1、14.1.3 反 证 法 考点清单解读 重难题型突破考点清单解读返回目录返回目录考点考点 反反 证证 法法14.1.3 反 证 法定义定义先假设原命题结论不正确，然后从这个假设出发，先假设原命题结论不正确，然后从这个假设出发，经过逐步推理论证，最后推出与事实相矛盾的结经过逐步推理论证，最后推出与事实相矛盾的结果，因此，假设错误，原结论正确，这种证明命果，因此，假设错误，原结论正确，这种证明命题的方法叫做反证法题的方法叫做反证法考点清单解读返回目录返回目录 续表续表14.1.3 反 证 法一般一般步骤步骤考点清单解读返回目录返回目录 续表续表14.1.3 反 证 法注意注意在假设结论不成立时要注
2、意考虑结论的反面所有在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定以了，如果有多种情况，则必须一一否定考点清单解读返回目录返回目录14.1.3 反 证 法归纳总结归纳总结反证法是一种间接的证明方法反证法是一种间接的证明方法.一个命题，当正面证明有一个命题，当正面证明有困难或不可能时，就可以尝试运用反证法困难或不可能时，就可以尝试运用反证法.考点清单解读返回目录返回目录14.1.3 反 证 法对点典例剖析典例典例1 1 用反证法证明用反证法证明“在在ABCABC中，中，AA，B B
3、 对边是对边是 a a，b b，若，若AABB，则，则 a ab”b”，第一步应假设（，第一步应假设（）A.aA.ab b B.a=b B.a=b C.ab C.ab D.abD.ab考点清单解读返回目录返回目录14.1.3 反 证 法答案答案 C C解题思路解题思路考点清单解读返回目录返回目录14.1.3 反 证 法典例典例2 2 用反证法证明用反证法证明“三角形中最多有一个内角是直角三角形中最多有一个内角是直角”应先假设这个三角形中应先假设这个三角形中 （）A.A.至少有两个内角是直角至少有两个内角是直角B.B.没有一个内角是直角没有一个内角是直角C.C.至少有一个内角是直角至少有一个内角
4、是直角D.D.每一个内角都不是直角每一个内角都不是直角考点清单解读返回目录返回目录14.1.3 反 证 法答案答案 A A解题思路解题思路因为因为“最多有一个最多有一个”的反面是的反面是“至少有两至少有两个个”，所以应假设：在三角形中，至少有两个内角是直角，所以应假设：在三角形中，至少有两个内角是直角.重难题型突破返回目录返回目录14.1.3 反 证 法例例 1 1 求证：在一个三角形中不能有两个角是钝角求证：在一个三角形中不能有两个角是钝角.（画出图形，写出已知、求证，并借助反证法进行证明）（画出图形，写出已知、求证，并借助反证法进行证明）重难题型突破返回目录返回目录14.1.3 反 证 法
5、解解析析根据反证法的证明方法作出假设，进而证明即根据反证法的证明方法作出假设，进而证明即可可.重难题型突破返回目录返回目录14.1.3 反 证 法答案答案 已知：已知：ABCABC（如图所示）（如图所示）求证：求证：AA，BB，C C 中不能有两个角是钝角中不能有两个角是钝角证明：假设证明：假设AA，BB，C C 中有两个角是钝角，不妨设中有两个角是钝角，不妨设AA，B B 为钝角，为钝角，A+BA+B180180，A+B+A+B+CC180180，这与三角形内角和定理相矛盾，故假，这与三角形内角和定理相矛盾，故假设不成立，原命题正确，即在一个三角形中不能有两个设不成立，原命题正确，即在一个三
6、角形中不能有两个角是钝角角是钝角重难题型突破返回目录返回目录14.1.3 反 证 法思路点拨思路点拨 作出假设作出假设推出矛盾推出矛盾否定假设否定假设结论成结论成立立.解题通法解题通法 用反证法证明与平面几何有关的命题时，用反证法证明与平面几何有关的命题时，一般先根据命题写出已知、求证，并画出相应的图形，再一般先根据命题写出已知、求证，并画出相应的图形，再证明证明.重难题型突破返回目录返回目录14.1.3 反 证 法例例2 2 设设 a a，b b，c c 是不全相等的任意实数，若是不全相等的任意实数，若 x=b x=b2 2-ac-ac，y=cy=c2 2-ab-ab，z=az=a2 2-b
7、c.-bc.求证：求证：x x，y y，z z 至少有一个大于零至少有一个大于零.重难题型突破返回目录返回目录14.1.3 反 证 法答案答案 解：假设解：假设 x x，y y，z z 都小于或等于零，都小于或等于零，则则 b b2 2-ac+c-ac+c2 2-ab+a-ab+a2 2-bc0-bc0，2b2b2 2-2ac+2c-2ac+2c2 2-2ab+2a-2ab+2a2 2-2bc02bc0，（，（a-ba-b）2 2+（a-ca-c）2 2+（b-cb-c）2 200，当（，当（a-ba-b）2 2+（a-ca-c）2 2+（b-cb-c）2 20 0 时，时，这与偶次方的非负性
8、相矛盾，当（这与偶次方的非负性相矛盾，当（a-ba-b）2 2+（a-ca-c）2 2+（b-cb-c）2 2=0=0 时，时，a-b=0a-b=0，a-c=0a-c=0，b-c=0b-c=0，a=b=ca=b=c，这与，这与“a“a，b b，c c 是不全相等的任意实数是不全相等的任意实数”相矛盾，相矛盾，假设不成假设不成立，立，xx，y y，z z 至少有一个大于零至少有一个大于零重难题型突破返回目录返回目录14.1.3 反 证 法变式衍生变式衍生 请用反证法证明：如果两个整数的积是偶请用反证法证明：如果两个整数的积是偶数，那么这两个整数中至少有一个是偶数数，那么这两个整数中至少有一个是偶数证明：假设这两个整数都是奇数，其中一个奇数为 2n+1，另一个奇数为 2p+1（n，p 为整数），则（2n+1）（2p+1）=2（2np+n+p）+l，因为无论 n，p 取何值，2（2np+n+p）+1 都是奇数，这与已知中的乘积为偶数相矛盾，所以假设不成立，所以这两个整数中至少有一个是偶数.
