1、不等关系与不等式不等关系与不等式 要点一、符号法则与比较大小要点一、符号法则与比较大小 实数的符号：实数的符号： 任意xR，则0 x（x为正数） 、0 x或0 x（x为负数）三种情况有且只有一种成立. 两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质：两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质： 两个同号实数相加，和的符号不变： 符号语言：0,00abab；0,00abab 两个同号实数相乘，积是正数： 符号语言：0,00abab；0,00abab 两个异号实数相乘，积是负数 符号语言：0,00abab 任何实数的平方为非负数，0 的平方为 0 符号语言： 2 0 xRx， 2 00 xx. 比
2、较两个实数大小的法则：比较两个实数大小的法则： 对任意两个实数a、b 0ba ba ； 0ba ba ； 0ba ba . 对于任意实数a、b,ab,ab,ab三种关系有且只有一种成立. 要点二、不等式的性质要点二、不等式的性质 不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分 基本性质有：基本性质有： (1) 对称性：ab bb, bc ac (3) 可加性：abacbc (cR) (4) 可乘性：ab， bcacc bcacc bcacc 0 0 0 运算性质有：运算性质有： (1) 可加法则：,.ab cdacbd (2) 可乘法则：,ab0 cd0a cb d0 (3) 可乘方性：0,10
3、nn abnNnab (4) 可开方性： nn ab0,nN ,n1ab 要点三、比较两代数式大小的方法要点三、比较两代数式大小的方法 作差法：作差法： 任意两个代数式a、b，可以作差ab后比较ab与 0 的关系，进一步比较a与b的大小. 0ba ba ； 0ba ba ； 0ba ba . 作商法：作商法： 任意两个值为正的代数式a、b，可以作商ab后比较 a b 与 1 的关系，进一步比较a与b的大小. 1b a a b ； 1b a a b ； 1b a a b . 中间量法：中间量法： 若ab且bc，则ac（实质是不等式的传递性）.一般选择 0 或 1 为中间量. 利用函数的单调性比较
4、大小利用函数的单调性比较大小 若两个式子具有相同的函数结构，可以利用相应的基本函数的单调性比较大小. 作差比较法的步骤： 第一步：作差； 第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化为“积”； 第三步：定号，就是确定差是大于、等于还是小于 0； 最后下结论. 【典型例题】【典型例题】 类型一：用不等式表示不等关系类型一：用不等式表示不等关系 例例 1.某人有楼房一幢， 室内面积共 2 180m， 拟分割成大、 小两类房间作为旅游客房， 大房间面积为 2 18m， 可住游客 5 人，每名游客每天住宿费 40 元；小房间每间面积为 2 15m，可住游客 3 人，每名游客每天 住宿费
5、 50 元；装修大房间每间需要 1000 元，装修小房间每间需要 600 元，如果他只能筹款 8000 元 用于装修，试写出满足上述所有不等关系的不等式. 【解析】假设装修大、小客房分别为x间，y间，根据题意，应由下列不等关系： （1） 总费用不超过 8000 元 （2） 总面积不超过 2 180m； （3） 大、小客房的房间数都为非负数且为正整数. 即有： * * 180 0( 0( 10006008000 1815 ) ) xxN yyN xy xy 即 * * 60 0( 0( 5340 65 ) ) xxN yyN xy xy 此即为所求满足题意的不等式组 举一反三：举一反三： 【变式
6、】某钢铁厂要把长度为 4000mm 的钢管截成 500mm 和 600mm 两种.按照生产的要求，600mm 的 数量不能超过 500mm 钢管的 3 倍.怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢？ 【答案】假设截得 500 mm 的钢管 x 根，截得 600mm 的钢管 y 根.根据题意，应有如下的不等关系： （1）截得两种钢管的总长度不超过 4000mm ; （2）截得 600mm 钢管的数量不能超过 500mm 钢管数量的 3 倍； （3）截得两种钢管的数量都不能为负. 要同时满足上述的三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示： 类型二：不等式类型二：不等式性质的应用性质的应用 例例 2已
7、知 22 ，求 2 ， 2 的取值范围 【解析】 因为 22 ，所以 424 ， 424 . 两式相加，得 222 . 因为 424 ，所以 424 ，则 222 . 又 ，所以0 2 ，则0 22 . 举一反三：举一反三： 【变式 1】【变式】已知23 ,14ab，求（1）,ab (2) a b 的取值范围. 【答案】（1）22ab ； （2） 1 3 2 a b 【变式 2】已知实数 x，y 满足 13 11 xy xy ，则 4x+2y 的取值范围是_。 【答案】方法一：1x+y3 ； 1xy1， 由+，得到 02x4 ； 2 得到 04x8 由，得到 22y2 ；最后+得到 24x+2
8、y10 故答案为：2，10 方法二：令 4x+2y=m（x+y）+n（xy） 则 4 2 mn mn 解得 3 1 m n ；即 4x+2y=3（x+y）+（xy） 1x+y3 ； 33（x+y）9 又1xy1， 23（x+y）+（xy）10 故答案为：2，10 例例 3若 ab0,cdv0)， 则船在流水中在甲地和乙地间来回行驶一次的时间 22 2SSuS t uvuvuv 平均速度 22 2Suv u tu ， 222 0 uvv uuu uu ， uu 因此，船在流水中来回行驶一次的平均速度与船在静水中的速度不相等，平均速度小于船在静水中的 速度. 【变式 1】甲乙两车从 A 地沿同一路
9、线到达 B 地，甲车一半时间的速度为 a,另一半时间的速度为 b;乙车 用速度为 a 行走一半路程，用速度 b 行走另一半路程，若ab，试判断哪辆车先到达 B 地. 【答案】甲车先到达 B 地； 【解析】设从 A 到 B 的路程为 S，甲车用的时间为 1 t，乙车用的时间为 2 t， 则 11 12 211 ,(), 22222 ttSSSS abStt ababab 22 2SS 112S()S4S() S() S 0 222()2() abababab ababababab abab ab 所以，甲车先到达 B 地. 类型三：作差类型三：作差比较大小比较大小 例例 5. 已知 a，b，c
10、是实数，试比较 a2b2c2与 abbcca 的大小 【解析】 222 ()abcabbcca = 222 1( )() () 0 2 abbcca， 当且仅当 abc 时取等号 a2b2c2abbcca. 举一反三：举一反三： 【变式 1】在以下各题的横线处适当的不等号： (1) 2 ( 32) 62 6； （2） 2 ( 32) 2 ( 61)； （3） 25 1 56 1 ； 【答案】(1)； （2） ； （3）； 【变式 2】比较下列两代数式的大小： （1）(5)(9)xx与 2 (7)x； （2） 22 222abab与223ab. 【答案】 （1） 2 (5)(9)(7)xxx （
11、2） 22 (222)(223)ababab 2222 (21)(21)(2) 1aabbaabb 222 (1)(1)()1 10abab ， 22 222223ababab. 例例 6.已知ab(0ab), 试比较 1 a 和 1 b 的大小. 【解析】 11ba abab ， ab即0ba， 当0ab时0 ba ab ， 11 ab ； 当0ab时0 ba ab ， 11 ab . 举一反三：举一反三： 【变式】已知a0,b0ab且，比较 22 ab ab ba 与的大小 【答案】 22 () ab ab ba （） 33 22 2 () 2 ()() ()() 0 ab ab ab a
12、abb ab ab ab ab ab 22 . ab ab ba 类型四：作商比较类型四：作商比较大小大小 例例 7已知：a、bR, 且ab,比较 abba a ba b与的大小. 【解析】 a、bR ，0 ab a b ，0 ba a b 作商：( ) ( )( ) ( )( ) ab ababa b ba a babaaa a bbabbb （*） (1)若 ab0, 则1 b a ，a-b0, 1)( ba b a , 此时 abba a ba b成立； (2)若 ba0, 则10 b a , a-b0，1)( ba b a , 此时 abba a ba b成立. 综上， abba a
13、ba b总成立. 举一反三：举一反三： 【变式】已知abc、 、为互不相等的正数，求证： 2a2b2cb cc aa b a b cabc. 【答案】abc、 、为不等正数，不失一般性，设abc0, 这时 2a2b2c a b c0， b cc aa b abc0 ，则有： 2a2b2c (a b) (a c)(b c) (b a)(c a) (c b)a bb cc a b cc aa b a b cabc abc( )( )( ) abcbca abc0 abc 1, ab0;1, bc0; 01 , c -a 0 bca 由指数函数的性质可知： a bb cc a abc ( )1,(
14、)1,( )1 bca 2a2b2c b cc aa b a b c 1 abc ，即 2a2b2cb cc aa b a b cabc . 【巩固练习】【巩固练习】 一、一、选择题选择题 1设 a，bR，若 a|b|0，则下列不等式中正确的是( ) Aba0 Ba3b30 Ca2b20 Dba0 1 【答案】 D 【解析】 a|b|0 即aba 0 0 ab ab D 正确 对于 A：由 ab0 则 ba0A 错 对于 B：a3b3(ab)(a2abb2)(ab)(a1 2b) 23 4b 20B 错 对于 C：a2b2(ab)(ab)0C 错 2.若 a,b,c 为实数，且 ab0.则下列
15、命题正确的是（ ） A. 22 acbc B. 11 ab C. ba ab D. 22 aabb 2【答案】D 【解析】c 为实数 ，取 c=0,ac2=0, bc2=0,此时 ac2= bc2。故选项 A 不成立； 又 11 , ba abab ab0,ab0, 0 ba ab ,即 11 ab ，故选项 B 错。选项 C，abb am2bm2 B . c b c a ab Ca3b3, ab0 ba 11 D.a2b2, ab0 ba 11 3【答案】C 【解析】用淘汰法。 (A)中若 m=0 不成立；(B)中若 c0(a-b)(a2+ab+b2)0。 a2+ab+b20 恒成立，故 a
16、-b0。 ab，又ab0， a 1 b2(a+b)(a-b)0，不能说明 ab，故本题应选(C)。 4若 x+y0,a0，则 x-y 的值为( ) A、大于 0 B、小于 0 C、等于 0 D、符号不确定 4【答案】A 【解析】用直接法。 a0y0 x0， x-y=x+(-y)0。故本题应选(A)。 5下列命题中的真命题为 （）若 ab, 则 ac2bc2； （）若 ab0，则 a 1 b 1 ； （）若 ab b a ； （）若 ab0，则 a b ab0，则 ac a bc b 5 【答案】 （4） （5） 【解析】 （）c20，当 c=0 时 ac2=bc2=0，故原命题为假命题。 （）
17、举特例-2-1-1，故原命题为假命题。 （）由于 ab0，所以 ba ba 11 0 ，所以 0 11 0 ab ba ， a b b a ，故原命题为假命题。 （）ab|b|0， | | a b ， a b ，故原命题为真命题 （）cab0， ac ba ，c-bc-a0， ac 1 bc 1 0， 又ab0 ， ac a bc b ，故原命题为真命题 6设 b a bm an ab0,m0,n0, a b am bn 则由小到大的排列顺序是 6 【答案】 bbmana aambnb 【解析】特殊值法：对 a、b、m、n 分别取特殊值， 比如：a=4,b=3,m=2,n=1,代入比较即得 bbmana aambnb .
