1、16.3 16.3 角角的平分线的平分线第十六章第十六章 轴对称轴对称和中心对称和中心对称知知1 1讲讲知识点知识点角平分线的性质定理角平分线的性质定理11.性质定理性质定理 角平分线上的点到这个角的角平分线上的点到这个角的两边的距离两边的距离相等相等.角平分线的性质定理的两个必要条件：角平分线的性质定理的两个必要条件：(1)点点在角平分线上在角平分线上；(2)这个这个点到角两边的距离相等点到角两边的距离相等，即即点到角的两边的垂线段的长度相等点到角的两边的垂线段的长度相等.二者缺一不可二者缺一不可.知知1 1讲讲特别提醒特别提醒1.角平分线的性质角平分线的性质定理是定理是由两个条件由两个条件
2、(角平分线角平分线，两条垂线段两条垂线段)得到得到一个结论一个结论(线段相等线段相等).2.利用角平分线的利用角平分线的性质定理证明性质定理证明线段相等时线段相等时，证明证明的线段是的线段是“垂直于垂直于角两边的线段角两边的线段”而不而不是是“垂直于垂直于角平分线角平分线的线段的线段”.2.几何语言几何语言 如图如图 16-3-1.OC 平分平分 AOB，点，点 P 是是 OC 上一点，上一点，PD OA 于点于点 D，PE OB 于点于点 E，PD=PE.知知1 1讲讲知知1 1练练母母题题 教材教材 P123 习题习题 A 组组 T2 如如图图 16-3-2，OD 平分平分 EOF，在在O
3、E，OF上分别取点上分别取点 A，B，使，使 OA=OB，P 为为 OD 上一点，上一点，PM BD，PN AD，垂足分别为，垂足分别为 M，N.求证：求证：PM=PN.例1知知1 1练练解题秘方解题秘方：在图中找出符合角平分线的性质定理在图中找出符合角平分线的性质定理的模型的模型，利用，利用角平分线的性质定理证角平分线的性质定理证线段相等线段相等.知知1 1练练知知1 1练练1-1.期末期末承德承德 如图如图，AD 是是 ABC 的的角平分线角平分线，DE AB，DF AC，垂足分别为，垂足分别为 E，F，连接连接 EF 与与AD 相交于点相交于点O，下列，下列结论不一定成立结论不一定成立的
4、是的是()A.DE=DF B.AE=AFC.OD=OF D.OE=OFC知知1 1练练期末期末邢台邢台 母题教材母题教材 P122 练习练习 T1 如图如图 16-3-3，OD 平分平分 AOB，DE AO 于点于点 E，DE=5，点，点 F 是射线是射线 OB 上的任意一点，则上的任意一点，则 DF的的长度不可能长度不可能是是()A.4 B.5 C.6 D.7例2 知知1 1练练解解：如图：如图 16-3-3，过点，过点 D 作作 DH OB 于点于点 H.OD 平分平分 AOB，DE AO，DH OB，DH=DE=5，DF 5.解题秘方解题秘方：利用角平分线上的点到这个角两边的利用角平分线
5、上的点到这个角两边的距离距离相等以及相等以及垂线段最短得到垂线段最短得到 DF 的的取值范围，再对各项进行判断取值范围，再对各项进行判断.答案答案：A知知1 1练练2-1.如图，点如图，点 P是是 AOB的的平分线平分线 OC 上一点上一点，PE OA 于点于点 E，OE=8，点点 F 是射线是射线 OB 上的上的一个动一个动点点.若若 PF 的最小值的最小值为为 4，则，则 POE的的面积为面积为 _.16知知2 2讲讲知识点知识点角平分线性质定理的逆定理角平分线性质定理的逆定理21.逆定理逆定理 到角的两边到角的两边距离距离相等的点在角平分线上相等的点在角平分线上.2.几何语言几何语言 如
6、图如图 16-3-4.点点 P 为为 AOB 内一点，内一点，PD OA，PE OB，垂足分别为，垂足分别为 D，E，且，且 PD=PE，点点 P 在在 AOB 的平分线的平分线 OC 上上.在角的内部在角的内部.知知2 2讲讲在角的内部在角的内部.知知2 2讲讲特别提醒特别提醒1.该逆定理是由两个该逆定理是由两个条件条件(两条垂线段，线段相两条垂线段，线段相等等)得到得到一个结论一个结论(角平分线角平分线).2.该逆定理是证明两该逆定理是证明两角相等角相等的重要依据，它的重要依据，它比比利用利用三角形全等证两三角形全等证两角相等角相等更方便快捷更方便快捷.知知2 2练练如图如图 16-3-5
7、，BE=CF，BF AC 于点于点 F，CE AB于点于点 E，BF 和和 CE 交于点交于点 D，连接，连接 AD.求证求证：AD 平分平分 BAC.例3知知2 2练练解题秘方解题秘方：利用角平分线性质定理的逆定理证明利用角平分线性质定理的逆定理证明角平分线时角平分线时，紧扣点在角的内部且点，紧扣点在角的内部且点到角两边的距离相等进行证明到角两边的距离相等进行证明.知知2 2练练知知2 2练练3-1.如图如图，在，在 ABC中中，BD AC 于于 点点 D，CE AB 于于 点点 E，且且BO=CO.求证求证：AO 平分平分 BAC.知知2 2练练知知3 3讲讲知识点知识点作已知角的平分线作
8、已知角的平分线3尺规作角平分线的步骤尺规作角平分线的步骤如图如图 16-3-6，已知，已知 AOB.求作：求作：AOB 的平分线的平分线.知知3 3讲讲知知3 3讲讲知知3 3练练例4 解题秘方解题秘方：利用尺规作图作两次角平分线即可利用尺规作图作两次角平分线即可.知知3 3练练知知3 3练练4-1.尺规作图尺规作图：已知已知 ABC(如图如图)，在，在 ABC 内求作内求作一点一点 P，使，使 点点 P 到到 A 的两边的两边AB，AC 的距离的距离相等，相等，且且PB=PA.解：如图，作解：如图，作CAB的平分线的平分线AD，再再作作AB的垂直平分线的垂直平分线MN，AD与与MN的交点即为
9、点的交点即为点P.知知4 4讲讲知识点知识点三角形的角平分线的性质（拓展）三角形的角平分线的性质（拓展）41.性质定理性质定理三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三条条边边的距离相等，这一点叫三角形的内心的距离相等，这一点叫三角形的内心.知知4 4讲讲2.几何语言几何语言如图如图 16-3-10，在，在 ABC 中，中，AD，BM，CN 分别是分别是 BAC，ABC，ACB 的的平分线，平分线，AD，BM，CN 交于一点交于一点 O，且点，且点O 到三边到三边 BC，AB，AC 的距离的距离(OE，OG，OF 的的长长)相等相等，即，即 OE=
10、OG=OF.知知4 4讲讲要点解读要点解读三角形的三条三角形的三条角平分线角平分线相交于三角形相交于三角形内内 一点，且一点，且该点到三角形三边的该点到三角形三边的距离距离相等相等.反之，反之，三角形三角形内部内部到三边距离相等的到三边距离相等的点是点是三角形三条三角形三条角平分线角平分线的交点的交点.知知4 4练练如图如图 16-3-11，ABC 的三边的三边 AB，BC，AC 的的 长长 分分别别为为 10 cm，15 cm 和和 20 cm，三条三条角平角平 分分 线的交线的交 点点 为为 O，则则S AOB S BOC S COA=()A.2 3 4B.3 4 5C.1 2 3D.5
11、12 13例5知知4 4练练解题秘方解题秘方：根据三角形的角平分线的性质即可解答根据三角形的角平分线的性质即可解答.解解：如图：如图 16-3-11，过点，过点 O 作作 OM AB 于点于点 M，ON BC于于点点 N，OK AC 于点于点 K.ABC 的三条角平分线的交点为的三条角平分线的交点为 O，OM=ON=OK.知知4 4练练答案：答案：A知知4 4练练5-1.如图，如图，O 是是 ABC的三条角平分线的交点的三条角平分线的交点，连接，连接 OA，OB，OC，若，若 OAB，OBC，OAC 的面积分别为的面积分别为S1，S2，S3，则下列关系则下列关系正确的是正确的是()A.S1S2+S3 B.S1=S2+S3C.S1S2+S3 D.无法确定无法确定C角的平分线角的平分线性质定理性质定理性质定理的逆定理性质定理的逆定理角的平分线角的平分线作已知角的作已知角的平分线平分线尺规尺规作图作图
