1、17.5 17.5 反证法反证法第十七章第十七章 特殊特殊三角形三角形知知1 1讲讲知识点知识点反证法反证法1.概念概念 在在证明时，先假设原命题结论不正确，然后从证明时，先假设原命题结论不正确，然后从这这个假设个假设出发，经过逐步推理论证，最后推出与学过的概念出发，经过逐步推理论证，最后推出与学过的概念、基本基本事实、已证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果事实、已证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果，从而从而得出假设是错误的，原命题结论是正确的得出假设是错误的，原命题结论是正确的.这种这种证明证明命题命题的方法叫做反证法的方法叫做反证法.知知1 1讲讲特别解读特别解读1.当一个命题从正面
2、当一个命题从正面证明证明有困难时，一般有困难时，一般采用采用反证法反证法证明较方便证明较方便.2.用反证法证明时，用反证法证明时，否定的否定的是命题的结论，是命题的结论，而而不是不是否定已知条件否定已知条件.2.用反证法证明命题的一般用反证法证明命题的一般步骤步骤知知1 1讲讲否定结论否定结论 假设命题的结论不成立假设命题的结论不成立从这个假设和其他已知条件出发，经过推理从这个假设和其他已知条件出发，经过推理论证论证，得出与得出与学过的概念、基学过的概念、基 本事实、已证明的定理、性本事实、已证明的定理、性质或题质或题设条件设条件相矛盾的结果相矛盾的结果推出矛盾推出矛盾肯定结论肯定结论由矛盾的
3、结果，判定假设不成立，从而由矛盾的结果，判定假设不成立，从而说明命题的说明命题的结论是结论是正确的正确的3.适合用反证法的命题类型适合用反证法的命题类型(1)结论以否定形式出现的命题，如钝角三角形中不能有结论以否定形式出现的命题，如钝角三角形中不能有两两个钝角个钝角；(2)唯一性唯一性命题，如不重合的两条直线相交只有一个交点；命题，如不重合的两条直线相交只有一个交点；(3)结论以结论以“至多至多”“”“至少至少”等形式叙述的命题，如一个等形式叙述的命题，如一个凸多边形凸多边形中至多有三个锐角中至多有三个锐角.知知1 1讲讲4.常见的结论词的否定形式常见的结论词的否定形式知知1 1讲讲结论结论词
4、词 是是 都是都是 大大(小小)于于能能 相等相等 至少至少有一有一个个至少至少有有n 个个至多至多有一有一个个 负数负数否定否定形式形式 不是不是 不都不都 是是 不大不大(小小)于于 不能不能 不相不相 等等 一个一个也没也没有有至多至多有有(n1)个个至少至少有两有两个个非负非负数数知知1 1讲讲特别提醒特别提醒用反证法证明时用反证法证明时，因为，因为要假设命题的要假设命题的结论结论不成立，所以必须不成立，所以必须考虑考虑结论的反面可能结论的反面可能出现的出现的所有情况所有情况.如果如果结论的结论的反面只有一种情况反面只有一种情况，那，那么么只需要否定这种只需要否定这种情况情况，就足以证
5、明原，就足以证明原命题的命题的结论是正确的；结论是正确的；如果结论如果结论的反面不止一种的反面不止一种情况情况，那么必须把各种那么必须把各种可能可能的情况全部列举的情况全部列举出来出来，并，并且要一一加以且要一一加以否定否定，才能证明原命题，才能证明原命题的结论的结论是是正确的正确的.知知1 1练练求证：在一个三角形中，不能有两个角是钝角求证：在一个三角形中，不能有两个角是钝角.例1解题秘方：解题秘方：本题是命题类证明题，需要先写出已本题是命题类证明题，需要先写出已知、求证知、求证，然后，然后利用所学知识写出证利用所学知识写出证明过程明过程.本题不易直接证明，可本题不易直接证明，可考虑考虑运用
6、运用反证法来证明反证法来证明.知知1 1练练解解：已知：已知：A，B，C 是是 ABC 的三个内角的三个内角.求证：求证：A，B，C 中不能有两个角是钝角中不能有两个角是钝角.证明：证明：假设假设 A，B，C 中有两个角是钝角，中有两个角是钝角，不妨设不妨设 A90，B90，则则 A+B+C180.这与三角形内角和定理相矛盾，故这与三角形内角和定理相矛盾，故 ，B 均大于均大于 90 不不成立成立.即在一个三角形中，即在一个三角形中，不能有两个角是钝角不能有两个角是钝角.否定结论否定结论.推出矛盾推出矛盾.肯定结论肯定结论.知知1 1练练1-1.用反证法证明用反证法证明“等腰三角形等腰三角形的
7、底角一定是的底角一定是锐角锐角”，应应假设假设_.等腰三角形的底角不一定是锐角等腰三角形的底角不一定是锐角知知1 1练练1-2.用反证法证明：用反证法证明：在同在同一平面内，若一条一平面内，若一条直线与直线与 两两条平行线中的条平行线中的一条一条相交，则它必与另一相交，则它必与另一条相交条相交.解：已知：在同一平面内，解：已知：在同一平面内，l1l2，l1与与l3相交于点相交于点A，如图所示如图所示求证：求证：l3必与必与l2相交相交证明：假设证明：假设l3与与l2不相交，不相交，则则l1l2，l3l2，l1l3，这与已知中，这与已知中l1与与l3相交于点相交于点A相矛盾相矛盾，假设不成立假设不成立故故l3必与必与l2相交相交反证法反证法关键关键 步骤和作用步骤和作用反证法反证法 课后作业课后作业
