1、1.11.3习题课(原卷版）1【多选题】下列命题中，是真命题的是()A同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小B两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C只有零向量的模等于0D共线的单位向量都相等2若ae1e2e3，be1e2e3，ce1e2，de12e23e3(e1，e2，e3为空间的一个基底)且dxaybzc，则x，y，z的值分别为()A.，1B.，1C，1 D.，13设x，yR，向量a(x，1，1)，b(1，y，1)，c(2，4，2)，且ab，bc，则|ab|()A2 B.C3 D44在四面体ABCD中，AB，BC，BD两两垂直，且ABBC1，点E是AC的中点，异面直线AD与BE所
2、成角为，且cos ，则该四面体的体积为()A. B.C. D.5【多选题】已知向量(1，1，1)，(1，2，1)，(3，y，1)，下列结论正确的是()A若A，B，C，D四点共面，则，R，使得，2B若A，B，C，D四点共面，则，R，使得，2C若A，B，C，D四点共面，则y4D当ADAC时，y16.【多选题】如图，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都为a，点M，N，E，F分别是AB，CD，BC，AD的中点，则()AMNABBMNCDC向量与所成角的余弦值为D四边形MENF为正方形7从点P(1，2，3)出发，沿着向量v(4，1，8)的方向取点Q，使|PQ|18，则Q点的坐标为()A(1，2，3
3、) B(9，4，13)C(7，0，19) D(1，2，3)8.【多选题】如图，在三棱锥PABC中，ABC为等边三角形，PAC为等腰直角三角形，PAPC4，平面PAC平面ABC，D为AB的中点，则()AAPBCB异面直线AC与PD所成角的余弦值为C异面直线PC与AB所成角的余弦值为D三棱锥PABC的体积为9在四面体OABC中，棱OA，OB，OC两两垂直，且OA1，OB2，OC3，G为ABC的重心，则()_10已知e1，e2是空间单位向量，e1e2，若空间向量b满足be12，be2，且对于任意x，yR，有|b(xe1ye2)|b(x0e1y0e2)|1，x0，y0R，则|b|_11.如图，四边形A
4、BCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，M，E，F分别为PQ，AB，BC的中点，则异面直线EM与AF所成角的余弦值是_12.如图，已知棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，过点B作BMAC1于点M，则点M的坐标为_13.如图，已知ABCDA1B1C1D1是四棱柱，底面ABCD是正方形，AA13，AB2，且C1CBC1CD60，设a，b，c.(1)试用a，b，c表示；(2)已知O为对角线A1C的中点，求CO的长14已知空间三点A(0，2，3)，B(2，1，6)，C(1，1，5)(1)若点D在直
5、线AC上，且，求点D的坐标；(2)求以BA，BC为邻边的平行四边形的面积15正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，以D为原点，所在直线为x，y，z轴建立直角坐标系Dxyz，点M在线段AB1上，点N在线段BC1上，且MNAB1，MNBC1.求：(1)，；(2)的坐标1【多选题】已知向量a(1，1，0)，则与a共线的单位向量e等于()A. B(0，1，0)C. D(1，1，1)2在四面体OABC中，空间的一点M满足，若M，A，B，C四点共面，则等于()A. B.C. D.3在正四面体ABCD中，E是BC的中点，那么()A.D.与不能比较大小4已知a(1，2，3)，b(1，1，4)，c(1，3，
6、m)，则“m1”是“a，b，c构成空间的一个基底”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5已知P(3cos ，3sin ，1)和Q(2cos ，2sin ，1)，则|的取值范围是()A0，5 B1，25C1，5 D(1，5)6在四面体OABC中，G是底面ABC的重心，且xyz，则log3|xyz|等于_7已知空间三点A(2，1，0)，B(2，2，1)，C(0，1，2)(1)求的值；(2)若(k)()，求k的值8.如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA底面ABCD，AB，BC1，PA2，E为PD的中点(1)求AC与PB所成角的余弦值；(2)在
7、侧面PAB内找一点N，使NE平面PAC，求N点的坐标1.11.3习题课(解析版）1【多选题】下列命题中，是真命题的是()A同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小B两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C只有零向量的模等于0D共线的单位向量都相等答案ABC解析对于A，向量是有向线段，不能比较大小，故A为真命题；对于B，两向量相等说明它们的方向相同，模长相等，若起点相同，则终点也相同，故B为真命题；对于C，零向量为模长为0的向量，故C为真命题；对于D，共线的单位向量是相等向量或相反向量，故D为假命题2若ae1e2e3，be1e2e3，ce1e2，de12e23e3(e1，e2，e3为空间
8、的一个基底)且dxaybzc，则x，y，z的值分别为()A.，1B.，1C，1 D.，1答案A解析dxaybzc(xyz)e1(xyz)e2(xy)e3.又因为de12e23e3，所以解得3设x，yR，向量a(x，1，1)，b(1，y，1)，c(2，4，2)，且ab，bc，则|ab|()A2 B.C3 D4答案C解析因为bc，所以2y41，所以y2，所以b(1，2，1)因为ab，所以abx1(2)10，所以x1，所以a(1，1，1)，ab(2，1，2)所以|ab|3.4在四面体ABCD中，AB，BC，BD两两垂直，且ABBC1，点E是AC的中点，异面直线AD与BE所成角为，且cos ，则该四面
9、体的体积为()A. B.C. D.答案A5【多选题】已知向量(1，1，1)，(1，2，1)，(3，y，1)，下列结论正确的是()A若A，B，C，D四点共面，则，R，使得，2B若A，B，C，D四点共面，则，R，使得，2C若A，B，C，D四点共面，则y4D当ADAC时，y1答案AC解析由A，B，C，D四点共面，得，R，使得，所以(1，1，1)(1，2，1)(3，y，1)，所以解得故A、C正确，B不正确由ADAC，得，所以0.所以32y10，解得y1，D不正确6.【多选题】如图，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都为a，点M，N，E，F分别是AB，CD，BC，AD的中点，则()AMNABBMN
10、CDC向量与所成角的余弦值为D四边形MENF为正方形答案ABD解析设p，q，r.由题意可知，|p|q|r|a，且p，q，r三个向量两两夹角均为60.()(qrp)，所以(qrp)p(qprpp2)(a2cos 60a2cos 60a2)0.所以，即MNAB.同理可证MNCD，A、B正确设向量与的夹角为，因为()(qr)，qp，所以(qr)(q2qprqrp)(a2a2cos 60a2cos 60a2cos 60).又因为|a，所以|cos aacos .所以cos .从而向量与所成角的余弦值为，C错误因为，所以.所以四边形MENF为平行四边形因为()，所以()0.所以，|a.所以四边形MENF
11、为正方形D正确7从点P(1，2，3)出发，沿着向量v(4，1，8)的方向取点Q，使|PQ|18，则Q点的坐标为()A(1，2，3) B(9，4，13)C(7，0，19) D(1，2，3)答案C8.【多选题】如图，在三棱锥PABC中，ABC为等边三角形，PAC为等腰直角三角形，PAPC4，平面PAC平面ABC，D为AB的中点，则()AAPBCB异面直线AC与PD所成角的余弦值为C异面直线PC与AB所成角的余弦值为D三棱锥PABC的体积为答案BCD解析取AC的中点O，连接OP，OB.因为PAPC，所以ACOP，因为平面PAC平面ABC，平面PAC平面ABCAC，所以OP平面ABC，又因为ABBC，
12、所以ACOB.以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系因为PAC是等腰直角三角形，PAPC4，ABC为等边三角形，所以A(0，2，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2)，D(，0)，所以(0，2，2)，(2，2，0)，80，A不正确；因为(0，4，0)，(，2)，所以cos，则异面直线AC与PD所成角的余弦值为，B正确；因为(0，2，2)，(2，2，0)，所以cos，所以异面直线PC与AB所成角的余弦值为，C正确；三棱锥PABC的体积VPABCSABCPO(4)22，D正确9在四面体OABC中，棱OA，OB，OC两两垂直，且OA1，OB2，OC3，G为ABC的重心，则(
13、)_答案10已知e1，e2是空间单位向量，e1e2，若空间向量b满足be12，be2，且对于任意x，yR，有|b(xe1ye2)|b(x0e1y0e2)|1，x0，y0R，则|b|_答案2解析问题等价于|b(xe1ye2)|当且仅当xx0，yy0时取到最小值1，平方即|b|2x2y22be1x2be2y2e1e2xy|b|2x2y24x5yxy.已知上式在xx0，yy0时取到最小值1，x2y2(y4)x5y|b|2(y2)27|b|2，所以解得11.如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，M，E，F分别为PQ，AB，BC的中点，则异面直线EM与AF所成角的余弦值是_答
14、案12.如图，已知棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，过点B作BMAC1于点M，则点M的坐标为_答案解析由题意，知A(a，0，0)，B(a，a，0)，C1(0，a，a)，设M(x，y，z)，则(a，a，a)，(xa，y，z)，(xa，ya，z)因为，所以0.所以a(xa)a(ya)az0，即xyz0.因为，所以设，则xaa，ya，za(R)，即xaa，ya，za.由，得x，y，z.所以点M的坐标为.13.如图，已知ABCDA1B1C1D1是四棱柱，底面ABCD是正方形，AA13，AB2，且C1CBC1
15、CD60，设a，b，c.(1)试用a，b，c表示；(2)已知O为对角线A1C的中点，求CO的长解析(1)cbaabc.(2)由题意知|a|2，|b|2，|c|3，ab0，ac233，bc233，(abc)，|.14已知空间三点A(0，2，3)，B(2，1，6)，C(1，1，5)(1)若点D在直线AC上，且，求点D的坐标；(2)求以BA，BC为邻边的平行四边形的面积解析(1)由题意知，(1，3，2)，点D在直线AC上，设(1，3，2)(，3，2)，D(，23，23)，(，23，32)(2，1，6)(2，13，23)，(1，3，2)(2，13，23)239461470，D.(2)(2，1，3)，(
16、3，2，1)，|，|，231(2)(3)(1)7，cos Bcos，sin B，S7，以BA，BC为邻边的平行四边形的面积为7.15正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，以D为原点，所在直线为x，y，z轴建立直角坐标系Dxyz，点M在线段AB1上，点N在线段BC1上，且MNAB1，MNBC1.求：(1)，；(2)的坐标解析(1)由题意可知D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，B1(1，1，1)，C1(0，1，1)，所以(0，1，1)，(1，0，1)，0(1)10111，|，|，所以cos，.所以，.(2)设点M(1，x，x)，N(y，1，1y)，则(y1，1x，1xy)因为
17、0，0，即化简得解得所以的坐标为.1【多选题】已知向量a(1，1，0)，则与a共线的单位向量e等于()A. B(0，1，0)C. D(1，1，1)答案AC2在四面体OABC中，空间的一点M满足，若M，A，B，C四点共面，则等于()A. B.C. D.答案A3在正四面体ABCD中，E是BC的中点，那么()A.D.与不能比较大小答案C解析因为()()(|2|2)0，()()|cos 120|cos 120|cos 120.4已知a(1，2，3)，b(1，1，4)，c(1，3，m)，则“m1”是“a，b，c构成空间的一个基底”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案
18、A解析当m1时，c(1，3，1)，易得a，b，c不共面，即a，b，c能构成空间的一个基底，即“m1”是“a，b，c构成空间的一个基底”的充分条件；当a，b，c能构成空间的一个基底时，则a，b，c不共面，设a，b，c共面，即cxayb，解得即即当a，b，c能构成空间的一个基底时，m2，即当a，b，c能构成空间的一个基底时，不能推出m1，即“m1”是“a，b，c构成空间的一个基底”的不必要条件综上所述，“m1”是“a，b，c构成空间的一个基底”的充分不必要条件5已知P(3cos ，3sin ，1)和Q(2cos ，2sin ，1)，则|的取值范围是()A0，5 B1，25C1，5 D(1，5)答案
19、C6在四面体OABC中，G是底面ABC的重心，且xyz，则log3|xyz|等于_答案37已知空间三点A(2，1，0)，B(2，2，1)，C(0，1，2)(1)求的值；(2)若(k)()，求k的值解析(1)因为A(2，1，0)，B(2，2，1)，所以(0，1，1)又C(0，1，2)，所以(2，0，2)，所以0(2)10122.(2)由(1)可知(0，1，1)，(2，0，2)，所以k(2k，1，2k1)，(2，1，3)因为(k)()，所以4k13(2k1)0，解得k.8.如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA底面ABCD，AB，BC1，PA2，E为PD的中点(1)求AC与PB所成角的余弦值；(2)在侧面PAB内找一点N，使NE平面PAC，求N点的坐标解析(1)由题意，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(，0，0)，C(，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0，2)，E，从而(，1，0)，(，0，2)设AC与PB的夹角为，则cos .AC与PB所成角的余弦值为.(2)由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为(x，0，z)，则，由NE平面PAC可得，即化简得即N点的坐标为时，NE平面PAC.
