1、本章整合 本章知识可分为三个组成部分。第一部分为开普勒行星运动定理; 第二部分为万有引力定律;第三部分为万有引力定律的应用。 一、人类对行星运动规律的认识 二、万有引力定律 三、万有引力定律的应用 一、天体(卫星)运动问题的处理 1.抓住两条思路 天体问题实际上是万有引力定律、牛顿第二定律、匀速圆周运动 规律的综合应用,解决此类问题的基本思路有两条。 思路1,中心天体的表面或附近,万有引力近似等于重力,即 G 2 =mg0(g0表示天体表面的重力加速度)。 思路 2,万有引力提供向心力,即 G 2 =ma。 式中 a 表示向心加速度,而向心加速度又有 a= 2 、a=2r、 a=v,a=4 2
2、 2 、a=g 这样几种表达形式,要根据具体问题,选择合适的 表达式讨论相关问题。 2.分清四个不同 (1)不同公式和问题中r的含义不同。 例如,在公式 2 =mg 中,r 表示地球的半径,而在 2 =ma=m 2 =m 2 2r 中,r 通常指行星(或卫星)绕中心天体运动的轨道半径。 (2)万有引力与重力不同。 宇宙间一切物体都是相互吸引的,物体间的这种吸引叫作万有引力。 地面附近的物体,由于地球的吸引而产生的力叫作重力。重力实际 上是地球对物体的万有引力的一个分力,所以物体的重力并不等于 地球对物体的万有引力,只是由于两者差距不大,在通常情况下可 认为两者近似相等。 地球表面附近 mg=
3、2 ,所以 g= 2 (其中 g 为地表附近的重力加速 度,M 为地球的质量,R 为地球的半径,G 为引力常量)。 离地面高为 h 处的物体的重力近似等于万有引力: mg= (+)2,则 g= (+)2。 绕地球运动的物体的重力等于万有引力,且提供向心力: mg= 2 =F向。 (3)随地球自转的向心加速度和环绕运行的向心加速度不同。 放在地球上的物体随地球自转做匀速圆周运动,所以具有向心加速 度,该加速度是由地球对物体的引力和地面的支持力的合力提供的, 是很小的。 环绕地球运行的卫星,具有向心加速度,该加速度完全由地球对它 的万有引力提供。 (4)运行速度和发射速度不同。 对于人造卫星,由
4、G 2 =m 2 ,得到 v= ,该速度指的是人造卫星 在轨道上运行的速度,其大小随轨道半径的增大而减小。 要将人造卫星发射到预定的轨道,就需要给卫星一个发射速度,发 射速度随着发射高度的增加而增大,所以要注意运行速度和发射速 度的区别。 例1“静止”在赤道上空的地球同步气象卫星把广阔视野内的气象数 据发回地面,为天气预报提供准确、全面和及时的气象资料。设地 球同步卫星的轨道半径是地球半径的n倍,下列说法中正确的是 ( ) A.同步卫星的运行速度是第一宇宙速度的1 B.同步卫星的运行速度是地球赤道上物体随地球自转获得的速度 的1 C.同步卫星的运行速度是第一宇宙速度的 1 D.同步卫星的向心加
5、速度是地球表面重力加速度的 1 解析:同步卫星绕地球做圆周运动,由万有引力提供向心力,则 G 地 2 =ma=m 2 =m2r=m4 2 2 r,得同步卫星的运行速度 v= 地 ,又 第一宇宙速度 v1= 地 ,所以 1 = = 1 ,故 A 错误,C 正 确;a= 地 2 ,g= 地 2 ,所以 = 2 2 = 1 2,故 D 错误;同步卫星与地球自转 的角速度相同,则 v=r,v自=R,所以 自 = =n,故 B 错误。 答案:C 变式训练1登上火星是人类的梦想,“嫦娥之父”欧阳自远透露:中国 计划于2030年登陆火星。地球和火星公转视为匀速圆周运动,忽略 行星自转影响。根据下表,火星和地
6、球相比( ) 行星半径/m 行星质量/kg 公转轨道半径/m 地球 6.4106 6.01024 1.51011 火星 3.4106 6.41023 2.31011 A.火星的公转周期较小 B.火星做圆周运动的向心加速度较小 C.火星表面的重力加速度较大 D.火星的第一宇宙速度较大 解析:根据万有引力定律可知 太 2 =m 2 2r,得公转周期公式 T= 423 太 ,对同一中心天体,环绕天体的公转半径越大,公转周期越 大,选项 A 错误;根据公式 a=太 2 ,得环绕天体的公转半径越大,向 心加速度越小,选项 B正确;对于天体表面的重力加速度,由 g= 2 , 得 g 地g火,选项 C错误;
7、由第一宇宙速度公式 v1 = ,得1地 1 火,选项 D 错误。 答案:B 二、万有引力定律与天体表面的抛体运动的综合应用 万有引力定律常与抛体运动综合命题。在地球上所有只在重力作 用下的运动,如自由落体运动、竖直上抛运动、平抛运动、斜抛运 动等,其运动规律和研究方法同样适用于在其他星球表面的同类运 动,要特别注意在不同的天体表面重力加速度一般不同。 例2宇航员在某星球表面,将一小球从离地面为h高处以初速度v0水 平抛出,测出小球落地点与抛出点间的水平位移为s,若该星球的半 径为R,引力常量为G,则该星球的质量多大? 解析:设该星球表面重力加速度为 g,物体水平抛出后经时间 t 落地, 则 h
8、=1 2gt 2 s=v0t 又由于 g= 星 2 由式得 m星=20 22 2 。 答案:20 22 2 变式训练2(2019辽宁大连高一检测)宇航员站在某一星球上,将一个 小球从距离星球表面h高度处由静止释放,使其做自由落体运动,经 过t时间后小球到达星球表面,已知该星球的半径为R,引力常量为G, 则下列选项正确的是( ) A.该星球的质量为2 2 2 B.该星球表面的重力加速度为 22 C.该星球的第一宇宙速度为2 2 D.通过以上数据无法确定该星球的密度 解析:小球做自由落体运动,则有 h=1 2gt 2,解得该星球表面的重力加速 度 g=2 2 ,选项 B 错误;对星球表面的物体,万
9、有引力等于重力,即 G 2 =mg,可得该星球的质量 M=2 2 2 ,选项 A 正确;该星球的第一宇 宙速度 v= = 2 ,选项 C 错误;该星球的密度 = 4 3 3 = 3 22, 选项 D 错误。 答案:A 三、天体运动中的追及相遇问题 在天体运动的问题中,我们常遇到一些这样的问题,比如a、b两物 体都绕同一中心天体做圆周运动,某时刻a、b相距最近,问a、b下 一次相距最近或最远需要多长时间,或“至少”需要多长时间等问题。 而对于此类问题的解决和我们在直线运动中的追及相遇问题在思 维上有一些相似的地方,但它也有其自身的特点。两天体由某次相 距最近到下次相距最近,周期小的天体比周期大的
10、天体多转一周, 解决天体运动中的追及相遇问题时,要紧紧地抓住这一条件。 例3设地球的自转角速度为0,地球半径为R,地球表面重力加速度 为g,某人造卫星在赤道上空做匀速圆周运动,轨道半径为r,且r5R, 飞行方向与地球的自转方向相同,在某时刻,该人造卫星通过赤道 上某建筑物的正上方,则到它下一次通过该建筑物正上方所需要的 时间为( ) A.2 2 3 -0 B. 2 2 3 +0 C.2 3 2 D. 2 2 3 -0 解析:因为同步卫星的轨道半径大约为6.6R,根据卫星的运行特点知, 轨道半径越大,卫星运行角速度越小,而同步卫星与地球自转的角 速度相同,故该人造卫星运行的角速度比地球上建筑物运行的角速 度大,因此再次出现在建筑物上方时,说明人造卫星已经比建筑物 多走了一圈。故卫-地=2,卫=1t,地=0t,由于卫星做匀速圆周运 动,根据万有引力提供向心力有 根据黄金代换 GM=gR2,联立得选项D正确。 2 =mr12, 答案:D
