1、不等关系与不等式不等关系与不等式 要点一、符号法则与比较大小要点一、符号法则与比较大小 实数的符号：实数的符号： 任意xR，则0 x（x为正数） 、0 x或0 x（x为负数）三种情况有且只有一种成立. 两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质：两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质： 两个同号实数相加，和的符号不变： 符号语言：0,00abab；0,00abab 两个同号实数相乘，积是正数： 符号语言：0,00abab；0,00abab 两个异号实数相乘，积是负数 符号语言：0,00abab 任何实数的平方为非负数，0 的平方为 0 符号语言： 2 0 xRx， 2 00 xx. 比
2、较两个实数大小的法则：比较两个实数大小的法则： 对任意两个实数a、b 0ba ba ； 0ba ba ； 0ba ba . 对于任意实数a、b,ab,ab,ab三种关系有且只有一种成立. 要点二、不等式的性质要点二、不等式的性质 不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分 基本性质有：基本性质有： (1) 对称性：ab bb, bc ac (3) 可加性：abacbc (cR) (4) 可乘性：ab， bcacc bcacc bcacc 0 0 0 运算性质有：运算性质有： (1) 可加法则：,.ab cdacbd (2) 可乘法则：,ab0 cd0a cb d0 (3) 可乘方性：0,10
3、nn abnNnab (4) 可开方性： nn ab0,nN ,n1ab 要点三、比较两代数式大小的方法要点三、比较两代数式大小的方法 作差法：作差法： 任意两个代数式a、b，可以作差ab后比较ab与 0 的关系，进一步比较a与b的大小. 0ba ba ； 0ba ba ； 0ba ba . 作商法：作商法： 任意两个值为正的代数式a、b，可以作商ab后比较 a b 与 1 的关系，进一步比较a与b的大小. 1b a a b ； 1b a a b ； 1b a a b . 中间量法：中间量法： 若ab且bc，则ac（实质是不等式的传递性）.一般选择 0 或 1 为中间量. 利用函数的单调性比较
4、大小利用函数的单调性比较大小 若两个式子具有相同的函数结构，可以利用相应的基本函数的单调性比较大小. 作差比较法的步骤： 第一步：作差； 第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化为“积”； 第三步：定号，就是确定差是大于、等于还是小于 0； 最后下结论. 【典型例题】【典型例题】 类型一：用不等式表示不等关系类型一：用不等式表示不等关系 例例 1.某人有楼房一幢， 室内面积共 2 180m， 拟分割成大、 小两类房间作为旅游客房， 大房间面积为 2 18m， 可住游客 5 人，每名游客每天住宿费 40 元；小房间每间面积为 2 15m，可住游客 3 人，每名游客每天 住宿费
5、 50 元；装修大房间每间需要 1000 元，装修小房间每间需要 600 元，如果他只能筹款 8000 元 用于装修，试写出满足上述所有不等关系的不等式. 举一反三：举一反三： 【变式】某钢铁厂要把长度为 4000mm 的钢管截成 500mm 和 600mm 两种.按照生产的要求，600mm 的 数量不能超过 500mm 钢管的 3 倍.怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢？ 类型二：不等式类型二：不等式性质的应用性质的应用 例例 2已知 22 ，求 2 ， 2 的取值范围 举一反三：举一反三： 【变式 1】【变式】已知23 ,14ab，求（1）,ab (2) a b 的取值范围. 【变式
6、2】已知实数 x，y 满足 13 11 xy xy ，则 4x+2y 的取值范围是_。 例例 3若 ab0,cd0ab且，比较 22 ab ab ba 与的大小 类型四：作商比较类型四：作商比较大小大小 例例 7已知：a、bR, 且ab,比较 abba a ba b与的大小. 举一反三：举一反三： 【变式】已知abc、 、为互不相等的正数，求证： 2a2b2cb cc aa b a b cabc. 【巩固练习】【巩固练习】 一、一、选择题选择题 1设 a，bR，若 a|b|0，则下列不等式中正确的是( ) Aba0 Ba3b30 Ca2b20 Dba0 2.若 a,b,c 为实数，且 abb am2bm2 B . c b c a ab Ca3b3, ab0 ba 11 D.a2b2, ab0 ba 11 4若 x+y0,a0，则 x-y 的值为( ) A、大于 0 B、小于 0 C、等于 0 D、符号不确定 5下列命题中的真命题为 （）若 ab, 则 ac2bc2； （）若 ab0，则 a 1 b 1 ； （）若 ab b a ； （）若 ab0，则 a b ab0，则 ac a bc b 6设 b a bm an ab0,m0,n0, a b am bn 则由小到大的排列顺序是
