1、3.3 3.3 一元一次方程的应用一元一次方程的应用第三章第三章 一次方程一次方程与方程组与方程组知知1 1讲讲知识点知识点建立一元一次方程模型解决实际问题建立一元一次方程模型解决实际问题11.列一元一次方程解决实际问题的一般步骤列一元一次方程解决实际问题的一般步骤(1)弄清题意和题中的数量关系，用弄清题意和题中的数量关系，用字母字母(如如 x，y)表示表示问问题涉及题涉及的未知数；的未知数；(2)分析题意，找出等量分析题意，找出等量关系关系(可可借助示意图、表格借助示意图、表格等等)；(3)根据等量关系，列出需要的代数式，并列出方程；根据等量关系，列出需要的代数式，并列出方程；(4)解这个方
2、程，求出未知数的值；解这个方程，求出未知数的值；(5)检查所得的值是否正确和符合实际情形，并写出检查所得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案答案(包括单位包括单位).知知1 1讲讲特别提醒特别提醒列一元一次方程解决列一元一次方程解决实际实际问题时需要注意问题时需要注意以下几以下几点：点：1.恰当地设未知数恰当地设未知数可以简化可以简化运算，且单位运算，且单位要统一要统一；2.题中的相等关系题中的相等关系不一定不一定只有一个，要只有一个，要根据具体根据具体情况选择；情况选择；3.求出方程的解后求出方程的解后要检验要检验，既要检验所，既要检验所求出求出的解是不是的解是不是方方程的程的解，又要检验
3、所解，又要检验所求出求出的解是否符合的解是否符合实际意义实际意义.2.分析题意常用的两种方法分析题意常用的两种方法(1)读题分析法：读题分析法：多用于多用于“和、差、倍、分和、差、倍、分”问题问题.仔细读仔细读题题，根据，根据题意设出未知数，找出表示相等关系的关键字，题意设出未知数，找出表示相等关系的关键字，例如例如：“大、小、多、少、是、共、合、完大、小、多、少、是、共、合、完 成、增成、增 加、加、减减 少、少、配套配套”，将题目中量与量的关系转为代数式，将题目中量与量的关系转为代数式，进而进而列出方程列出方程.知知1 1讲讲(2)画图分析法：画图分析法：多用于多用于“行程问题行程问题”，
4、利用图形分析问题，利用图形分析问题是数是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画画出示意图出示意图，弄清图形各部分的含义，借助图形找等量，弄清图形各部分的含义，借助图形找等量关系关系，从而，从而建立方程建立方程.知知1 1讲讲3.设未知数的常见方法设未知数的常见方法(1)设直接未知数：设直接未知数：一般情况下，题中问什么就设什么一般情况下，题中问什么就设什么.(2)设设间接未知数：间接未知数：特殊情况下，若设直接未知数难以特殊情况下，若设直接未知数难以列列出方程出方程，则可设另一个相关的量为未知数，通过这个，则可设另一个相关的量为未知数，通过
5、这个未知数求未知数求出题中要求的量出题中要求的量.知知1 1讲讲知知1 1练练饺子是中国传统食物，由一张小圆形饺子是中国传统食物，由一张小圆形面皮包面皮包馅馅制作制作 而而成，形如半月或元宝；馅饼也是非常流行的一成，形如半月或元宝；馅饼也是非常流行的一种美食种美食，由一张大圆形面皮包馅制作而成，呈扁圆形由一张大圆形面皮包馅制作而成，呈扁圆形.元旦当天元旦当天，小小盛和爸爸、妈妈一起制作美味的饺子和馅饼，小盛向爸盛和爸爸、妈妈一起制作美味的饺子和馅饼，小盛向爸爸爸学习学习制作圆形面皮，制作圆形面皮，一共制作了大、小两种圆形面皮一共制作了大、小两种圆形面皮 100 张，张，爸爸爸爸和妈妈一起包饺子
6、和馅饼，正好用完所有制和妈妈一起包饺子和馅饼，正好用完所有制作的大、小面皮作的大、小面皮，小盛，小盛发现饺子的数量比馅饼数量的发现饺子的数量比馅饼数量的 4 倍倍多多 5 个个.请你根据请你根据以上信息以上信息，求出所包的馅饼有多少个，求出所包的馅饼有多少个.例1知知1 1练练两个等量关系，两个等量关系，一个一个用来设未知数用来设未知数，并用，并用未知未知数数表示相关表示相关量，另一个量，另一个用来用来列方程列方程.知知1 1练练解解：设包了：设包了 x 个馅饼，则包个馅饼，则包了了(4x+5)个个饺子饺子根据题意，得根据题意，得 x+(4x+5)=100，解得，解得 x=19.答：所包的馅饼
7、有答：所包的馅饼有 19 个个解题秘方解题秘方：用分量的和等于总量列出方程，解决用分量的和等于总量列出方程，解决问题问题.知知1 1练练1-1.某校七年级某校七年级 200名学生分别到甲名学生分别到甲、乙两个纪念馆乙两个纪念馆 参观参观，其中其中到甲纪念馆参观到甲纪念馆参观的学生的学生人数比到乙人数比到乙纪念纪念馆馆参观的学生人数参观的学生人数的的2 倍倍 少少 10 名，到名，到 乙纪念馆乙纪念馆参参观的学生有观的学生有多少多少名？名？解：设到乙纪念馆参观的学生有解：设到乙纪念馆参观的学生有x名，则到甲纪念馆名，则到甲纪念馆参观的学生有参观的学生有(2x10)名名根据题意，得根据题意，得2x
8、10 x200，解得，解得x70.答：到乙纪念馆参观的学生有答：到乙纪念馆参观的学生有70名名知知1 1练练中考中考 日照日照 母题教材母题教材 P107 习题习题T3九章算术九章算术是是中国古代重要的中国古代重要的数学著作数学著作，其中，其中“盈不足盈不足”记载：记载：“今有共买鸡，人出九，盈十一；今有共买鸡，人出九，盈十一；人出人出六，不足十六六，不足十六.问人数、鸡价各几何？问人数、鸡价各几何？”译文：今有人合伙译文：今有人合伙买鸡买鸡，每，每人出人出 9 钱，会多出钱，会多出 11 钱；每人出钱；每人出 6 钱，又差钱，又差 16 钱钱.问人数问人数、鸡、鸡的钱数各是多少？设人数为的钱
9、数各是多少？设人数为 x，可列方程，可列方程为为()A.9x+11=6x+16 B.9x11=6x16C.9x+11=6x16 D.9x11=6x+16例2 知知1 1练练解解：根据每人出：根据每人出 9 钱，会多出钱，会多出 11 钱，可得鸡的价钱，可得鸡的价格格为为(9x11)钱；根据每人出钱；根据每人出 6 钱，又差钱，又差 16 钱，钱，可得鸡的价格可得鸡的价格为为(6x+16)钱钱，故，故 9x11=6x+16解题秘方解题秘方：不管是余是缺，总钱数不变是列方程不管是余是缺，总钱数不变是列方程的关键的关键.答案答案：D知知1 1练练2-1.中考中考 自贡自贡 某校某校组织七年级学生组织
10、七年级学生到江到江姐故里研学姐故里研学旅行，旅行，租用租用同型号客车同型号客车 4 辆，辆，还剩还剩 30 人没有座位人没有座位；租用租用5辆，还空辆，还空10个座位个座位.求求该客车的载客量该客车的载客量解：设该客车的载客量为解：设该客车的载客量为x人，人，由题意，得由题意，得4x305x10，解得，解得x40.答：该客车的载客量为答：该客车的载客量为40人人知知2 2讲讲知识点知识点几何问题几何问题21.常见平面图形的基本等量关系常见平面图形的基本等量关系C 长方形长方形=2(长长+宽宽)，S 长方形长方形=长长 宽，宽，C 正方形正方形=4 边长，边长，S 正方形正方形=边长边长 边长边
11、长.知知2 2讲讲知识链接知识链接关于长方形、关于长方形、正方形正方形的分割、拼图、剪贴的分割、拼图、剪贴问题，需设出适当的问题，需设出适当的未知数未知数，结合图形找到，结合图形找到等等量量关系列方程关系列方程.知知2 2讲讲知知2 2练练母母题题 教材教材 P103 例例 1 如如图图 3.3-1，小轩家客厅的电视，小轩家客厅的电视背景背景墙是墙是由由 10 块形状、大小相同的长方形墙块形状、大小相同的长方形墙砖砌砖砌成成的的.求一块长方形墙砖的长和宽求一块长方形墙砖的长和宽.例3知知2 2练练解题秘方解题秘方：根据拼接图形找到根据拼接图形找到长方形墙长方形墙砖的长与砖的长与宽的关系列方程宽
12、的关系列方程.解解：设一块长方形墙砖的长为：设一块长方形墙砖的长为 x m，则则宽宽为为(1.5x)m依题意得依题意得 2x=x+4(1.5x)，解得解得 x=1.2.则则 1.5x=0.3.答：一块长方形墙砖的长为答：一块长方形墙砖的长为 1.2 m，宽为，宽为 0.3 m知知2 2练练3-1.一块长、宽、高一块长、宽、高分别分别 为为4 cm，3 cm，2 cm的的长方体长方体橡皮泥，要橡皮泥，要用它用它来捏一个底面半径来捏一个底面半径为为1.5 cm的圆柱，的圆柱，求求这个圆这个圆 柱的高柱的高.(取取3.14，结果，结果精确到精确到0.1 cm)知知3 3讲讲知识点知识点行程问题行程问
13、题31.行程行程问题中的基本关系式问题中的基本关系式 路程路程=速度速度 时间时间，时间，时间=路程路程 速度速度，速度速度=路程路程 时间时间.知知3 3讲讲2.行程问题中的相等关系行程问题中的相等关系(1)相遇问题中的相等关系：相遇问题中的相等关系：若甲若甲、乙、乙 相向而行相向而行，相遇时相遇时，甲走的路程甲走的路程+乙走的路乙走的路程程=甲、乙出发点之间的路程；甲、乙出发点之间的路程；若甲、乙同时出发，相遇时，甲用的时间若甲、乙同时出发，相遇时，甲用的时间=乙用的时间乙用的时间.知知3 3讲讲(2)追及问题中的相等关系：追及问题中的相等关系：快者追上慢者时，快者走的路程快者追上慢者时，
14、快者走的路程-慢者走的路程慢者走的路程=追追及路程及路程；若同时出发，快者追上慢者时，快者用的时；若同时出发，快者追上慢者时，快者用的时间间=慢慢者用的时间者用的时间.(3)航行问题中的相等关系：航行问题中的相等关系：顺水顺水(顺风顺风)速度速度=静静水水(无风无风)速度速度+水水(风风)速度；速度；逆水逆水(逆风逆风）速度速度=静静水水(无风无风)速度速度-水水(风风)速度速度.知知3 3讲讲特别提醒特别提醒1.在行程问题的三个在行程问题的三个量量(路程路程、速度、速度、时间时间)中，中，一一个量已知，另一个量已知，另一个量个量设元，则第三个设元，则第三个量用量用来来列方程列方程.2.在相遇
15、和追及在相遇和追及问题中问题中，若两者同时出发，若两者同时出发，则，则时间相等，利用时间相等，利用两者两者路程之间的路程之间的关系列关系列方程方程.3.航行问题中涉及航行问题中涉及顺和顺和逆的问题，只要逆的问题，只要路线路线相相同，路程就不变同，路程就不变.知知2 2练练甲站和乙站相距甲站和乙站相距 1 500 km，一列慢车从甲站开出，一列慢车从甲站开出，速度速度为为 60 km/h，一列快车从乙站开出，速度为，一列快车从乙站开出，速度为 90 km/h.(1)若若两车相向而行，慢车先开两车相向而行，慢车先开 30 min，快车开出，快车开出几小时几小时后后两车相遇？两车相遇？(2)若若两车
16、同时开出，相背而行，多少小时后两车两车同时开出，相背而行，多少小时后两车相距相距 1 800 km？(3)若若两车同时开出，快车在慢车后面同向而行，两车同时开出，快车在慢车后面同向而行，多少小多少小时后时后两车相距两车相距 1 200 km(此时此时快车在慢车的快车在慢车的后面后面)？例4 知知2 2练练解题秘方解题秘方：根据根据“慢车行驶的路程慢车行驶的路程+快车行驶的快车行驶的路程路程=1 500 km”列方程；列方程；(1)若两车相向而行，慢车先开若两车相向而行，慢车先开 30 min，快车开出几小时，快车开出几小时后两车相遇后两车相遇？知知2 2练练解解：设设 y h 后两车相距后两车
17、相距 1 800km.由题意，得由题意，得 60y+90y+1 500=1 800.解得解得 y=2.答：答：2 h 后两车相距后两车相距 1 800 km.(2)若两车同时开出，相背而行，多少小时后两车若两车同时开出，相背而行，多少小时后两车相距相距1 800 km？知知2 2练练解解：设设 z h 后两车相距后两车相距 1 200 km(此时此时快车在慢车的快车在慢车的后面后面).由题意，得由题意，得 60z+1 500 90z=1 200.解得解得 z=10.答：答：10 h 后两车相距后两车相距 1 200 km(此时此时快车在慢车的快车在慢车的后面后面).(3)若两车同时开出，快车在
18、慢车后面同向而行，若两车同时开出，快车在慢车后面同向而行，多少小时后两车相距多少小时后两车相距 1 200 km(此时快车在慢此时快车在慢车的后面车的后面)？知知3 3练练4-1.月考月考安庆安庆 A，B两地两地相距相距 360 km，甲，甲、乙、乙两车两车分别沿同一分别沿同一条路条路 线线 从从 A 地地 出出 发发 驶驶 往往B 地，已知地，已知甲车的甲车的速度为速度为 60 km/h，乙，乙 车车 的的 速度速度 为为 90 km/h，甲甲 车车 先出先出 发发 1 h 后后 乙乙 车车 再再 出发出发，乙车到达，乙车到达 B 地地后后在原地在原地等甲车等甲车(1)乙车出发多长乙车出发多
19、长时间追上时间追上甲车甲车？解解：设：设乙车出发乙车出发x h追上甲车，追上甲车，由题意得由题意得90 x60(x1)，解得，解得x2.答：乙车出发答：乙车出发2 h追上甲车追上甲车知知3 3练练(2)乙车出发多长乙车出发多长时间与时间与甲车相距甲车相距50 km？知知3 3练练小李和爸爸周末去体育中心晨练，两人沿小李和爸爸周末去体育中心晨练，两人沿 400 m 的跑的跑道匀速跑步，每次总是小李跑了道匀速跑步，每次总是小李跑了 2 圈爸爸跑圈爸爸跑 3 圈圈，一一次两人次两人在同在同地同时反向而跑，小李最后发现隔了地同时反向而跑，小李最后发现隔了 32 s 两人第一次相遇两人第一次相遇.(1)
20、求两人的速度求两人的速度.(2)若小李和爸爸在同地同时同向而跑，则过多久两人若小李和爸爸在同地同时同向而跑，则过多久两人首次相遇？首次相遇？例5知知3 3练练解题秘方解题秘方：可将环形中的相遇或追及问题转化为可将环形中的相遇或追及问题转化为直线形直线形中的中的相遇或追及问题相遇或追及问题.解解：设小李的速度为：设小李的速度为 2x m/s，则爸爸的速度为，则爸爸的速度为 3x m/s.根据题意得根据题意得32(2x+3x)=400.解解得得x=2.5.所以所以2x=5，3x=7.5.答：小李的速度为答：小李的速度为 5 m/s，爸爸的速度为，爸爸的速度为 7.5 m/s.(1)求两人的速度求两
21、人的速度.知知3 3练练解解：设过了：设过了 t s 两人首次相遇两人首次相遇.根据题意得根据题意得 7.5t5t=400.解得解得 t=160.答：过了答：过了 160 s 两人首次相遇两人首次相遇.(2)若小李和爸爸在同地同时同向而跑，则过多若小李和爸爸在同地同时同向而跑，则过多久两人首次相遇？久两人首次相遇？知知3 3练练方法点拨：方法点拨：环形运动问题中的相等环形运动问题中的相等关系关系(同时同时同地同地出发出发)：(1)同向相遇：第一次相遇快者跑的路程同向相遇：第一次相遇快者跑的路程 第一第一次相遇次相遇慢者慢者跑的路程跑的路程=跑道一圈的长度；跑道一圈的长度；(2)反向相遇：第一次
22、相遇快者跑的路程反向相遇：第一次相遇快者跑的路程+第一次第一次相遇相遇慢者慢者跑的路程跑的路程=跑道一圈的长度跑道一圈的长度.知知3 3练练5-1.甲、乙两人在甲、乙两人在400 m的的环形跑道上练习环形跑道上练习跑步跑步，已知甲，已知甲的速度为的速度为每分钟每分钟 200 m，乙的，乙的速度为速度为每分钟每分钟 120 m，且且两人两人都是同时出发，同都是同时出发，同向而行向而行的的.(1)如果甲如果甲、乙、乙 两两 人人 从同从同 一一 个个 地地 点点 出出 发，那么几分发，那么几分钟后两人第一次相遇钟后两人第一次相遇？解解：设：设x min后两人第一次相遇，后两人第一次相遇，根据题意，
23、得根据题意，得200 x120 x400，解得，解得x5.答：答：5 min后两人第一次相遇后两人第一次相遇知知3 3练练(2)如果如果甲在乙前方甲在乙前方80 m处处，那么几分钟后两那么几分钟后两人第一次人第一次相遇？相遇？解：解：设设y min后两人第一次相遇，后两人第一次相遇，根据题意，得根据题意，得200y120y40080，解得解得y4.答：答：4 min后两人第一次相遇后两人第一次相遇知知3 3练练一艘轮船在两个码头间航行，顺流需航行一艘轮船在两个码头间航行，顺流需航行 4 h，逆流，逆流需航行需航行 5 h，如果水流速度为，如果水流速度为 3 km/h，求两个码头间，求两个码头间
24、的距离的距离.例6 知知3 3练练直接设未知数直接设未知数.间接间接设未知数设未知数.知知3 3练练6-1.月考月考蚌埠蚌埠甲甲、乙两港口相、乙两港口相 距距80 km，一，一艘轮船艘轮船从甲港口从甲港口逆流向逆流向乙港口航行，航行乙港口航行，航行速度速度为为48 km/h，水流水流速度为速度为2 km/h，现计划在甲，现计划在甲、乙、乙两港口之间两港口之间修建一修建一个丙个丙港口，若该轮船从港口，若该轮船从甲港口甲港口航行到丙港航行到丙港口所口所用时间用时间与从乙港口航行与从乙港口航行到丙到丙港口所用时间相港口所用时间相同同，求，求甲港口与丙港口甲港口与丙港口之间的之间的距离距离知知3 3练练
