1、函数的值域（一） 考向一 函数的函数值 1、设 2 2 1 1 x f x x ，则 2 1 2 f f 等于( ) A1 B1 C 3 5 D 3 5 【答案】B 【解析】 2 2 214 13 2 214 15 f . 2 2 1 1 1 1 132 4 1 25 1 1 1 4 2 f . . 2 1 1 2 f f 故选 B. 2、已知() = 2 + 1, 0 + 1, 0 ，则,(1)-的值为（ ） A5 B2 C-1 D-2 【答案】A 【解析】由() = 2 + 1, 0 + 1, 0 ， 可得(1) = 1 + 1 = 2, ,(1)- = (2) = 4 + 1 = 5,故
2、选 A. 3、如图所示，函数 f(x)的图像是曲线 OAB，其中点 O，A，B 的坐标分别为(0，0)，(1， 2)，(3，1)，则 1 3 f f 的值等于_. 【答案】2 【解析】 31f， 1 3f 1， 1 3 f f f(1)2. 4、已知函数 f(x) 2 2 1 x x . (1)求 f(2)f 1 2 ，f(3)f 1 3 的值； (2)求证：f(x)f 1 x 是定值； (3)求 f(2)f 1 2 f(3)f 1 3 2017ff 1 2017 的值 【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3)2016. 【解析】 (1)f(x)， f(2)f1， f(3)f1. (2)
3、证明：f(x)f1. (3)由(2)知 f(x)f1， f(2)f1，f(3)f1， f(4)f1，f(2 017)f1. f(2)ff(3)ff(2 017)f2 016. 考向二 基本初等函数的值域 1、 已知 f(x)x 2x1，x0，1，2，3，则 f(x)的值域为_. 【答案】*1，1，5，11+ 【解析】由已知得(0) = 1;(1) = 1 + 1 1 = 1;(2) = 4 + 2 1 = 5;(3) = 9 + 3 1 = 11 故答案为*1，1，5，11+. 2、求函数 2 23yxx 的值域 答案： , 2 3、 求函数 2 21yxax 在 0,2 上的值域 答案： 0
4、a 时， 1,34f xa ； 0 1a 时， 2 1,34f xaa ； 1 2a 时， 2 1, 1f xa ； 2a 时， 34 , 1f xa 4、 函数 22 4422f xxaxaa在0,2上最小值为3，求a. 答案： 2 1a =-+ 或 510a = + 5、 函数 2 23f xxx在区间0,0aa 上最大值为 3，最小值为 2，求实数a的取值范围. 答案： 1,2 考向三 换元法求值域 1、求函数 2 45yxx的值域。 答案： ,3 解析：因为 函数 2 45yxx图像为开口向下的抛物线， 所以易得 ,9y 所以函数 2 45yxx值域为： ,3 . 备注： 根号下部分函
5、数图像为开口向下的抛物线可直接求值域 2、求函数 1 11 y xx 的值域. 答案： 2 3 0, 3 解析：令 2 2 13 111 24 g xxxxxx , 所以 g x的值域为: 3, 4 , 由 1 f x g x 得, max 4 3 f x , 所以函数 1 11 f x xx 的值域为: 4 0, 3 . 综上 1 11 y xx 的值域为 2 3 0, 3 备注：根号下分母整体为开口向上的二次函数可求最值，进而可求函数值域 3、求函数1yxx的值域。 答案： 1 +， 解析：令1,(0)xt t 则 2 1xt 因为 2 2 13 1 24 yttt 又0,t 由二次函数的
6、性质可知 当0,t 时， min 1y 当0t 时，y 故函数的值域为1 +， 备注： 利用换元法转化为二次函数求最值问题 4、求函数2 1yxx的值域。 答案： ,2 解析：令1,0 xt t则 2 1xt 因为 2 2 2112yttt 又0,t 由二次函数的性质可知,2y 故函数的值域为 ,2 备注：利用换元法转化为二次函数求最值问题 5、求函数2yxx的值域。 答案： 9 , 4 解析：令2,(0)xt t则 2 2xt 因为 2 2ytt 又0,t 由二次函数的性质可知 9 , 4 y 故函数的值域为 9 , 4 备注：利用换元法转化为二次函数求最值问题 考向四 分离常数法求值域 1
7、、 求函数 1 3 x f x x 的值域. 答案： 11+， 2、 求函数 23 1 x f x x 的值域. 答案： ,22, 3、求函数 35 2 1 x yx x 的值域。 答案：1,3 解析： 3122 3, 11 x y xx 又因为2,x 故 2 02, 1x 所以 2 133. 1x 故所求的函数的值域为1,3. 备注：利用分离常数法可将函数看作图像平移之后的反比例函数 4、求函数 2 2 56 6 xx y xx 的值域 答案： 1 1 5 y yy 且 解析： 2336 212 2333 xxx yxx xxxx 161 12,1 535 y yyx x 且当时. 备注：二次函数十字相乘，再利用分离常数法可将函数看作图像平移之后的反比例函数 5、求函数 2 2 1 x yxR x 的值域.。 答案：0,1 解析： 2 22 1 1 11 x yxR xx 又因为 2 0,x 故 2 1 01, 1x 所以 2 2 011. 1x 故所求的函数的值域为0,1. 备注：利用分离常数法及换元法可将函数看作图像平移之后的反比例函数
