1、13.5.3 角平分线 考点清单解读 重难题型突破 易错易混分析 方法技巧点拨13.5.3 角平分线考点清单解读返回目录返回目录考点一考点一 角平分线的性质角平分线的性质13.5.3 角平分线内容内容角平分线上的点到角两边的距离相等角平分线上的点到角两边的距离相等符号符号语言语言如图，如图，OC OC 是是AOB AOB 的平分线，的平分线，P P 为为OC OC 上任意一点，上任意一点，PDOAPDOA，PEOBPEOB，垂足分别为，垂足分别为 D D，E E，PD=PEPD=PE补充补充角的平分线平分已知角角的平分线平分已知角考点清单解读返回目录返回目录 续表续表13.5.3 角平分线注意
2、注意角平分线的性质定理可以独立作为证明两条线段角平分线的性质定理可以独立作为证明两条线段相等的依据相等的依据“距离距离”是指点到直线的垂线段的长，而不是指是指点到直线的垂线段的长，而不是指任意线段的长任意线段的长考点清单解读返回目录返回目录13.5.3 角平分线归纳总结归纳总结利用角的平分线的性质证明线段相等时，证明的线段是利用角的平分线的性质证明线段相等时，证明的线段是“垂直于角两边的线段垂直于角两边的线段”而不是而不是“垂直于角平分线的线段垂直于角平分线的线段”考点清单解读返回目录返回目录13.5.3 角平分线对点典例剖析典例典例1 1 如图，四边形如图，四边形ABCDABCD中，中，B=
3、90B=90，ABCDABCD，M M 为为 BC BC 边上的一点，且边上的一点，且 AM AM 平分平分BADBAD，DM DM 平分平分ADCADC求证：求证：M M 为为 BC BC 的中点的中点.考点清单解读返回目录返回目录13.5.3 角平分线答案答案 证明：如题图，作证明：如题图，作 MNAD MNAD交交 AD AD于点于点N N，B=90B=90，ABCDABCD，C=90C=90，BMABBMAB，CMCDCMCD，AM AM 平分平分BADBAD，DM DM 平分平分ADCADC，BM=MNBM=MN，MN=CMMN=CM，BM=CMBM=CM，即即 M M 为为 BC
4、BC 的中点的中点考点清单解读返回目录返回目录考点考点二二 角平分线的判定角平分线的判定13.5.3 角平分线内容内容角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上符号符号语言语言如图，如图，PDOA PDOA 于点于点 D D，PEPEOB OB 于点于点 E E，且，且 PD=PE PD=PE，点点 P P 在在AOB AOB 的平分线上的平分线上补充补充定义法：从一个角的顶点引出的一条射线，把这定义法：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线平分线考点清单解读返回目录
5、返回目录 续表续表13.5.3 角平分线注意注意不可忽视不可忽视“在角的内部在角的内部”这一条件，因为在角的外这一条件，因为在角的外部也存在到角的两边距离相等的点部也存在到角的两边距离相等的点角平分线的判定定理和性质定理是互逆定理角平分线的判定定理和性质定理是互逆定理三角形的三条角平分线交于一点，这一点到三角形三角形的三条角平分线交于一点，这一点到三角形三条边的距离相等三条边的距离相等到一个三角形三边距离相等的点共有到一个三角形三边距离相等的点共有 4 4 个个考点清单解读返回目录返回目录13.5.3 角平分线归纳总结归纳总结判定点在角的平分线上：找出这一点到角两边的垂线判定点在角的平分线上：
6、找出这一点到角两边的垂线段；证明两条垂线段相等段；证明两条垂线段相等.这一点与角的顶点的连线就是这一点与角的顶点的连线就是角平分线角平分线.考点清单解读返回目录返回目录13.5.3 角平分线对点典例剖析典例典例2 2 如图，在如图，在ABC ABC 中，中，DEAB DEAB 于于 点点 E E，DF AC DF AC 于于 点点 F F，且且BDE=CDFBDE=CDF，BE=CFBE=CF求证：求证：ADAD平分平分BAC.BAC.考点清单解读返回目录返回目录13.5.3 角平分线答案答案 证明：证明：DEABDEAB，DFACDFAC，BED=CFD=90BED=CFD=90，在在BED
7、 BED 和和CFD CFD 中，中，BDE=CDF BDE=CDF，BED=CFD BED=CFD，BE=CF,BE=CF,BEDBEDCFDCFD，DE=DF.DE=DF.又又 DEAB DEAB，DFACDFAC，点点 D D 在在BAC BAC 的平分线上，的平分线上，AD AD 平分平分BACBAC重难题型突破返回目录返回目录13.5.3 角平分线例例 1 1 如图，在如图，在ABC ABC 中，中，AD AD 平分平分BACBAC，C=90C=90，DEABDEAB于点于点 E E，点，点 F F 在在 AC AC 上，上，BD=DFBD=DF（1 1）求证：）求证：CF=EBCF
8、=EB；（2 2）若）若 AB=12 AB=12，AF=8AF=8，求，求 CF CF 的长的长重难题型突破返回目录返回目录13.5.3 角平分线解解析析（1 1）要证）要证 CF=EB CF=EB 需证需证 Rt Rt CDF CDF RtRtEDBEDB（HLHL）需证需证 CD=DE CD=DE AD AD平平分分BACBAC；（2 2）易证）易证 Rt RtACDRtACDRtAEDAC=AEAEDAC=AE设设 CF=x CF=x，列方，列方程程解方程得解方程得 CF CF 的长的长.已知已知BD=DFBD=DF角平分线角平分线的性质的性质重难题型突破返回目录返回目录13.5.3 角
9、平分线答案答案 解：（解：（1 1）证明：）证明：AD AD 平分平分BACBAC，C=90C=90，DEAB DEAB 于点于点 E E，DE=DCDE=DC在在 Rt RtCDF CDF 和和 Rt RtEDB EDB 中，中，DF=DBDF=DB，DC=DEDC=DE，RtRtCDFRtCDFRtEDBEDB（HLHL），），CF=EBCF=EB；重难题型突破返回目录返回目录13.5.3 角平分线（2 2）设）设 CF=BE=x CF=BE=x，则，则 AE=AB-BE=12-x AE=AB-BE=12-x，AD AD 平分平分BACBAC，DEABDEAB，C=90C=90，CD=DE
10、CD=DE在在 Rt RtACD ACD 和和 Rt RtAED AED 中，中，AD=ADAD=AD，CD=DECD=DE，RtRtACDRtACDRtAEDAED（HLHL），），AC=AEAC=AE，即，即 AF+CF=AE AF+CF=AE，8+x=12-x8+x=12-x，解得，解得 x=2 x=2，即，即 CF=2CF=2重难题型突破返回目录返回目录13.5.3 角平分线解题通法解题通法 角平分线的基本模型（角平分线的基本模型（OP OP 为为MON MON 的平分线）：的平分线）：（1 1）如图）如图 1 1，过点，过点 P P 向角两边作垂线，得向角两边作垂线，得OAPOAPO
11、BPOBP（H H.L L.或或A A.A A.S S.）；）；重难题型突破返回目录返回目录13.5.3 角平分线（2 2）如图）如图 2 2，截取，截取 OA=OB OA=OB，得，得OAPOAPOBPOBP（S S.A A.S S.）；）；（3 3）如图）如图 3 3，过点，过点 P P 作角平分线的垂线，得作角平分线的垂线，得OAPOAPOBPOBP（A A.S S.A A.）.重难题型突破返回目录返回目录13.5.3 角平分线例例2 2 如图，如图，ABC ABC 的外角的外角ACD ACD 的平分线的平分线CP CP 与内角与内角ABC ABC 的平分线的平分线 BP BP 交于点交
12、于点 P P（1 1）延长）延长 BA BA 至点至点 E E，连接，连接 AP AP，求证：，求证：AP AP 平分平分CAECAE；（2 2）若）若BPC=40BPC=40，求，求CAP CAP 的度数的度数重难题型突破返回目录返回目录13.5.3 角平分线答案答案 解：（解：（1 1）证明：如图，过点）证明：如图，过点 P P 作作 PNBD PNBD于于点点 N N，PMBE PMBE 于点于点 M M，PFAC PFAC 于点于点 F.F.CP CP 平分平分ACDACD，PFACPFAC，PNBDPNBD，PF=PNPF=PN，BP BP 平分平分ABCABC，PMBEPMBE，P
13、NBDPNBD，PM=PNPM=PN，PM=PFPM=PF，又，又 PMBE PMBE，PFACPFAC，AP AP 平分平分CAECAE；重难题型突破返回目录返回目录13.5.3 角平分线重难题型突破返回目录返回目录13.5.3 角平分线重难题型突破返回目录返回目录13.5.3 角平分线变式衍生变式衍生 如如图，点图，点 B B，C C 分别在分别在A A 的两边上，的两边上，D D 是是A A 内一点，内一点，DEABDEAB，DFACDFAC，垂足分别为，垂足分别为 E E，F F，且，且 AB=ACAB=AC，DE=DFDE=DF求证：求证：BD=CDBD=CD重难题型突破返回目录返回
14、目录13.5.3 角平分线证明：如图，连接 AD，DEAB，DFAC，DE=DF，AD 是EAF 的平分线，BAD=CAD，在ABD 和ACD 中，AB=AC，BAD=CAD，AD=AD，ABDACD（S.A.S.），BD=CD重难题型突破返回目录返回目录13.5.3 角平分线解题通法解题通法 角的平分线的性质与判定的关系：点在角的平分线上角的平分线的性质与判定的关系：点在角的平分线上 （角的内部的）点到角两边的距离相等（角的内部的）点到角两边的距离相等.角的平分线的性质角的平分线的性质是证明两条线段相等的依据，角的平分线的判定是证明两是证明两条线段相等的依据，角的平分线的判定是证明两角相等的
15、依据角相等的依据.易错易混分析返回目录返回目录忽略角平分线中的忽略角平分线中的“垂直垂直”条件条件13.5.3 角平分线例例 如图，如图，BM BM 平分平分ABCABC，D D 是是 BM BM 上一点，过点上一点，过点 D D 作作 DEAB DEAB，DFBCDFBC，分别交，分别交AB AB 于点于点 E E，交，交 BC BC 于点于点 F F，P P 是是 BM BM 上的另一点，连接上的另一点，连接 PE PE，PF.PF.求证：求证：PE=PFPE=PF易错易混分析返回目录返回目录13.5.3 角平分线答案答案 证明：证明：BM BM 平分平分ABCABC，DEABDEAB，D
16、FBCDFBC，ED=FDED=FD，EBD=FBDEBD=FBD，BED=BFD=90BED=BFD=90，EDP=EBD+BEDEDP=EBD+BED，FDP=FBD+BFDFDP=FBD+BFD，EDP=FDPEDP=FDP，在，在EDP EDP 和和FDP FDP 中，中，ED=FDED=FD，EDP=FDPEDP=FDP，DP=DPDP=DP，EDPEDPFDPFDP（SASSAS），），PE=PFPE=PF易错易混分析返回目录返回目录13.5.3 角平分线易错易错 BM BM 平分平分ABCABC，P P 是是 BM BM 上的一点，上的一点，PE=PFPE=PF错因错因 误把误把
17、 PE PE，PF PF 当成点当成点 P P 到到ABC ABC 两边的距离两边的距离.易错易混分析返回目录返回目录13.5.3 角平分线易错警示易错警示 误把角平分线上的点与角两边上任意点之间误把角平分线上的点与角两边上任意点之间的线段长当成点到直线的距离，距离指的是垂线段的长度，的线段长当成点到直线的距离，距离指的是垂线段的长度，而非任意线段长度而非任意线段长度.领悟提能领悟提能 利用角平分线的性质证明线段相等时，若涉利用角平分线的性质证明线段相等时，若涉及的线段不是角平分线上的点到角的两边的垂线段，则可及的线段不是角平分线上的点到角的两边的垂线段，则可利用三角形全等求解利用三角形全等求
18、解.方法技巧点拨返回目录返回目录方法：作垂线段解决与角平分线相关的面积问题方法：作垂线段解决与角平分线相关的面积问题三角形中的一条内角平分线将三角形分成两个以这个角三角形中的一条内角平分线将三角形分成两个以这个角两边为底，高相等的小三角形，过角平分线与一边相交的两边为底，高相等的小三角形，过角平分线与一边相交的点向另两边作垂线，所作垂线段就是两个小三角形的高，点向另两边作垂线，所作垂线段就是两个小三角形的高，结合三角形面积公式即可解题结合三角形面积公式即可解题.13.5.3 角平分线方法技巧点拨返回目录返回目录例例 如图，如图，BD BD 是是ABC ABC 的角平分线，的角平分线，DEABDEAB，垂足为，垂足为 E EABC ABC 的面积为的面积为 70 70，AB=16AB=16，BC=12BC=12求求 DE DE 的长的长.13.5.3 角平分线方法技巧点拨返回目录返回目录13.5.3 角平分线解析解析 过点过点 D D 作作 DFBC DFBC 于点于点 F F，根据角平分线上，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得的点到角的两边距离相等可得 DE=DF DE=DF，再利用，再利用ABC ABC 的面积的面积列出方程求解即可列出方程求解即可方法技巧点拨返回目录返回目录13.5.3 角平分线
