1、17.3 17.3 勾股定理勾股定理第十七章第十七章 特殊特殊三角形三角形知知1 1讲讲知识点知识点勾股定理勾股定理11.如图如图 17-3-1，我国古代把，我国古代把 直角三角形较短的直角边直角三角形较短的直角边叫做叫做“勾勾”，较长的直角边叫做，较长的直角边叫做“股股”，斜边叫做斜边叫做“弦弦”.因因此，直角三角形三边此，直角三角形三边之间的之间的关系称为勾股定理关系称为勾股定理.知知1 1讲讲特别提醒特别提醒1.勾股定理揭示的是勾股定理揭示的是直角三角形直角三角形的三边的的三边的平方平方关系，关系，只有在只有在直角三角形直角三角形中才可以使用中才可以使用勾股勾股定理定理.2.运用勾股定理
2、时，运用勾股定理时，若未若未确定哪条边是斜边确定哪条边是斜边，则则要分类讨论要分类讨论，写出所有写出所有可能，以免漏可能，以免漏解或解或错解错解.知知1 1讲讲知知1 1练练在在 Rt ABC 中，中，A，B，C 的对边分别为的对边分别为 a，b，c，C=90.(1)已知已知 a=3，b=4，求，求 c；(2)已知已知 c=19，a=13，求，求 b；(结果结果保留保留根号根号)(3)已知已知 a b=1 2，c=5，求，求 b.(结果结果保留保留根号根号)例1解题秘方解题秘方：紧扣勾股定理的特征解答紧扣勾股定理的特征解答.知知1 1练练(1)已知已知 a=3，b=4，求，求 c；(2)已知已
3、知 c=19，a=13，求，求 b；(结果结果保留保留根号根号)知知1 1练练(3)已知已知 a b=1 2，c=5，求，求 b.(结果保留根号结果保留根号)知知1 1练练1-1.期末期末承德承德 如图如图，在，在 4 1 的网格中的网格中，每个，每个正方正方形的边长为形的边长为1，长为，长为 5 的线段是的线段是()A.OA B.OBC.OC D.ODB知知1 1练练1-2.期末期末保定莲保定莲池区池区 已知一直角三角形已知一直角三角形的木板的木板，三边的平方和三边的平方和为为1 800，则斜边长，则斜边长为为()A.10 B.20C.30 D.40C知知2 2讲讲知识点知识点勾股定理勾股定
4、理的验证的验证21.常用证法常用证法 验证勾股定理的方法很多，有测量法、几何证验证勾股定理的方法很多，有测量法、几何证明法明法(以后将学到以后将学到)，但最常用的是，但最常用的是拼图法拼图法，即通过拼，即通过拼图构造特殊图形，图构造特殊图形，并根据并根据拼图中各部分面积之间的关拼图中各部分面积之间的关系来验证系来验证.知知2 2讲讲2.著名证著名证法举例法举例方法方法图形图形说明说明赵赵爽爽“赵赵爽弦图爽弦图”知知2 2讲讲续表续表方法方法图形图形说明说明刘徽刘徽“青青朱出入图朱出入图”设大正方形的面积为设大正方形的面积为 S，则则 S=c2.根据根据“出入相补，出入相补，以盈补虚以盈补虚”的
5、原理，有的原理，有 S=a2b2，所以所以 a2b2c2知知2 2讲讲续表续表方法方法图形图形说明说明加菲尔德加菲尔德总统拼图总统拼图知知2 2讲讲续表续表方法方法图形图形说明说明毕达哥拉毕达哥拉斯拼图斯拼图知知2 2讲讲3.一般三角形中的三边一般三角形中的三边关系关系(拓展拓展)在方格中，利用数格子计算面积的方法可得到以下结论：在方格中，利用数格子计算面积的方法可得到以下结论：(1)在钝角三角形中，若三边长分别为在钝角三角形中，若三边长分别为 a，b，c(c 为最大为最大边长边长)，则，则 a2b2c2.知知2 2讲讲特别提醒特别提醒用拼图法证明用拼图法证明勾股定理的勾股定理的思路：思路：(
6、1)将将图形进行图形进行割补割补拼接拼接形成特殊图形形成特殊图形，注意，注意割补拼接时割补拼接时图图形形之间没有重叠、之间没有重叠、没有没有空隙；空隙；(2)根据根据同一种图形同一种图形的面积的面积的不同表示的不同表示方法方法列出等式；列出等式；(3)利用等式性质利用等式性质验证结论验证结论成立，即拼成立，即拼出图形出图形写出表示写出表示图图形形面积的式子面积的式子找出找出等量关系等量关系恒等变形恒等变形推导结论推导结论.通过通过拼图法拼图法，利用求面积利用求面积来验证结论，来验证结论，这种这种方法是以方法是以数形转换数形转换为指导思想为指导思想，以图形拼，以图形拼补为补为手段，以各部分手段，
7、以各部分面积面积之间之间的关系为依据而的关系为依据而达到达到目的的目的的.知知2 2练练一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启发人们发现了一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启发人们发现了验验证直角三角形证直角三角形三边关系的一种新方法三边关系的一种新方法.如图如图 17-3-2 所所示，示，火柴盒的火柴盒的一个侧面一个侧面 ABCD 倒下后到四边形倒下后到四边形 AB C D的位置，连接的位置，连接 AC，AC，CC，设，设 AB=a，BC=b，AC=c.请请利用利用四边形四边形 BCCD的的面积面积证明证明 a2b2c2.例2 知知2 2练练解题秘方解题秘方：紧扣紧扣“总体面积等于各总体面积等于各部分
8、面积部分面积之和之和”进行证明进行证明.知知2 2练练整个图形的面积等于不重叠、无空整个图形的面积等于不重叠、无空隙的各组成部分的面积的和隙的各组成部分的面积的和.知知2 2练练B知知3 3讲讲知识点知识点勾股定理的应用勾股定理的应用31.勾股定理的应用范围勾股定理的应用范围 勾股定理是直角三角形的一个重要性质，它把直角三勾股定理是直角三角形的一个重要性质，它把直角三角形有一个直角的角形有一个直角的“形形”的特点转化为三边的特点转化为三边“数数”的关系的关系.利用利用勾股定理，可以解决与直角三角形有关的计算和证明问勾股定理，可以解决与直角三角形有关的计算和证明问题题，还，还可以解决生活、生产中
9、的一些实际问题可以解决生活、生产中的一些实际问题.知知3 3讲讲2.勾股定理的应用的常见类型勾股定理的应用的常见类型(1)已知已知直角三角形的任意两边求第三边；直角三角形的任意两边求第三边；(2)已知已知直角三角形的任意一边确定另两边的关系；直角三角形的任意一边确定另两边的关系；(3)证明证明包含包含平方平方(算术平方根算术平方根)关系关系的几何问题；的几何问题；(4)求解求解几何体表面上的最短路程问题；几何体表面上的最短路程问题；(5)构造构造方程方程(或方程组或方程组)计算计算有关线段长度，解决生产、有关线段长度，解决生产、生生活活中的实际问题中的实际问题.知知3 3讲讲解题策略解题策略运
10、用勾股定理解决运用勾股定理解决实际实际问题的一般步骤：问题的一般步骤：(1)从实际问题中抽象从实际问题中抽象出几何图形出几何图形.(2)确定要求的线段确定要求的线段所在所在的直角三角形的直角三角形.(3)找准直角边和斜边找准直角边和斜边，根据，根据勾股定理建立勾股定理建立等量等量关系并列出等式关系并列出等式.(4)求得结果求得结果.知知3 3练练消防消防云梯云梯(如如图图 17-3-3)的的作用作用主要是主要是用于高层建筑用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层建筑高层建筑的的火灾现场，如图火灾现场，如图 17-3-3，已知云梯最多只能伸长到，已
11、知云梯最多只能伸长到 50 m(即即 AA=BB=50 m)，消防车高消防车高 3.4 m，例3知知3 3练练救人救人时云梯伸长至最长时云梯伸长至最长，在，在完成从完成从 33.4 m(即即 A M=33.4 m)高高的的 A处救人后，还要处救人后，还要从从51.4 m(即即 B M=51.4 m)高高的的 B处救人，这时消防车从处救人，这时消防车从 A 处处向着火向着火的楼房靠近的楼房靠近的距离的距离 AB 为多少米？为多少米？知知3 3练练思路导引：思路导引：勾股勾股定理定理求消防车从求消防车从 A 处向着火处向着火的楼房靠近的距离的楼房靠近的距离AB AB=AD BD知知3 3练练知知3
12、 3练练知知3 3练练B知知3 3练练例4 知知3 3练练解题秘方解题秘方：本题主要考查勾股定理，利用本题主要考查勾股定理，利用勾股定勾股定理理建立等量关系，进行巧妙转换是解建立等量关系，进行巧妙转换是解题题的关键的关键.知知3 3练练答案：答案：D知知3 3练练4-1.中考中考随州随州如图如图，在，在 Rt ABC 中，中，C=90，AC=8，BC=6，D 为为AC上一点，若上一点，若BD是是ABC的的平分线，则平分线，则 AD=_.5知知4 4讲讲知识点知识点勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理41.勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理 如果三角形的三边如果三角形的三边 a，b，c 满足满足 a2
13、+b2=c2，那么这个那么这个三角形三角形是直角三角形是直角三角形.c为斜边为斜边.也可以写成也可以写成a2=b2+c2(a为为斜边斜边)或或 b2=a2+c2(b为为斜边斜边).知知4 4讲讲2.利用边的关系判定直角三角形的步骤利用边的关系判定直角三角形的步骤(1)“找找”：找出三角形三边中的最长边：找出三角形三边中的最长边.(2)“算算”：计算较短两边的平方和与最长边的平方：计算较短两边的平方和与最长边的平方.(3)“判判”：若两者相等，则这个三角形是直角三角形；：若两者相等，则这个三角形是直角三角形；否否则不是则不是.知知4 4讲讲3.勾股勾股数数(拓展拓展)(1)定义：定义：如果三个正
14、整数能作为直角三角形的三边长，如果三个正整数能作为直角三角形的三边长，那么那么这这三个正整数叫做勾股数三个正整数叫做勾股数.(2)判断三个数是否为勾股数的步骤：判断三个数是否为勾股数的步骤：确定三个数是否为正整数；确定三个数是否为正整数；找出最大数；找出最大数；计算最大数的平方是否等于较小的两个数的平方和计算最大数的平方是否等于较小的两个数的平方和.特别需要注意的是勾股数必须是正整数特别需要注意的是勾股数必须是正整数.知知4 4讲讲特别提醒特别提醒1.勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理是判定是判定直角三角形的直角三角形的一个一个依据，依据，在判定时在判定时不能不能说说“在直角三角形在直角三角形中
15、中”“直角边直角边”“”“斜边斜边”，因为，因为还没有确定还没有确定是是直角三角形直角三角形.2.拓展：在三角形中，拓展：在三角形中，若较若较短两边的平方和短两边的平方和大大于于最长边的平方，最长边的平方，则这个则这个三角形是三角形是锐角三角锐角三角形形；若较短两边；若较短两边的平方和的平方和小于最长边小于最长边的平方的平方，则这个则这个三角形是三角形是钝角三角形钝角三角形.知知4 4练练例5解题秘方解题秘方：紧扣紧扣“勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理”进行判断进行判断.知知4 4练练解解：在：在 ABC 中，中，AC 2+BC 2=12 2+16 2=20 2=AB 2，ABC 是直角三角形
16、，且是直角三角形，且 C 为直角为直角.知知4 4练练方法点拨：方法点拨：判断判断一个三角形是不是直角三角形的方法：一个三角形是不是直角三角形的方法：(1)当当已知条件与角度有关时，一般通过计算看该已知条件与角度有关时，一般通过计算看该三角三角形中形中是否有两个角互余或有一个角为直角来判断；是否有两个角互余或有一个角为直角来判断；(2)当当已知条件与边有关时，一般通过计算看较短两边已知条件与边有关时，一般通过计算看较短两边的平方和的平方和是否等于最长边的平方来判断是否等于最长边的平方来判断.知知4 4练练5-1.在在 ABC中，中，A，B，C 的对边的对边分别是分别是 a，b，c，那么，那么下
17、面不能下面不能判定判定 ABC 是是直角三角形直角三角形的的是是()A.B=C AB.a2=(b+c)(b c)C.A B C=5 4 3D.a b c=5 4 3C知知4 4练练如图如图 17-3-5，在正方形方格中，每个小，在正方形方格中，每个小正方形正方形的边长的边长都是一个单位长度，点都是一个单位长度，点 A，B，C，D，E 均在小正均在小正方形方形方格方格的顶点上，线段的顶点上，线段 AB，CD 交于点交于点 F，若若 CFB=，则，则 ABE等于等于()A180 B180 2 C90+D90+2例6 知知4 4练练解题秘方解题秘方：本题主要考查勾股定理的逆定理，准本题主要考查勾股定
18、理的逆定理，准确作出确作出辅助线辅助线是解题的关键是解题的关键.知知4 4练练解解：如图：如图 17-3-5，过点，过点 B 作作 BG CD，BG=CD，连接，连接 EG.CD BG，ABG=CFB=BG 2=12+4 2=17，BE 2=12+4 2=17，EG 2=3 2+5 2=34，BG 2+BE 2=EG 2，BEG 是直角三角形，且是直角三角形，且 GBE=90，ABE=GBE+ABG=90+.答案：答案：C知知4 4练练6-1.如图，在边长为如图，在边长为 1的的小正方形组成的网格中小正方形组成的网格中，四边，四边形形 ABCD 的四个的四个顶点顶点均在格点上，请按均在格点上，请按要求完成要求完成下列各题下列各题：(1)线段线段 AC 的长为的长为_，CD 的长的长为为 _，AD 的长的长为为_；5知知4 4练练(2)通过计算说明通过计算说明 ACD 是什么特殊是什么特殊三角形三角形；(3)求求四边形四边形 ABCD 的面积的面积解：解：由由(1)知知AC220，CD25，AD225，AC2CD2AD2，ACD是直角三角形是直角三角形勾股定理勾股定理勾股定理勾股定理直角三角形直角三角形应用应用几何应用几何应用实际应用实际应用验证验证拼图法拼图法面积法面积法条件条件三边平方关系三边平方关系结论结论勾股定理的勾股定理的逆定理逆定理互逆定理互逆定理
