1、6 62 2直线、射线、线段直线、射线、线段6 62.22.2线段的比较与运算线段的比较与运算第六章第六章 几何图形初步几何图形初步知识点知识点线段的画法及长短比较线段的画法及长短比较知知1 1讲讲11.尺规作图尺规作图 在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规圆规作图作图，这就是尺规作图，这就是尺规作图.知知1 1讲讲2.画一条线段等于已知线段画一条线段等于已知线段a(1)方法方法一：利用刻度尺先量出已知线段一：利用刻度尺先量出已知线段a 的长度，再画一的长度，再画一条等于条等于这个长度的线段这个长度的线段.(2)方法方法二：如图二：如图6.2-1 3，用
2、直尺画射线，用直尺画射线AC，再用圆规在，再用圆规在射线射线AC 上截取上截取AB=a(这这就就是是“作一条线段等于作一条线段等于已知已知线段线段”的的尺规作图尺规作图).知知1 1讲讲3.线段的长短比较线段的长短比较方法方法具体做法具体做法示例示例度量法度量法先利用刻度尺分别测量出先利用刻度尺分别测量出两条线段的长度，然后根两条线段的长度，然后根据测量结果进行比较据测量结果进行比较.如图，对于线段如图，对于线段AB 与线与线段段CD，测得，测得AB=2.4 cm，CD=2.9cm，所以，所以ABBC.方法二方法二 叠合法叠合法.如图如图6.214，将圆规的针尖放在，将圆规的针尖放在B点，点，
3、笔尖笔尖放在放在C 点，点，将圆规将圆规绕绕B 点旋转点旋转，圆弧圆弧与与AB 交于交于D 点点.所以所以ABBC.知知1 1练练1-1.要比较线段要比较线段AB与与CD 的长短，的长短，小小明将明将点点A 与点与点C 重合重合并并使两条线段在一使两条线段在一条直线条直线上，上，结果点结果点B 在在CD 的延长的延长线上，线上，则则AB与与CD相比较，相比较，()A.ABCDC.AB=CDD.无法判断无法判断B知知2 2讲讲知识点知识点线段的基本事实线段的基本事实2线段的基本事实线段的基本事实两点的距离两点的距离举例举例两点的所有连线两点的所有连线中，线段最短中，线段最短.简单说成：两点简单说
4、成：两点之间，线段最短之间，线段最短定义定义性质性质在所有连接在所有连接A，B 两点的两点的线中，线段线中，线段AB是最短的，是最短的，线段线段AB 的长度就是点的长度就是点A 与点与点B 之间的距离之间的距离连接两点的连接两点的线段的长度，线段的长度，叫作这两点叫作这两点间的距离间的距离(1)存在性；存在性；(2)最短性；最短性；(3)唯一性唯一性知知2 2讲讲警示误区警示误区两点的距离是一两点的距离是一个具体个具体的数量，而线段的数量，而线段本身本身是图形是图形.因此不能把因此不能把A，B 两点的距离说成两点的距离说成是是线段线段AB.另外，连接两另外，连接两点是点是指画出以这两点指画出以
5、这两点为为端点端点的线段的线段.知知2 2练练如图如图6.2-15 所示，某同学的家在所示，某同学的家在A 处，书店在处，书店在B 处处，星期日星期日他到书店去买书，想尽快赶到书店，请你帮他到书店去买书，想尽快赶到书店，请你帮助他选择助他选择一条一条最近的路线最近的路线()A.A C D B B.A C F BC.A C E F B D.ACMB例 2解题秘方：解题秘方：判断出判断出B，C 两点之间最短的路线为两点之间最短的路线为C F B，即可选出正确答案，即可选出正确答案.解：解：根据根据两点之间线段最短，可知从点两点之间线段最短，可知从点C 到点到点B 的最的最短短路程路程为线段为线段B
6、C 的长，从的长，从A 到到C 的路程不变，故最的路程不变，故最短的路线短的路线为为A C F B，故选，故选B.答案：答案：B知知2 2练练2-1.如图是某如图是某住宅小区平面图住宅小区平面图，点，点B 是某是某小区快递小区快递站的位站的位置，其余置，其余各点各点为居民楼，图中各为居民楼，图中各条线条线为小区内的小路，为小区内的小路，从居民楼从居民楼点点A 到快递到快递站点站点B的最短路径是的最短路径是()A.ACGEBB.ACEBC.ADGEBD.AFEBD知知2 2练练例 3如图如图6.2-16，有一个正方体盒子放，有一个正方体盒子放在桌面上，一只在桌面上，一只虫子虫子在顶点在顶点A 处
7、，处，一只蜘蛛在顶点一只蜘蛛在顶点B 处，蜘蛛沿着处，蜘蛛沿着盒子表面盒子表面准备偷袭准备偷袭虫子，那么蜘虫子，那么蜘蛛要想最快地捉住虫子，应该怎蛛要想最快地捉住虫子，应该怎样走？你样走？你能画能画出来吗？出来吗？知知2 2练练解题秘方：解题秘方：蜘蛛要想最快地捉住虫子，需走最短的路径蜘蛛要想最快地捉住虫子，需走最短的路径，而而蜘蛛走的路径是正方体的不同侧面，因此应在正方体蜘蛛走的路径是正方体的不同侧面，因此应在正方体的的侧面侧面展开图中寻找展开图中寻找.其实质是把立体图形其实质是把立体图形展开为展开为平面图形，也平面图形，也就是把正方体就是把正方体的不同的不同侧面展开到同一平面，侧面展开到同
8、一平面，利利用用“两点之间，线段最短两点之间，线段最短”确定确定最短最短的路径的路径.知知2 2练练解：如图解：如图6.2-1-7，有四种走法，有四种走法，分别是：分别是：B F A，B G A，B M A，B N A(F，G，M，N 分别为分别为DE，CD，KE，KH 的中点的中点).知知2 2练练方法点拨：方法点拨：在在现实生活中，从现实生活中，从A 地到地到B 地，若要路地，若要路程最短程最短，则，则A，B 之间画成笔直的线，若要路程变长，之间画成笔直的线，若要路程变长，则画成折线或则画成折线或曲线曲线，各有用途，根据不同需求进行，各有用途，根据不同需求进行设计设计.知知2 2练练3-1
9、.如图，一观测塔如图，一观测塔底座底座部分是长方体，部分是长方体，现在从现在从下下底面底面A点修建扶梯点修建扶梯，经过，经过点点M，N到点到点D，再，再进入顶部的观测室进入顶部的观测室，已知，已知AB=BC，试确定，试确定使使扶梯扶梯的总长度最小的的总长度最小的点点M，N 的位置的位置.解：如图，将长方体的三个面展开，连解：如图，将长方体的三个面展开，连接接AD，分别与，分别与BB，CC交于点交于点M，N，点点M，N即为所求即为所求知知3 3讲讲知识点知识点线段的运算线段的运算31.线段的和与差线段的和与差如图如图6.2-18，已知线段，已知线段a，b(且且ab).知知3 3讲讲(1)线段的和
10、：在直线线段的和：在直线l 上作线段上作线段AB=a，再在，再在AB 的的延长线延长线上作线段上作线段BC=b，线段，线段AC 就是就是a 与与b 的和，记作的和，记作AC=ab，如图，如图6.2-19 .(2)线段线段的差：在直线的差：在直线l 上作线段上作线段AB=a，再在线段，再在线段AB 上作上作线段线段BD=b，则线段，则线段AD 就是就是a 与与b 的差，记作的差，记作AD=ab，如图如图6.219 .知知3 3讲讲 知知3 3讲讲知知3 3讲讲特别提醒特别提醒1.线段的中点必须在线段的中点必须在线段线段上，并且只有一个上，并且只有一个.2.线段的中点可以线段的中点可以转化为转化为
11、线段相等或成倍线段相等或成倍分关系分关系的等式，的等式，但是但是相等或相等或倍分关系不一定倍分关系不一定能转化能转化为线段的中点为线段的中点，如若，如若AC=BC，如果点，如果点C不在不在线段线段AB上上，就，就不是不是线段线段AB的的中点中点.3.线段的中点及等线段的中点及等分点的分点的特征特征:这些点都这些点都在线段在线段上，线段的上，线段的中点只有中点只有一个，线段的一个，线段的三等分点三等分点、四等分点、四等分点不止一不止一个个.知知3 3练练期末期末南京秦淮区南京秦淮区如图如图6.2-23，C 为线段为线段AD 上一点上一点，B 为为CD的中点，且的中点，且AD=13.5 cm，BC
12、=3 cm例 4解题秘方：解题秘方：根据根据线段中点的定义结合线段的和差关线段中点的定义结合线段的和差关系系进行进行计算，情况不明时注意分类讨论计算，情况不明时注意分类讨论.知知3 3练练(1)图中共图中共有有_条条线段线段；6知知3 3练练(2)求求AC 的长的长；解：解：因为因为B 为为CD 的中点，的中点，BC=3 cm，所以所以CD=2BC=6 cm.因为因为AD=13.5 cm，所以所以AC=ADCD=13.5 6=7.5(cm).所以所以AC 的长为的长为7.5 cm.知知3 3练练(3)若点若点E 在直线在直线AD 上，且上，且EA=4 cm，求，求BE 的长的长解：解：分两种情
13、况：分两种情况：当点当点E 在线段在线段CA 的延长线上时，如图的延长线上时，如图6.2 24.因为因为EA=4 cm，AC=7.5 cm，BC=3 cm，所以所以BE=AEACBC=1 4.5(cm).当点当点E 在线段在线段AC 上时，如图上时，如图6.2 2 5.因为因为EA=4 cm，AC=7.5 cm，所以所以CE=ACAE=7.5 4=3.5(cm).因为因为BC=3 cm，所以，所以BE=CEBC=3.53=6.5(cm).综上所述，综上所述，BE 的长为的长为14.5 cm 或或6.5 cm知知3 3练练4-1.新新考法考法 分类讨论分类讨论法法已知已知线段线段AC 和线段和线
14、段BC在在同一直同一直线上，线上，如果如果AC=6 cm，BC=4 cm，则，则线段线段AC 和线段和线段BC的的中点之间的中点之间的距离为距离为_cm1或或5知知3 3练练4-2.期末期末重庆荣昌区重庆荣昌区如如图，点图，点C 在线段在线段AB上上，M 是是AC 的中点的中点，且，且AB=76，BC=52知知3 3练练(1)求线段求线段AM 的长的长；知知3 3练练(2)在线段在线段BC 上取一点上取一点N，使得，使得CN NB 6 7，求线段求线段MN的长的长.知知3 3练练母母题题 教材教材P166练习练习T2用用直尺和圆规作线段：如图直尺和圆规作线段：如图6.2-26，已知，已知线段线
15、段a，b，c例 5解题秘方：解题秘方：按照按照线段和差的作法用圆规在射线上线段和差的作法用圆规在射线上依依次截取次截取.知知3 3练练(1)求作一条线段，使它等于求作一条线段，使它等于a2b；解：解：如图如图6.2 27，1.作射线作射线AM；2.在射线在射线AM 上上顺次截取顺次截取AB=a，BC=CD=b.线段线段AD即即为所求作为所求作知知3 3练练(2)求作一条线段，使它等于求作一条线段，使它等于abc解：如图解：如图6.2-28，1.作射线作射线AM；2.在射线在射线AM 上顺次截取上顺次截取AB=a，BC=c；3.在线段在线段AC 上截取上截取CD=b.知知3 3练练5-1.已知：
16、已知：线段线段a，b.求求作：作：线段线段AB，使得使得AB=2ab.小明给出了小明给出了四四个个步骤步骤(如图如图)：作一条射线作一条射线AE；则线段则线段AB=2ab；在射线在射线AE 上作上作线段线段AC=a，再在射线，再在射线CE 上作上作线段线段CD=a；在射线在射线DE 上作线段上作线段DB=b.你认为顺序正确的是你认为顺序正确的是()A BC DB线段的线段的比较与运算比较与运算线段的线段的比比较与运算较与运算线段的比较线段的比较线段的运算线段的运算度量法度量法叠合法叠合法线段的和差线段的和差线段的中点线段的中点如图如图6.229，M是线段是线段AC的中点，点的中点，点B 在线段
17、在线段AC上上，且且AB=4，BC=2 AB，求线段，求线段MC和线段和线段BM的长的长.方法方法利用利用“逐段计算法逐段计算法”求线段长求线段长1例 6思路思路引导：引导：方法点拨方法点拨利用利用“逐段计算法逐段计算法”求求线段线段长：长：要求某条线段的长要求某条线段的长，先，先确定这条线段等确定这条线段等于于哪几哪几条线段的和或差，条线段的和或差，分析分析这些线段的长这些线段的长是是已知的已知的，还是要通过别的，还是要通过别的条件条件再求的，再再求的，再进行逐进行逐段计算段计算.如图如图6.2-30，已知，已知B，C 两点把线段两点把线段AD 分成分成2 5 3的的三部分，点三部分，点M为
18、线段为线段AD的中点，的中点，BM=6 cm，求，求CM和和AD的长的长.方法方法利用方程思想求线段长利用方程思想求线段长2解题秘方：解题秘方：画画出如图出如图6.2 31 所示的示意图所示的示意图.根据根据BM=AMAB，列方程求解，列方程求解.例 7方法点拨方法点拨利用方程思想求线段长的方法：利用方程思想求线段长的方法：当利用逐段计算当利用逐段计算法难以法难以求出线段长时，可求出线段长时，可考虑考虑运用方运用方程思想程思想.其其中将中将已知的线段长作为已知的线段长作为等量等量关系，设出要求的关系，设出要求的线段长线段长，用含要求线段长，用含要求线段长的式子的式子(利用它们之间利用它们之间的
19、数量的数量关关系系)表示已知表示已知线段线段，列出方程解决问题，列出方程解决问题.如图如图6.232，线段，线段AB=4，O 是线段是线段AB 上一点，上一点，C，D分别分别是线段是线段OA，OB 的中点的中点.方法方法利用整体思想求线段长利用整体思想求线段长3例 8(1)求线段求线段CD的长的长.思路引导：思路引导：(2)若把若把“O 是线段是线段AB 上一点上一点”改为改为“O 是线段是线段AB 延长线延长线上一点上一点”，其他条件不变，请你画出图形，并求线段，其他条件不变，请你画出图形，并求线段CD的的长长.思路引导：思路引导：方法点拨方法点拨利用整体思想求线段利用整体思想求线段长的长的
20、方法：方法：当根据已知条件当根据已知条件无法无法逐一计算出每条逐一计算出每条线段的线段的长时，可长时，可根据各根据各线段之间线段之间的数量关系，将的数量关系，将某些某些线段的和或差看成线段的和或差看成整整体体进行计算进行计算.模型解读模型解读双中点模型：双中点模型：如图如图6.234，直线，直线上三上三点点构成的三条线段中构成的三条线段中，任意，任意两条两条线段中点间线段中点间的距离的距离等于第三条等于第三条线段线段长度长度的一半的一半.如图如图6.235，已知在数轴上有，已知在数轴上有A，B 两点，点两点，点A 表示表示的数的数为为10，点，点O 表示的数为表示的数为0，OB=3OA，点，点
21、M以每以每秒秒3 个个单位长度单位长度的速度从点的速度从点A 向右运动，点向右运动，点N 以每秒以每秒2 个单位长度的个单位长度的速度从速度从点点O 向右运动向右运动(点点M，点点N 同时出发同时出发).方法方法利用利用“化动为静法化动为静法”求线段长求线段长4例 9(1)数轴上点数轴上点B 表示的数表示的数是是_.30(2)经过几秒，点经过几秒，点M，N 到原点的距离相等？到原点的距离相等？思路引导：思路引导：解：解：设设经过经过x秒秒，点，点M，N 到原点的距离相等到原点的距离相等.分分两种情况：当两种情况：当点点M，N 在原点两侧时，根据题意列在原点两侧时，根据题意列方程方程，得，得10
22、 3x=2x，解得，解得x=2.当点当点M，N 重合时，根据重合时，根据题意列题意列方程，得方程，得3x10=2x，解，解得得x=10.所以经过所以经过2 秒或秒或10 秒，秒，点点M，N 到原点的距离相等到原点的距离相等.(3)点点N 在点在点B 左侧运动的情况下，当点左侧运动的情况下，当点M运动到什么运动到什么位置时位置时，恰好使，恰好使AM=2BN？思路引导：思路引导：方法点拨方法点拨1.求数轴上的点表示求数轴上的点表示的数的数时，转化为求该点时，转化为求该点到原点到原点之间的线段之间的线段的的长度长度，然后利用该点在，然后利用该点在原点原点的左侧还是右侧的左侧还是右侧确定确定数数.2.
23、若数轴若数轴(点点O 表示的表示的数为数为0)上有上有A，B 两点两点，A点表示的数为点表示的数为a，B点表示点表示的数为的数为b，则，则OA=|a|，OB=|b|，AB=|ab|.3.对于动点问题，用对于动点问题，用点运动点运动的速度乘运动的速度乘运动的时间的时间等于运动的等于运动的路路程来程来表示线段的长度表示线段的长度.易错点易错点对线段的中点的理解有误对线段的中点的理解有误例10错解：错解：A 或或B 或或C正解：正解：分别画出图形，如图分别画出图形，如图6.2-3 6 所示所示.答案：答案：D诊误区：诊误区：C是线段是线段AB的的中点中点，关键要说明点，关键要说明点C在线在线段段AB
24、 上上.考法考法利用线段基本事实解决实际问题利用线段基本事实解决实际问题1中考中考柳州柳州 如图如图6.237，从，从学校学校A 到书店到书店B 有，有，四条路线，四条路线，其中，其中最短的路线是最短的路线是()A.B.C.D.例11试题评析：试题评析：本题考查了线段的本题考查了线段的基本事实基本事实，将实际问，将实际问题转化为数学问题是题转化为数学问题是解决解决本题的关键本题的关键解：解：因为因为两点之间，线段最短，两点之间，线段最短，所以从所以从学校学校A 到书到书店店B 的四条路线中，最的四条路线中，最短的短的路线是路线是答案：答案：B考法考法利用线段的和差倍分进行计算利用线段的和差倍分
25、进行计算2新新考法分类讨论法中考考法分类讨论法中考包头包头已知已知线段线段AB=4，在，在直直线线AB 上作线段上作线段BC，使得，使得BC=2，若，若D 是线段是线段AC 的中的中点，则线段点，则线段AD 的的长为长为()A.1 B.3 C.1 或或3 D.2 或或3例12试题评析：试题评析：本题考查线段中点的本题考查线段中点的概念概念及线段的运算，及线段的运算，正确运用分类讨论正确运用分类讨论思想思想是解题关键是解题关键.答案答案：C1.如图，用圆规比较两条线段如图，用圆规比较两条线段AB 和和AB的长短，其中正的长短，其中正确的是确的是()A.ABABB.AB=ABC.ABABD.没有刻
26、度尺，无法确定没有刻度尺，无法确定C2.期末期末绍兴诸暨市绍兴诸暨市如图，用剪刀沿如图，用剪刀沿直线将直线将一片平整的树一片平整的树叶剪掉一部分，则叶剪掉一部分，则剩下剩下的树叶周长小于原树叶的周长，的树叶周长小于原树叶的周长，能解释能解释这一现象的数学道理是这一现象的数学道理是()A.两点之间直线最短两点之间直线最短B.两点之间线段最短两点之间线段最短C.两点确定一条直线两点确定一条直线D.经过一点有无数条直线经过一点有无数条直线BAD5.如图，在射线如图，在射线OM 上顺次截取上顺次截取OA=AB=a，在线段，在线段BO 上上截取截取BC=b，则图则图中线段中线段OC 的长可表示为的长可表
27、示为()A.ab B.abC.2ab D.2abD6.期末期末重庆荣昌区重庆荣昌区如图，点如图，点C 是是线段线段AB 上的一点，点上的一点，点D 是线段是线段BC 的中点的中点，若，若AB=20，AC=12，则，则CD=_ 47.新新视角视角 新定义型新定义型题题定义定义：C 是线段是线段AB(5 AB 1 0)上的一点，若点上的一点，若点C 将将AB 分得的两条线段中，有一条分得的两条线段中，有一条线线段的段的长与长与AB 的长的和是的长的和是1 0，则称，则称点点C 是线段是线段AB 的的“圆满分割点圆满分割点”已知已知MN=8，P，Q 分别是线段分别是线段MN，PN 的的“圆满分割点圆
28、满分割点”，则，则QN 的长的长是是_2或或48.母母题题 教材教材P168习题习题T7 已知数轴上有点已知数轴上有点A，B，C，它，它们所表示的有理数分别们所表示的有理数分别是是6，8，x.(1)求线段求线段AB 的长的长；解解：AB6(8)14.(2)求线段求线段AB 的中点的中点D 表示的数；表示的数；(3)已知已知AC=8，求，求x.解：解：(86)21，即点，即点D表示的数为表示的数为1.当点当点C在点在点A的左边时，的左边时，x682；当点；当点C在点在点A的的右边时，右边时，x6814.所以所以x为为2或或14.9.期末期末苏州姑苏区苏州姑苏区如图，如图，C 为线段为线段AB上上
29、一点，一点，D 为线为线段段BC 的中点的中点(1)若若AB=7 cm，AC=2 cm，则则BD=_cm；(2)若若AB=8 cm，CDAC=1 cm，求，求线段线段AC 的长度的长度解：解：因为点因为点D为线段为线段BC的中点，所以的中点，所以CDBD.设设ACx cm，则，则CDBD(x1)cm.因为因为AB8 cm，即，即ACCDBD8 cm，所以所以x(x1)(x1)8，解得解得x2，即，即AC2 cm.10.期末期末石家庄行唐县石家庄行唐县如图，已知如图，已知线段线段a，线段，线段AB，点点C 在线段在线段AB 的的延长线上延长线上，且，且BC=AB，点，点D 在线在线段段BC 上上
30、，且，且CD=a(1)用尺规在图中补全图形用尺规在图中补全图形(不写作法不写作法，保留，保留作图痕迹作图痕迹)解：如解：如图图(2)若若AC=4，CD=1 D 是线段是线段BC 的中点吗？请说明理由的中点吗？请说明理由.解：解：D是线段是线段BC的中点理由如下：的中点理由如下：因为因为AC4，CD1，BCAB，所以，所以BCAB2.所以所以BDBCCD211.所以所以BDCD.所以所以D是线段是线段BC的中点的中点若若点点E 在线段在线段AD 上，上，且且AE DE=3 2，求，求BE 的长的长11.新新视角视角 新定义及动点探究新定义及动点探究题题【新知理解新知理解】如图，点如图，点C 在线
31、段在线段AB 上，图中共上，图中共有三有三条线段条线段AB，AC 和和BC，若其中有，若其中有一条一条线段的长度是另外一条线段线段的长度是另外一条线段长度的长度的2 倍，则称点倍，则称点C是线段是线段AB的的“巧点巧点”.(1)线段的线段的中点中点_这这条线段的条线段的“巧点巧点”(填填“是是”或或“不是不是”)；(2)若若AB=12cm，点，点C是是线段线段AB的巧点的巧点，则，则AC=_cm；是是4或或6或或8【解决问题解决问题】(3)如图，已知如图，已知AB=12 cm动点动点P 从点从点A 出发，以出发，以2cm/s 的速度沿的速度沿AB向点向点B匀速匀速移动；动点移动；动点Q从从点点B出发出发，以以1cm/s 的速度沿的速度沿BA向向点点A匀速匀速移动移动，点，点P，Q同时同时出发，出发，当其中一点到达当其中一点到达终点终点时，运动停止，设运动的时间时，运动停止，设运动的时间为为t s.求求当当t 为何值时，为何值时，A，P，Q 三点中三点中其中一点其中一点恰好是另恰好是另外两点为端点的外两点为端点的线段的线段的巧点巧点.
