的度数；的度数；解解：由：由折叠可折叠可得得AOE=AOE，BOC=BOC.因为因为AOE AOE BOC BOC=180，所以所以2 AOE2 BOC=1 80.所以所以AOE BOC=9 0，即，即COE=9 0.(2)如图如图12，当点，当点B落落在在EOA的的内部时内部时，若若COE=80，求求AOB的度数；的度数；解：解：因为因为COE=8 0，所以所以BOC AOE=1 8 0 COE=1 0 0.由折叠可得由折叠可得AOE=AOE，BOC=BOC，所以所以AOE BOC=1 0 0.所以所以AOB=A OE B OCCOE=10080=2 0
10、.(3)当点当点A，B落落在在COE 的内部时，的内部时，若若AOE=，BOC=，求求AOB的的度数度数(用含用含，的代数式表示的代数式表示).解：解：因为因为 AOE=，BOC=，所以所以COE=1 8 0 AOE BOC=180 .由折叠可得由折叠可得 A OE=AOE=，BOC=BOC=.如图如图13，当点，当点B在在 AOE内部时内部时.因为因为 A OB=A OE B OC COE，所以所以 AOB=(180)=2 2 1 8 0；如图如图14，当点，当点B在在 AOE 外部时外部时.因为因为 A OB=COE(A OE BOC)，所以所以 AOB=180 ()=1802 2.综上，
11、综上，A OB=2 2 1 8 0 或或1802 2.类型类型线段与角的整体运动线段与角的整体运动3例例5 期末期末广元广元如图如图15，已知，已知线段线段AB=20 cm，CD=4 cm，线段线段CD 在线段在线段AB 上运动上运动，E，F 分别是分别是AC，BD 的的中点中点.(1)若若AC=6 cm，求，求EF 的长的长.(2)当线段当线段CD 在线段在线段AB 上运动时，试上运动时，试判断判断线段线段EF 的长度是否发生变的长度是否发生变化？如果不变化？如果不变，请求，请求出出EF 的长度；如果变化，请说明理由的长度；如果变化，请说明理由.(3)我们发现角的很多规律和线段一样我们发现角
12、的很多规律和线段一样，如，如图图16，已知，已知 COD 在在 AOB 内部转动，内部转动，射线射线OE，OF 分别平分分别平分 AOC 和和BOD.若若AOB=130，COD=18，求求 EOF 的度数；的度数；解：解：设设AOE=，BOF=，COD=.因为射线因为射线OE，OF 分别平分分别平分 AOC 和和 BOD，所以所以 EOC=AOE=，FOD=BOF=.所以所以 AOC=2，BOD=2.所以所以AOB=AOC BOD COD=2 2 ，EOF=EOC DOF COD=.因为因为 AOB=130，COD=18，所以所以2 2 =13 0，=18.所以所以 =56.所以所以 EOF=5618=74.试猜想试猜想 EOF，AOB 和和COD三三个角之间个角之间有怎样的有怎样的数量关系，并说明你的理由数量关系，并说明你的理由.
