1、5.3 一元一次方程的应用第1课时 等积变形问题学 习 目 标1.1.借助立体及平面图形学会分析复杂几何问题中的等借助立体及平面图形学会分析复杂几何问题中的等量关系，体会直接或间接设未知数的解题思路，从而建立量关系，体会直接或间接设未知数的解题思路，从而建立方程，解决实际问题方程，解决实际问题；（重点）（重点）2.2.通过探究式的方法，学生逐步学会从较复杂的生活通过探究式的方法，学生逐步学会从较复杂的生活情境中抽象出数学模型，培养发现问题的能力以及创新的情境中抽象出数学模型，培养发现问题的能力以及创新的意识意识.（难点）（难点）情 境 导 入 教师让学生拿出课前准备好的橡皮泥，先捏出一个教师让
2、学生拿出课前准备好的橡皮泥，先捏出一个“瘦长瘦长”的圆的圆柱体，然后再让这个柱体，然后再让这个“瘦长瘦长”的圆柱的圆柱“变矮变矮”，变成一个又矮又胖的，变成一个又矮又胖的圆柱，请同学们边操作边思考下列几个问题：圆柱，请同学们边操作边思考下列几个问题：（1 1）在你操作的过程中，圆柱由）在你操作的过程中，圆柱由“高高”变变“矮矮”，圆柱的底面直，圆柱的底面直径是否变化？还有哪些量改变了？径是否变化？还有哪些量改变了？（2 2）在这个变化过程中，什么量没有变化呢？）在这个变化过程中，什么量没有变化呢？解：（解：（1 1）圆柱的底面直径发生了变化；）圆柱的底面直径发生了变化；圆柱的面积和周长也发生了
3、圆柱的面积和周长也发生了变化；变化；（2 2）圆柱的体积没有发生变化）圆柱的体积没有发生变化.合 作 探 究 某饮料公司有一种底面直径和高分别为某饮料公司有一种底面直径和高分别为6.6cm6.6cm，12cm12cm的圆柱的圆柱形易拉罐饮料。经市场调研决定对该产品外包装进行改造，计划形易拉罐饮料。经市场调研决定对该产品外包装进行改造，计划将它的底面直径减少为将它的底面直径减少为6cm6cm。那么在容积不变的前提下，易拉罐的。那么在容积不变的前提下，易拉罐的高度将变为多少厘米？高度将变为多少厘米？（1 1）这个问题中包含哪些量？它们之间有怎样的等量关系？）这个问题中包含哪些量？它们之间有怎样的等
4、量关系？解：（解：（1 1）易拉罐的直径，易拉罐的高，易拉罐的容积易拉罐的直径，易拉罐的高，易拉罐的容积；易拉罐的容积易拉罐的容积(易拉罐的直径易拉罐的直径2)2)2 2易拉罐的高易拉罐的高.分层设计分层设计 数学数学 BS 七年级七年级 上上合 作 探 究有关量有关量旧包装旧包装新包装新包装底面半径底面半径/cm/cm高高/cm/cm容积容积/cm/cm3 3（2 2）设新包装的高度为）设新包装的高度为 x cmcm，你能借助下面的表格梳理问，你能借助下面的表格梳理问题中的信息吗？题中的信息吗？3 33.33.31212x130130.686899x合 作 探 究（3 3）根据等量关系，你能
5、列出怎样的方程）根据等量关系，你能列出怎样的方程?设新包装的高度为设新包装的高度为 x cmcm.根据等量关系，列出方程根据等量关系，列出方程:_._.解这个方程，得解这个方程，得x=_.因此，易拉罐的高度变为因此，易拉罐的高度变为_cmcm.14.5214.5214.5214.523.33.312=12=33x等量关系等量关系为：旧包装的容积新包装的容积为：旧包装的容积新包装的容积列方程时，关键列方程时，关键是找等量关系是找等量关系.新 知 小 结1.1.常见的几种情形列方程常见的几种情形列方程.（1 1）物体的锻压等应用题，抓住体积不变建立方程；物体的锻压等应用题，抓住体积不变建立方程；（
6、2 2）周长一定）周长一定，围成不同形状的图形，图形的面积可能变了，围成不同形状的图形，图形的面积可能变了，抓住周长不变列方程；抓住周长不变列方程；（3 3）图形的拼接、割补、图形的拼接、割补、平移、旋转等类型的应用题，平移、旋转等类型的应用题，抓住图抓住图形变化前后的面积、周长不变列方程形变化前后的面积、周长不变列方程.注：应学会注：应学会“变中找不变变中找不变”和和“不变中找变不变中找变”的数学思想方法的数学思想方法.新 知 小 结2.2.常见图形的周长、面积及体积计算公式常见图形的周长、面积及体积计算公式.（1 1）长方体的体积）长方体的体积 ；（2 2）圆柱的体积）圆柱的体积 ；（3
7、3）长方形的周长）长方形的周长 ；（4 4）长方形的面积）长方形的面积 .3.3.列一元一次方程解决实际问题的基本步骤列一元一次方程解决实际问题的基本步骤.长长宽宽高高底面积底面积高高2 2（长长宽宽）长长宽宽典 例 精 析 用一根长为用一根长为1010m的铁丝围成一个长方形的铁丝围成一个长方形。（1 1）使该长方形的长比宽多）使该长方形的长比宽多1.41.4m，此时长方形的长、，此时长方形的长、宽各是宽各是多少米？多少米？例例1 1解：（解：（1 1）设长方形的宽为）设长方形的宽为x米，则它的长为（米，则它的长为（x1.41.4）m.根据题意，得根据题意，得2 2（xx1.41.4）1010
8、，解得解得 x1.8.1.8.则长方形的长为则长方形的长为1.81.81.41.43.23.2（m），），所以，此时长方形的长为所以，此时长方形的长为3.23.2m，宽为宽为1.81.8m.典 例 精 析例例1 1 用一根长为用一根长为1010m的铁丝围成一个长方形的铁丝围成一个长方形.（2 2）使该长方形的长比宽多）使该长方形的长比宽多0.80.8m，此时长方形的长、，此时长方形的长、宽各为宽各为多少多少米？它所围成的长方形与（米？它所围成的长方形与（1 1）中所围长方形相比，）中所围长方形相比，面积有面积有什么变化？什么变化？解解：（：（2 2）设长方形的宽为）设长方形的宽为 x m，则它
9、的长为（，则它的长为（x0.80.8）m.根据题意，得根据题意，得2 2（xx0.80.8）1010，解得解得 x2.1.2.1.则长方形的长为则长方形的长为2.12.10.80.82.92.9（m），），所围成的长方形的面积为所围成的长方形的面积为2.92.92.12.16.096.09（m2 2）则则6.096.095.765.760.330.33（m2 2）.所以，此时的长方形的长为所以，此时的长方形的长为2.92.9m，宽为，宽为2.12.1m，所围成的长方形的所围成的长方形的面面积为积为6.096.09m2 2，比（，比（1 1）中的长方形的面积大）中的长方形的面积大0.330.33
10、m2 2.典 例 精 析例例1 1 用一根长为用一根长为1010的铁丝围成一个长方形的铁丝围成一个长方形.（3 3）使该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，使该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，此时此时正方形正方形的边长是多少米？它所围成的面积与（的边长是多少米？它所围成的面积与（2 2）中相比又中相比又有什么变化？有什么变化？解解：（：（3 3）设正方形的边长为）设正方形的边长为 x m.根据题意，得根据题意，得 4 4 x1010，解得解得 x2.52.5.则所围成的正方形的面积为则所围成的正方形的面积为2.52.52.52.56.256.25（m2 2）.则则6.256.256.0
11、96.090.160.16（m2 2）.所以，所围成的正方形的边长是所以，所围成的正方形的边长是3 3m，所围成的正方形的面积为所围成的正方形的面积为6.256.25m2 2，比（，比（2 2）中长方形的面积大）中长方形的面积大0.160.16m2 2.新 知 小 结 应用一元一次方程应用一元一次方程解决实际问题的步骤：解决实际问题的步骤：审审通过审题通过审题找出找出等量关系等量关系(关键关键)；设设设出合理的未知数设出合理的未知数(直接或间接直接或间接)，注意，注意单位名称；单位名称；列列依据找到的等量关系，列出方程；依据找到的等量关系，列出方程；解解求出方程的解求出方程的解(对间接设的未知
12、数切记继续求解对间接设的未知数切记继续求解)；检检检验求出的值是否为方程的解，并检验是否符合实际检验求出的值是否为方程的解，并检验是否符合实际；答答注意单位名称注意单位名称.随 堂 检 测 1.1.小明打算用长小明打算用长3535m的竹篱笆围成一个长方形养鸡场，的竹篱笆围成一个长方形养鸡场，该长方形该长方形的的长比宽多长比宽多5 5m，其中较长的一面靠墙（不需要篱笆），其中较长的一面靠墙（不需要篱笆），墙长墙长1414m，小明的小明的爸爸认为小明设计得不合理，爸爸认为小明设计得不合理，但可以设计为长比但可以设计为长比宽多宽多2 2m，你认为爸爸，你认为爸爸说得对吗？说得对吗？请用一元一次方程的
13、知识说明请用一元一次方程的知识说明理由；并按照其中一种合理的理由；并按照其中一种合理的设计方案，计算出养鸡场的面积设计方案，计算出养鸡场的面积.解解：设小明设计的养鸡场的宽为设小明设计的养鸡场的宽为 x m m，则长为则长为（x5 5）m.由题意由题意，得得 xx（x5 5）35.35.解得解得 x 1010，则，则 x 5 515.15.因为因为14141515，所以小明的设计不符合实际，所以小明的设计不符合实际随 堂 检 测针 对 练 习设小明的爸爸设计的养鸡场的宽为设小明的爸爸设计的养鸡场的宽为 y m，则长为则长为（y 2 2）m.由题意由题意，得得 yy（y2 2）3535，解得解得
14、 y1111，则，则 y2 213.13.所以小明爸爸设计的养鸡场长为所以小明爸爸设计的养鸡场长为1313m，小于墙长，宽为，小于墙长，宽为1111m，面面积为积为13131111143143（m2 2）.所以小明爸爸的设计合理，这时养鸡场的面积为所以小明爸爸的设计合理，这时养鸡场的面积为143143m2 2.随 堂 检 测 2.2.如图，一个盛有水的圆柱形玻璃容器的内底面圆半径如图，一个盛有水的圆柱形玻璃容器的内底面圆半径10cm10cm，原容器内水的高度为原容器内水的高度为12cm.12cm.把一根半径为把一根半径为2cm2cm的玻璃棒的玻璃棒垂直插入垂直插入水中后，容器内的水将升高多少厘
15、米？水中后，容器内的水将升高多少厘米？解：设容器内的水将升高解：设容器内的水将升高 x cm.cm.根据题意根据题意，得，得10102 212122 22 2（1212x）10102 2（1212x），整理，得整理，得 1200 12004 4（1212x）100100（1212x），），解得解得 x0.0.5.5.故容器内的水将升高故容器内的水将升高0.0.5cm.5cm.随 堂 检 测 3.3.如图所示，如图所示，地面上钉着用一根彩绳围成的直角三角形，地面上钉着用一根彩绳围成的直角三角形，如如果将果将直角三角形锐角顶点的一个直角三角形锐角顶点的一个钉子去掉，钉子去掉，并将这根彩绳钉成一并将
16、这根彩绳钉成一个长方形，个长方形，那么所钉长方形的那么所钉长方形的长、长、宽各是多少？宽各是多少？面积是多少？面积是多少？解：三角形的周长解：三角形的周长6 68 8101024.24.当去掉顶点当去掉顶点A A的钉子时，的钉子时，BCBC为长方形的一条边长为长方形的一条边长.设长方形的宽为设长方形的宽为 x .由题意，得由题意，得2 2（x6 6）2424，解得，解得 x6.6.则该长方形的长和宽均为则该长方形的长和宽均为6 6，面积为，面积为6 66 63636；随 堂 检 测当去掉顶点当去掉顶点B B的钉子时，的钉子时，ACAC为长方形的一条边长为长方形的一条边长.设长方形的宽为设长方形
17、的宽为 x .由题意，得由题意，得2 2（x8 8）2424，解得，解得 x4.4.则该长方形的长和宽分别为则该长方形的长和宽分别为8 8，4 4，面积为，面积为8 84 432.32.综上所述，钉成的长方形的长、宽分别为综上所述，钉成的长方形的长、宽分别为6 6，6 6，或，或8 8，4 4，面积面积为为3636或或32.32.【点拨】【点拨】分类讨论的题，在题目中一定会有一句话暗示，分类讨论的题，在题目中一定会有一句话暗示，要注要注意在阅读数学文本中积累经验意在阅读数学文本中积累经验.如本题，如本题，锐角顶点有两个锐角顶点有两个，故故分分两类考虑两类考虑.课 堂 总 结关 键关 键等积变等积变形形问题问题根据等量关系根据等量关系列方程列方程.审；审；设；设；列；列；解；解；检；检；答答.解应用题步骤解应用题步骤
