1、17.1 17.1 等腰三角形等腰三角形第十七章第十七章 特殊特殊三角形三角形知知1 1讲讲知识点知识点等腰三角形的有关概念等腰三角形的有关概念11.等腰三角形等腰三角形 有有两边相等两边相等的三角形叫做等腰三角形的三角形叫做等腰三角形.2.等腰三角形的有关概念等腰三角形的有关概念在等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底在等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边边，两，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.顶顶角是角是直角直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形的等腰三角形叫做等腰直角三角形.知知1 1讲讲注意注意：(1)在描述等腰三角形的角
2、和边时，一般要说明是顶角还是在描述等腰三角形的角和边时，一般要说明是顶角还是底底角角、是腰还是底边、是腰还是底边.如果没有明确说明，则要考虑所有如果没有明确说明，则要考虑所有可可能的能的情况情况.(2)等腰三角形的顶角可以是锐角、直角或钝角，但底角只能等腰三角形的顶角可以是锐角、直角或钝角，但底角只能是锐角是锐角.知知1 1讲讲知知1 1讲讲特别解读特别解读确定等腰三角形确定等腰三角形的两的两条腰时，应找条腰时，应找三角形三角形中中相等的两边，腰与相等的两边，腰与三角形三角形本身的位置无关本身的位置无关.知知1 1练练一个等腰三角形的两边长分别为一个等腰三角形的两边长分别为 4 和和 6，求这
3、个，求这个等腰等腰三角形三角形的周长的周长.例1解题秘方解题秘方：根据等腰三角形的定义确定腰和底边根据等腰三角形的定义确定腰和底边的长，再的长，再利用利用三角形三边关系进行判三角形三边关系进行判断并计算断并计算.知知1 1练练解解：等腰三角形的底边长和腰长不确定，等腰三角形的底边长和腰长不确定，需分两种情况讨论需分两种情况讨论.当当 4 为腰长时，该等腰三角形的三边长分别为为腰长时，该等腰三角形的三边长分别为 4，4，6，4+46，满足三角形的三边关系，满足三角形的三边关系，周长周长=4+4+6=14；当当 6 为腰长时，该等腰三角形的三边长分别为为腰长时，该等腰三角形的三边长分别为 4，6，
4、6，4+66，满足三角形的三边关系，满足三角形的三边关系，周长周长=6+6+4=16.综上可知，这个等腰三角形的周长为综上可知，这个等腰三角形的周长为 14 或或 16.知知1 1练练1-1.已知已知等腰三角形的等腰三角形的一边长为一边长为 5，周长为周长为 20，则则 它它 的腰长为的腰长为_.知知1 1练练1-2.中考中考苏州苏州 定义定义：一个三角形的：一个三角形的一边长一边长是另一是另一边长的边长的 2倍倍，这样的三角形，这样的三角形叫做叫做“倍长三角形倍长三角形”.若等腰三角形若等腰三角形 ABC 是是“倍长三角形倍长三角形”，底边底边 BC 的长为的长为 3，则，则腰腰AB 的长为
5、的长为 _6知知2 2讲讲知识点知识点等腰三角形的性质定理等腰三角形的性质定理21.对称性对称性 等腰三角形是轴对称图形，底边的垂直平分线是等腰三角形是轴对称图形，底边的垂直平分线是它的它的对称轴对称轴2.性质定理性质定理 1 等腰三角形的两个底角等腰三角形的两个底角相等相等(简称简称“等边对等等边对等角角”).3.性质定理性质定理 2 等腰三角形等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、的顶角平分线、底边上的中线、底边底边上的上的高重合高重合(简称简称“三线合一三线合一”).必须在同一个三角形中必须在同一个三角形中.它们它们所在的直线是等腰所在的直线是等腰三角形的对称轴三角形的对称轴.知知2 2
6、讲讲4.有关等腰三角形的性质的一些有关等腰三角形的性质的一些结论结论(拓展拓展)(1)等腰三角形两腰上的中线相等，两腰上的高相等，两底等腰三角形两腰上的中线相等，两腰上的高相等，两底角角的平分的平分线也相等线也相等.(2)等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的上的高高.(3)等腰三角形等腰三角形底边上的底边上的高高(或或底边上的中线或顶底边上的中线或顶角平分线角平分线)上上任意一点到两腰的距离相等任意一点到两腰的距离相等.知知2 2讲讲特别提醒特别提醒1.“等边对等角等边对等角”是是证明角证明角相等的常用方法，相等的常用方法，应用应
7、用它证角相等时可省去三角形全等的证明，因而更它证角相等时可省去三角形全等的证明，因而更简便简便.2.“三线合一三线合一”应用应用的前提的前提必须是必须是等腰三角形等腰三角形，且，且是底边上是底边上的高的高、底边上的中线、底边上的中线和顶和顶角平分线重合，角平分线重合，而同而同一腰上的高、一腰上的高、中线则中线则不一定重合不一定重合.知知2 2练练母母题题 教材教材 P160 练习练习 T2 如如图图 17-1-1，在，在 ABC 中，中，AB=AC，BD，CE 分别是分别是 AC，AB 边上的高边上的高.求证：求证：BD=CE.例2 知知2 2练练解题秘方解题秘方：利用等腰三角形的性质定理为利
8、用等腰三角形的性质定理为证明证明 BEC 和和 CDB 全等创造条件全等创造条件.知知2 2练练知知2 2练练知知2 2练练2-1.中考中考烟台烟台如图如图，点，点 C 为线段为线段 AB 上一点上一点，分别，分别以以 AC，BC 为为等腰三角形等腰三角形的底边，在的底边，在 AB 的同的同侧侧作等腰三角形作等腰三角形 ACD和和等腰三角形等腰三角形 BCE，且且 A=CBE.在在 线线 段段EC 上取一点上取一点 F，使，使 EF=AD，连，连接接 BF，DE，求证求证：DE=BF知知2 2练练证明：证明：ACD，BCE都是等腰三角形，都是等腰三角形，ADCD，ADCA，CEEB.ACBE，
9、DCACBE.DCBE.DCEFEB.EFAD，ADCD，CDEF.又又CEEB，DCEFEB(SAS)DEBF.知知2 2练练如图如图 17-1-2，AB=AE，BC=DE，B=E，AM CD，垂足为，垂足为 M.求证求证：CM=MD.例3知知2 2练练解题秘方解题秘方：由已知由已知 AM CD 和结论和结论 CM=MD，联想到联想到等腰三角形等腰三角形“三线合一三线合一”的性的性质，因此连接质，因此连接 AC，AD，构造，构造等腰等腰 三角形三角形.知知2 2练练知知2 2练练方法点拨：方法点拨：等腰三角形中几种常见的作辅助线的方法：等腰三角形中几种常见的作辅助线的方法：(1)如如图图 1
10、7-1-3 甲的情甲的情 形，需作底边形，需作底边 上的高上的高；(2)如图如图17-1-3 乙的情形，需作顶角平分线乙的情形，需作顶角平分线；(3)如如图图 17-1-3 丙丙的情形的情形，需，需连接连接 AD 并延长，再证是并延长，再证是“三线三线”.知知2 2练练3-1.如图如图，在，在 ABC中中，AB=AC，BEF=CFH，BE=CF，M 是是EH 的中点的中点.求证：求证：FMEH.知知2 2练练如图如图 17-1-4，在在 ABC中，中，AB=AC，AD平分平分 BAC.(1)求求 ADB 的度数；的度数；(2)若若 BAC=100，求，求 B，C 的度数；的度数；(3)若若 B
11、C=3 cm，求，求 BD 的长的长.例4 知知2 2练练解题秘方解题秘方：紧扣等腰三角形的性质定理进行解答紧扣等腰三角形的性质定理进行解答.解解：AB=AC，AD 平分平分 BAC，AD BC.ADB=90.由角平分线得到高线由角平分线得到高线.(1)求求 ADB 的度数的度数；知知2 2练练(2)若若 BAC=100，求，求 B，C 的度数；的度数；(3)若若 BC=3 cm，求，求 BD 的长的长.由角平分线由角平分线得到中线得到中线.知知2 2练练4-1.如图，在如图，在ABC中中，AB=AC=7 cm，AD BC于于点点 D，点，点 E 在在 AC 上上，且，且 AE=AD.(1)若
12、若 ABC的周长的周长是是24 cm，求线段，求线段BD的长的长；知知2 2练练(2)若若 B=50，求求 CDE 的的度数度数.知知3 3讲讲知识点知识点等边三角形的定义与性质定理等边三角形的定义与性质定理31.等边三角形等边三角形 三三边都相等的三角形叫做等边三角形边都相等的三角形叫做等边三角形.等等边三角形边三角形是等腰三角形的特例是等腰三角形的特例.2.等边三角形的性质定理等边三角形的性质定理 等边三角形等边三角形的三个角都相等，的三个角都相等，并且每并且每一个角都等于一个角都等于 60.知知3 3讲讲3.等边三角形的其他性质等边三角形的其他性质(1)等边三角形等边三角形是轴对称图形，
13、它有是轴对称图形，它有 3 条对称轴，分别条对称轴，分别为为 三边的三边的垂直平分线；垂直平分线；(2)等边三角形等边三角形各边上的高、中线、对应的角平分线重合，各边上的高、中线、对应的角平分线重合，且且长度长度相等相等.知知3 3讲讲特别解读特别解读等边三角形是特殊的等边三角形是特殊的等腰三角形等腰三角形，所以：，所以：(1)任意任意两边都可以两边都可以作为作为腰；腰；(2)任意任意一个角都一个角都可以作为可以作为顶角；顶角；(3)任意任意一边上都一边上都“三线合一三线合一”.知知3 3练练如图如图 17-1-5，ABC 是等边三角形，是等边三角形，D，E，F 分别分别是三是三边边 AB，A
14、C，BC 上的点，且上的点，且 DE AC，EF BC，FD AB，求求 DEF 各个内角的度数各个内角的度数.例5知知3 3练练解题秘方解题秘方：紧扣等边三角形的三个内角都等于紧扣等边三角形的三个内角都等于 60 求角的度数求角的度数.知知3 3练练解解：ABC 是等边三角形，是等边三角形，A=B=C=60.DE AC，EF BC，FD AB，AED=EFC=FDB=90.ADE=180 AED A=30.EDF=1803090=60.同理可得同理可得 DEF=EFD=60，DEF 各个内角的度数都是各个内角的度数都是 60.知知3 3练练5-1.二模二模廊坊广廊坊广阳区阳区 在在“玩转数学
15、玩转数学”活动活动中，小中，小林剪掉林剪掉等边三角形等边三角形纸片的一角，如纸片的一角，如图所图所示，发现示，发现得到的得到的 1 与与 2的和总是一个定值的和总是一个定值，则，则 1+2=_.240知知3 3练练 中考中考荆州荆州如图如图17-1-6，BD 是等边三角形是等边三角形 ABC 的中的中线线，以，以 D 为圆心，为圆心，DB 的长为半径画弧，交的长为半径画弧，交 BC 的延的延长线于点长线于点 E，连接连接DE求证：求证：CD=CE.例6 解题秘方解题秘方：利用等边三角形的性质，利用等边三角形的性质，将线段的问题转化为将线段的问题转化为角的角的问题问题.知知3 3练练知知3 3练
16、练6-1.如图，如图，ABC 为为等边三角形等边三角形，点，点 E，F 分别分别在边在边AC，BC 上，上，AE=CF，BE=10，AF 与与BE 相交相交于点于点 D，AD=3.(1)求证求证：ABF BCE；知知3 3练练知知3 3练练(2)求求 DF 的长度的长度.解：解：ABFBCE，AFBE10.又又AFADDF，AD3，DF7.知知4 4讲讲知识点知识点 等腰三角形的判定定理等腰三角形的判定定理41.判定定理判定定理 如果如果一个三角形有两个角相等，那么一个三角形有两个角相等，那么这个这个 三角形是三角形是等腰三角形等腰三角形.其中，两个相等的角所对的边其中，两个相等的角所对的边相
17、等相等.(简称简称“等角对等边等角对等边”)在同一个三角形中在同一个三角形中.知知4 4讲讲2.等腰三角形的性质定理与判定定理的异同等腰三角形的性质定理与判定定理的异同相同点相同点 都是指同一个三角形中边角之间的对应关系都是指同一个三角形中边角之间的对应关系不同点不同点“等边对等角等边对等角”(等腰三角形等腰三角形的的性质性质)：两边两边相等相等这两边所对的角相等这两边所对的角相等.“等角对等边等角对等边”(等腰三角形等腰三角形的的判定判定)：两角相两角相等等这两角所对的边相等这两角所对的边相等知知4 4讲讲特别提醒特别提醒1.等腰三角形的定义等腰三角形的定义也是也是等腰三角形的一等腰三角形的
18、一种判定种判定方法方法.2.“等角对等边等角对等边”不能不能叙述叙述为为“如果一个如果一个三角形有三角形有两个底角相等，两个底角相等，那么它那么它的两条腰相等的两条腰相等”，因为因为在未判定出它是在未判定出它是等腰三角形等腰三角形之前，之前，不能用不能用“底底角角”“”“顶角顶角”“腰腰”“底边底边”这些名词这些名词.知知4 4讲讲3.已知底边及底边上的高，用尺规作等腰三角形已知底边及底边上的高，用尺规作等腰三角形已知：如图已知：如图 17-1-7，线段，线段 a 和和 h.求作：等腰三角形求作：等腰三角形 ABC，使，使 BC=a，高，高 AD=h.作法：如图作法：如图 17-1-8.(1)
19、作作线段线段 BC=a.(2)作作 BC 的垂直平分线的垂直平分线 MN，交，交 BC 于点于点 D.(3)在在射线射线 DM 上截取上截取 DA=h.(4)连接连接 AB，AC.ABC 即为所求即为所求.知知4 4讲讲依据依据线段垂直平分线上线段垂直平分线上的点的点到线段两端的距离到线段两端的距离相相等等，AB=AC.ABC为等腰三角形为等腰三角形.知知4 4练练如图如图 17-1-9，在在 ABC 中，中，P 是是 BC 边上一点，过边上一点，过点点 P作作 BC 的垂线，交的垂线，交 AB 于点于点 Q，交，交 CA 的延长线的延长线于点于点 R，且，且 AQ=AR，求证求证：ABC 是
20、等腰三角形是等腰三角形.例7知知4 4练练解题秘方：解题秘方：利用利用“等角对等边等角对等边”判定等腰三角形，判定等腰三角形，只需只需证明三角形证明三角形中两个内角相等即可中两个内角相等即可.证明证明：AQ=AR，R=AQR.又又 BQP=AQR，R=BQP.RP BC，RPB=RPC=90.B+BQP=90，C+R=90.B=C.AB=AC，即，即 ABC 是等腰三角形是等腰三角形.知知4 4练练7-1.期末期末邢台邢台如图如图，在，在 ABC 中，中，A=36，B=72，CD 平分平分 ACB，DE AC，则，则图图中的等腰三角形中的等腰三角形共有共有()A.2 个个 B.3 个个C.4
21、个个 D.5 个个D知知4 4练练母母题题 教材教材 P146 习题习题 A组组T4 如图如图 17-1-10，在在 ABC 中中，ABC，CAB 的平分线交于点的平分线交于点 P，过，过点点 P 作作 DE AB，分别，分别交交BC，AC 于点于点 D，E.求证求证：DE=BD+AE.例8 知知4 4练练解题秘方解题秘方：由平行线的性由平行线的性 质结合角平分线的定义质结合角平分线的定义可可证明证明DP=DB，PE=AE，即可证得，即可证得结论结论.知知4 4练练证明证明：DE AB，ABP=DPB.BP 平分平分 ABC，ABP=DBP.DBP=DPB.DP=DB.同理可得同理可得 EP=
22、EA.DE=DP+EP=DB+EA，即即 DE=BD+AE.角平分线角平分线+平行线平行线等腰等腰三角形三角形.知知4 4练练8-1.期末期末 石家庄石家庄 如如图，在图，在 ABC 中，中，过点过点 A 的的直线直线 DE BC，ABC 与与 ACB 的的平分平分线分别线分别交交 DE 于于 E，D 两点，求证：两点，求证：DE=AB+AC.证明：证明：DEBC，EBCE.BE平分平分ABC，EBCABE.EABE.ABAE.同理可得同理可得ADAC，DEADAEABAC.知知5 5讲讲知识点知识点等边三角形的判定定理等边三角形的判定定理51.判定定理判定定理 1 三三个角都相等的三角形是等
23、边三角形个角都相等的三角形是等边三角形.2.判定定理判定定理 2 有有一个角等于一个角等于 60 的等腰三角形是的等腰三角形是等边等边 三角形三角形.知知5 5讲讲知知5 5讲讲特别解读特别解读等边三角形的判定方法：等边三角形的判定方法：若已知三边关系若已知三边关系，一般，一般选用定义判定；若选用定义判定；若已知已知三角关系，一般选用三角关系，一般选用判定判定定理定理1判定；若已判定；若已知知该三角形该三角形是等腰三角形，是等腰三角形，一般一般选用判定定理选用判定定理2判定判定.知知5 5练练如图如图 17-1-11，在等边三角形，在等边三角形 ABC 中，中，ABC 和和 ACB的的平分线相
24、交于点平分线相交于点 O，OB，OC 的垂直平的垂直平分线分别交分线分别交 BC 于点于点 E，F，连接，连接 OE，OF.求证求证：OEF 是等边三角形是等边三角形.例9知知5 5练练解题秘方解题秘方：利用等边三角形的判定定理利用等边三角形的判定定理 1，通过，通过求求 OEF=OFE=60，得得 OEF 是等边三角形是等边三角形.知知5 5练练证明证明：ABC 是等边三角形，是等边三角形，ABC=ACB=60.BO 平分平分 ABC，OBE=30.OB 的垂直平分线交的垂直平分线交 BC 于点于点 E，OE=BE.BOE=OBE=30.OEF=BOE+OBE=60.同理同理可得可得 OFE
25、=60.EOF=60.OEF=OFE=EOF.OEF 是等边三角形是等边三角形.知知5 5练练9-1.如图，如图，ABC 为为等边三角形等边三角形，1=2=3，求证：求证：DEF 是是等边三角形等边三角形.证明：证明：ABC是等边三角形，是等边三角形，ABCBCACAB60.又又123，FDEABE1，FDEABE2ABC60.同理可得同理可得DEFEFD60，FDEDEFEFD.DEF是等边三角形是等边三角形知知5 5练练如图如图 17-1-12，点，点 C 为线段为线段 AB 上一点，上一点，ACM，CBN都是都是等边三角形，等边三角形，AN，MC 相交于点相交于点 E，BM，CN 相交于
26、点相交于点 F，连接连接 EF.求证：求证：(1)AN=BM；(2)CEF 是等边三角形是等边三角形.例10 知知5 5练练解题秘方解题秘方：要要证证 AN=BM，只需证，只需证 ACN MCB；(1)AN=BM；知知5 5练练解题秘方解题秘方：根据已知条件，易求根据已知条件，易求 ECF=60，故故证明证明 ECF 为等腰三角形即可为等腰三角形即可.(2)CEF 是等边三角形是等边三角形.知知5 5练练知知5 5练练10-1.如图，在如图，在 ABC中中，DE 是边是边 BC 的的垂直平分线垂直平分线，分别交边分别交边AC，BC 于点于点 D，E，BF AC于于点点 F，且且 F 为线段为线
27、段 AD的的中点，延长中点，延长 BF 与与 BC的的垂直平垂直平分线交于点分线交于点G，连接，连接 CG.(1)若若 D 是是AC 的中点的中点，求证，求证：AC=2AB；知知5 5练练知知5 5练练(2)若若 ACB=30，求证求证：BGC 为等边三角形为等边三角形证明：证明：BFAC，BFC90.又又ACB30，GBC60.DE是边是边BC的垂直平分线，的垂直平分线，GBGC.BGC为等边三角形为等边三角形知知5 5练练10-2.如图，如图，ABC 为等边三角形为等边三角形，D 为为 BC 边上边上一点一点.在在 ABC 的的外角外角 ACF 的平分线的平分线 CE上上取点取点 E，使使CE=BD，连接连接 AD，AE，DE.请请判断判断 ADE 的的形状，并形状，并说明理由说明理由.知知5 5练练知知5 5练练ABDACE(SAS)ADAE，BADCAE.又又BACBADDAC60，DAECAEDAC60.ADE为等边三角形为等边三角形等腰三角形等腰三角形等边三角形等边三角形的的性质与判定性质与判定等腰三角形的等腰三角形的性质与判定性质与判定全等三角形的全等三角形的性质与判定性质与判定证明证明的的依据依据特殊特殊
