1、数学 九年级上册 BS版第一章特殊平行四边形第一章特殊平行四边形专题专题2 2特殊平行四边形中的最值问题特殊平行四边形中的最值问题数学 九年级上册 BS版专题解读专题解读典例讲练典例讲练目录目录CONTENTS数学 九年级上册 BS版0 1专题解读专题解读数学 九年级上册 BS版返回目录返回目录问题综述四边形中的最值问题是近几年中考的热点问题，试题层出不穷，形式多样，往往综合了几何变换，有一定难度，具有很强的探索性.通过研究发现这类问题，常常利用“两点之间线段最短”“垂线段最短”“斜边大于直角边”“三角形三边关系定理”等来解决.数学 九年级上册 BS版0 2典例讲练典例讲练数学 九年级上册 B
2、S版返回目录返回目录类型一“将军饮马”模型 如图，已知菱形 ABCD 的对角线 AC 12，面积为24，ABE 是等边三角形.若点 P 在对角线 AC 上移动，求 PD PE 的最小值.数学 九年级上册 BS版返回目录返回目录解：如图，连接 BD 交 AC 于点 O，连接 PB.BD 4.四边形 ABCD 是菱形，AC 与 BD 互相垂直平分，数学 九年级上册 BS版返回目录返回目录 PD PB.PE PD PE PB.PE PB BE，当 E，P，B 三点共线时，PE PD 的值最小，最小值为 BE 的长.ABE 是等边三角形，【点拨】两定一动，动点在直线上的最值问题就是“将军饮马”最值问题
3、，常常利用轴对称来解决问题.数学 九年级上册 BS版返回目录返回目录 1.如图，正方形 ABCD 的边长为2，点 E 是 BC 的中点，点 P 是 AC 边上的一个动点，连接 BP，EP，则 BP EP 的最小值为 .数学 九年级上册 BS版返回目录返回目录数学 九年级上册 BS版返回目录返回目录2.如图，在矩形 ABCD 中，AB 4，BC 8，E 为 CD 边的中点，点 P，Q 为 BC 边上两个动点，且 PQ 2，当四边形 APQE 的周长最小时，则 BP 的长为 .4数学 九年级上册 BS版返回目录返回目录【解析】由题知 PQ，AE 的长均为定值，当四边形 APQE 的周长最小时，AP
4、 QE 最小.如图，在 AD 上截取线段 AF PQ 2，作点 F 关于 BC 的对称点 G，连接 EG 与 BC 交于一点即为点 Q，过点 A 作 FQ 的平行线交 BC 于一点，即为点 P，此时 AP QE 最小.过点 G 作 BC 的平行线交 DC 的延长线于点 H.则四边形 FGHD 为矩形.CH AB 4.数学 九年级上册 BS版返回目录返回目录四边形 ABCD 是矩形，AD BC 8，D 90，QCE 90.PQ 2，DF AD AF 6.GH 6.点 E 是 CD 的中点，CE 2.EH 246.EH GH.GEH 45.设 BP x，则 CQ BC BP PQ 8 x 26 x
5、，在 CQE 中，QCE 90，CEQ 45，CQ CE.6 x 2，解得 x 4.BP 的长为4.故答案为4.数学 九年级上册 BS版返回目录返回目录类型二垂线段最短 如图，在Rt ABC 中，已知 AC 2，BC 4，点 P 为斜边 AB 上一动点，PE BC，PF CA，求线段 EF 长的最小值.数学 九年级上册 BS版返回目录返回目录解：如图，连接 CP.PE BC，PF CA，PEC PFC ACB 90.四边形 ECFP 是矩形.EF PC.当 CP 最小时，EF 也最小.垂线段最短，当 CP AB 时，CP 最小.数学 九年级上册 BS版返回目录返回目录【点拨】“两动点之间距离”
6、最小值问题，可转化为“一定一动”最值问题.本题中运用矩形的对角线相等将 EF 长的最值转化为 CP 长的最值是解决问题的关键.数学 九年级上册 BS版返回目录返回目录 1.如图，过边长为1的正方形的中心点 O 引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于点 A，B，则线段 AB 长的最小值是 .数学 九年级上册 BS版返回目录返回目录数学 九年级上册 BS版返回目录返回目录2.如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，点 P 为 AB 边上一动点（不与点 A，B 重合），PE OA 于点 E，PF OB 于点 F.若 AC 20，BD 10，求 EF 的最小值.数学 九年级上册
7、BS版返回目录返回目录解：如答图，连接 OP.四边形 ABCD 是菱形，AC 20，BD 10，AOB 90.在Rt ABO 中，由勾股定理，得 PE OA 于点 E，PF OB 于点 F，OEP OFP 90.答图数学 九年级上册 BS版返回目录返回目录四边形 OEPF 是矩形.EF OP.则当 OP 取最小值时，EF 的值最小.答图数学 九年级上册 BS版返回目录返回目录类型三利用三点共线取最值 如图，点 M，N 是正方形 ABCD 的边 CD 上的两个动点，满足 AM BN，连接 AC，交 BN 于点 E，连接 DE，交 AM 于点 F，连接 CF.若正方形的边长为6，求线段 CF 长度
8、的最小值.数学 九年级上册 BS版返回目录返回目录Rt ADM Rt BCN（HL）.DAM CBN.DCE BCE（SAS）.CDE CBE.DAM CDE.ADF CDE ADC 90，数学 九年级上册 BS版返回目录返回目录 DAM ADF 90.AFD 1809090.如图，取 AD 的中点 O，连接 OF，OC，在Rt ODC 中，OF CF OC，数学 九年级上册 BS版返回目录返回目录【点拨】“一定一动”最值问题的关键是找到动点的轨迹，或者找动态过程中的不变量，利用三角形三边关系解决.本题中利用全等三角形的判定与性质得到“动中有静”，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三
9、角形的三边关系，确定出 CF 最小时点 F 的位置是解题关键.数学 九年级上册 BS版返回目录返回目录 如图，在边长为4的正方形 ABCD 中，点 E，F 分别为 AD，CD 边上的动点（不与端点重合）连接 BE，BF，点 E，F 在运动过程中，始终保持 EBF 45，连接 EF.过点 B 作 BH EF，垂足为 H，连接 DH，则 DH 的最小值为 .数学 九年级上册 BS版返回目录返回目录【解析】如答图，延长 DC 至点 G，使 CG AE，连接 BG，BD.四边形 ABCD 是正方形，AB CB，A BCD BCG 90.BE BG，ABE CBG.EBG EBC CBG EBC ABE 90.EBF 45，GBF EBF 45.答图 BH EF，BC CD，BH BC 4.数学 九年级上册 BS版演示完毕 谢谢观看
