1、2025年湖南中考数学二轮复习专题突破年湖南中考数学二轮复习专题突破专题三三角形、四边形的综合专题三三角形、四边形的综合类型类型1 1动点问题动点问题例(2023郴州)已知ABC是等边三角形,点D是射线AB上的一个动点,延长BC至点E,使CE=AD,连接DE交射线AC于点F.(1)如图,当点D在线段AB上时,猜测线段CF与BD的数量关系并说明理由.(2)如图,当点D在线段AB的延长线上时：线段CF与BD的数量关系是否仍然成立?请说明理由.如图,连接AE.设AB=4,若AEB=DEB,求四边形BDFC的面积.解解解解图解解解图动点问题是指题设图形中存在一个或多个动点,它们是在线段或射线上运动的一
2、类开放性题目.解决这类问题的关键是“动中求静”,灵活运用全等三角形、相似三角形、线段最值的知识等解决问题.1.【问题情境】(1)如图,四边形ABCD是正方形,点P是对角线AC上一动点.求证：PB=PD.【深入探究】(2)如图,在正方形ABCD中,点P是对角线AC上一动点,过点P分别作PEAB,PFBC,垂足分别为E,F,连接EF.试猜想EF与PD的数量关系,并证明你的猜想；若AB=4,求EF的最小值.【拓展应用】(3)如图,延长BP,CD交于点G,BG与AD交于点Q,点H为GQ的中点,连接HD,判断DHP的形状.证明解解图解(3)解：H为GQ的中点,ADG=90,GH=DH,GDHADH=90
3、,G=GDH.在RtBCG中,GCBP=90.由(1)可知,CPB CPD,CDP=CBP,GDHCDP=90,HDP=90,DHP为直角三角形.2.如图,在四边形ABCD中,A=B=90,E为边DC的中点,F为边AB上一动点,连接FE并延长至点G,使得EG=FE,连接FD,DG,GC,CF.(1)四边形DFCG一定是_；(填特殊四边形的名称)若AD=3,AB=9,BC=6,点F在AB上运动,当四边形DFCG为正方形时,AF=_.答案平行四边形6解解解图类型类型2 2旋转问题旋转问题例(2023岳阳)如图,在ABC中,AB=AC,点M,N分别为边AB,BC的中点,连接MN.初步尝试：(1)MN
4、与AC的数量关系是_,MN与AC的位置关系是_.答案图MNAC解解图解解图解(3)当点C,E,F在同一直线上时,分两种情况讨论：当点E在FC上时,如解图,连接ME.AB=AC,ABC=ACB.设ABC=ACB=,则BAC=1802.MN是ABC的中位线,MNAC,MNB=ACB=,MNB=MBN=.由旋转的性质可知,MBE=NBF=,EBF=EFB=,BEC=EBFEFB=2,BECBAC=180,A,E,B,C四点在同一个圆上,EAC=EBC=,BAE=BACEAC=180.ABF=,BAEABF=180.解图解当点F在EC上时,如解图,连接ME.由题意可知,BEF=BAC,A,E,B,C四
5、点在同一个圆上.设ABC=ACB=,则BEF=BAC=1802.由旋转的性质可知,MBN=EBF,NBF=EBM.设NBF=EBM=,则ABF=.EFB=MNB=ACB=,BAE=BCE=EFBNBF=,BAE=ABF.综上所述,BAEABF=180或BAE=ABF.解图解决旋转问题的一般步骤：(1)识别旋转中心和旋转角；(2)分析旋转前后的图形,得到相等的线段或相等的角；(3)根据勾股定理、全等三角形、相似三角形的知识等求解.【拓展】旋转问题中的常见模型模型已知条件图示相关结论手拉手模型在ABC和ADE中,AB=AC,AD=AE,BAC=DAE,BD,CE交于点O,连接AO等腰三角形(1)A
6、BD ACE；(2)BOC=BAC；(3)OA平分BOE模型已知条件图示相关结论手拉手模型在ABC和ADE中,AB=AC,AD=AE,BAC=DAE,BD,CE交于点O,连接AO等边三角形(1)ABD ACE；(2)BOC=BAC；(3)OA平分BOE等腰直角三角形模型已知条件图示相关结论脚拉脚模型在ABC和ADE中,ABC=ADE=90,AB=CB,AD=ED,连接BD并延长,交CE于点F(1)CE=BF；(2)BFC=45在ABC和ADE中,ABC=ADE=90,AB=CB,AD=ED,F为CE的中点,连接BF,DF(1)BF=DF；(2)BFDF模型已知条件图示相关结论夹半角模型(1)A
7、BD ACF；(2)ADE AFE；(3)FCE=1801.(2024益阳模拟)如图,在等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形CDE中,ACB=DCE=90.(1)观察猜想：如图,点E在BC上,求线段AE与BD的关系.(2)探究证明：把CDE绕直角顶点C旋转到图的位置,(1)中的结论仍成立吗?说明理由.(3)拓展延伸：如图,把CDE绕点C在平面内转动一周,若AC=BC=10,CE=CD=5,当AE,BD交于点P时,连接CP,求BCP面积的最大值.解解：(1)如解图,延长AE交BD于点H.由题意可知,AC=BC,ACE=BCD=90,CE=CD,ACE BCD(SAS),AE=BD,EAC=DBC
8、.DBCBDC=90,EACBDC=90,AHD=180(EACBDC)=90,即AEBD.解图解解图解解图2.(2023衡阳)【问题探究】(1)如图,在正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O.在线段AO上任取一点P(端点除外),连接PD,PB.求证：PD=PB.将线段DP绕点P逆时针旋转,使点D落在BA的延长线上的点Q处.当点P在线段AO上的位置发生变化时,DPQ的大小是否发生变化?请说明理由.探究AQ与OP的数量关系,并说明理由.【迁移探究】(2)如图,将正方形ABCD换成菱形ABCD,且ABC=60,其他条件不变.试探究AQ与CP的数量关系,并说明理由.解证明解：DPQ的大小不发生
9、变化.理由如下：如解图,过点P分别作PMAB,PNAD,垂足分别为点M,N.四边形ABCD是正方形,DAC=BAC=45,DAB=90,四边形AMPN是矩形,PM=PN,MPN=90.PD=PQ,PN=PM,RtDPN RtQPM(HL),DPN=QPM.QPNQPM=90.QPNDPN=90,即DPQ=90.(1)证明：四边形ABCD是正方形,CD=CB,DCP=BCP=45.又CP=CP,DCP BCP(SAS),PD=PB.解图解解图解(2)解：AQ=CP.理由如下：四边形ABCD是菱形,ABC=60,AB=BC,ACBD,DO=BO,ABC是等边三角形,AC垂直平分BD,BAC=60,
10、PD=PB.PD=PQ,PQ=PB.如解图,过点P作PKBC交AB于点K,过点K作KGAC交BC于点G,则四边形PKGC是平行四边形,GKB=BAC=60,AKP=ABC=60,KG=CP,APK和BKG都是等边三角形,BK=KG=CP.过点P作PIAB于点I,则QI=IB,AI=KI,AQ=BK,AQ=CP.解图类型类型3 3折叠问题折叠问题探究拓展：(3)如图,在矩形ABCD中,AB=7.5,AD=9,将矩形ABCD沿直线EF折叠,E,F分别在边AD,BC上,点A落在CD边上的点M处.若DM=x,BF=y,求y关于x的函数关系式.解解图解解图解解图解解决折叠问题的一般步骤：(1)识别折痕；
11、(2)分析折叠前后的图形,得到相等的线段或相等的角；(3)根据勾股定理、全等三角形的性质等列方程或直接解题.【拓展1】三角形中的折叠问题类别图示相关结论角向内翻折角向上翻折角向下翻折【拓展2】矩形中的折叠问题类别已知条件图示相关结论沿对角线折叠在矩形ABCD中,以对角线AC为折痕,折叠ABC,点B的对应点为B(1)ABC ABC；(2)折痕AC垂直平分BB；(3)AEC是等腰三角形折痕过矩形的一个顶点在矩形ABCD中,以AE为折痕,折叠ABE,点B的对应点为B(1)ABE ABE；(2)折痕AE垂直平分BB(1)ABE ABE；(2)折痕AE垂直平分BB；(3)ADBBCE类别已知条件图示相关
12、结论折痕过矩形的一个顶点在矩形ABCD中,以AE为折痕,折叠四边形ABCE,点B的对应点为B ,点 C 的 对 应 点 为C,AB与DC交于点F(1)四边形ABCE 四边形ABCE；(2)折痕AE垂直平分BB；(3)AFE是等腰三角形折痕不过矩形的顶点在矩形ABCD中,以EF为折痕,折叠EBF,点B的对应点为B(1)BEF BEF；(2)折痕EF垂直平分BB类别已知条件图示相关结论折痕不过矩形的顶点在矩形ABCD中,以EF为折痕,折叠四边形EBCF,点B的对应点为B,点C的对应点为C,BC与DC交于点G(1)四边形EBCF 四边形EBCF；(2)折痕EF垂直平分BB；(3)GCF是直角三角形(
13、1)四边形EBCF 四边形EBCF；(2)折痕EF垂直平分BB；(3)AEBDBG1.综合与实践.【问题背景】折纸是一种许多人都熟悉的活动,将折纸的一边二等分、四等分都是比较容易做到的,但将一边三等分就不是那么容易了,近些年,经过人们的不懈努力,已经找到了多种将正方形折纸一边三等分的精确折法,最著名的是由日本学者芳贺和夫发现的三种折法,现在被数学界称之为芳贺折纸三定理.其中,芳贺折纸第一定理的操作过程及内容如下(如图)：操作1：将正方形ABCD对折,使点A与点D重合,点B与点C重合,将正方形ABCD展开,得到折痕EF.操作2：将正方形纸片的右下角向上翻折,使点C与点E重合,边BC翻折至BE的位
14、置,得到折痕MN,BE与AB交于点P,则P为AB的三等分点,即AP PB=2 1.答案4图图证明(1)证明：由折叠可知,CM=EM,CMQ=EMQ,四边形CDEF是矩形,CDEF,CMQ=EQM,EQM=EMQ,ME=EQ,MC=EQ.又MCEQ,四边形EQCM是平行四边形.又CM=EM,四边形EQCM是菱形.证明2.【问题初探】(1)如图,在正方形ABCD中,AB=4,点E,F在边CD上,连接AE,BF,将ADE沿着直线AE折叠,将BCF沿着直线BF折叠,点D,C的对称点恰好都为点G,过点G作MNAB,交AB于点M,交CD于点N,求线段GN的长度.【类比分析】(2)如图,在矩形ABCD中,A
15、B=6,BC=4,点E,F在边CD上,连接AE,BF,将ADE沿着直线AE折叠,将BCF沿着直线BF折叠,点D,C的对称点恰好都为点G,过点G作MNAB,交AB于点M,交CD于点N,求线段EF的长度.【学以致用】(3)如图,在四边形ABCD中,ABCD,点G为四边形ABCD内部一点,连接GA,GB,GC,GD,AGBCGD=180,ABC=BCG,BAD=ADG.求证：AG=BG.解解证明(3)证明：如解图,延长DC至点N,使CN=CG,延长CD至点M,使DM=DG,连接BN,AM.ABCD,ABC=BCN.ABC=BCG,BCN=BCG.又BC=BC,BCG BCN(SAS),BG=BN,B
16、GC=N.同理可得,ADG ADM(SAS),AG=AM,AGD=M.AGBCGD=180,AGDBGC=180,MN=180,AMBN.又ABMN,四边形ABNM为平行四边形,AM=BN,AG=BG.解图类型类型4 4非动态几何问题非动态几何问题例(2022益阳)如图,在矩形ABCD中,AB=15,BC=9,E是CD边上一点(不与点C重合),作AFBE于点F,CGBE于点G,延长CG至点C,使CG=CG,连接CF,AC.(1)直接写出图中与AFB相似的一个三角形.(2)若四边形AFCC是平行四边形,求CE的长.(3)当CE的长为多少时,以C,F,B为顶点的三角形是以CF为腰的等腰三角形?解解
17、解图解解图解决非动态几何问题的关键是“分析已知条件和题图”,通过深入挖掘已知条件,灵活运用所学的定理和性质,逐步推导出题目的结论.1.(2022常德)在四边形ABCD中,BAD的平分线AF交BC于点F,延长AB到点E,使BE=FC,G是AF的中点,GE交BC于点O,连接GD.(1)当四边形ABCD是矩形时,如图,求证：GE=GD；BOGD=GOFC.(2)当四边形ABCD是平行四边形时,如图,(1)中的结论都成立,请给出结论的证明.证明解图证明解图解解：(1)如解图,在BA上取一点J,使BJ=BE,连接JE.四边形ABCD是正方形,B=BCD=90,BA=BC.BJ=BE,AJ=EC.AEC=AEFCEF=JAEB,AEF=B=90,CEF=JAE.又AE=EF,EAJ FEC(SAS),AJE=ECF.BEJ是等腰直角三角形,BJE=45,ECF=AJE=18045=135,GCF=ECFECD=45.解图解解图解解图解
