1、2025年湖南中考数学二轮复习专题突破年湖南中考数学二轮复习专题突破专题四圆的综合专题四圆的综合类型类型1 1圆的证明与计算圆的证明与计算证明(1)证明：如解图,连接OD.OB=OD,B=ODB.AB=AC,B=C,ODB=C,ODAC.DHAC,DHOD.又OD是O的半径,DH是O的切线.解图解解图解解决圆的证明与计算问题的一般思路：类别思路证明问题证明切线(1)有公共点,连半径,证垂直；(2)无公共点,作垂直(或已知垂直),证半径证明两个角相等(1)在两个三角形中通过同角或等角的余角相等进行证明；(2)利用半径相等,将两个角转化到等腰三角形中,利用等边对等角进行证明类别思路证明问题证明两条
2、线段相等(1)若所证两条线段相连共线,则可以考虑利用等腰三角形的“三线合一”或直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行证明；(2)若所证两条线段相连不共线,则可以考虑将两条线段放到一个三角形中,利用等角对等边进行证明；(3)若所证两条线段相连不共线,但在有公共边的两个三角形中,则可以考虑利用全等三角形的性质进行证明；(4)若所证两条线段平行,则可以考虑利用平行四边形的对边相等进行证明类别思路证明问题证明垂直(1)根据两锐角互余转化得到直角；(2)根据等腰三角形的“三线合一”得到直角；(3)根据矩形的性质得到直角；(4)根据平行线的性质得到直角；(5)根据全等三角形的性质得到直角；(6)根据角平
3、分线上的点到角两边的距离相等得到直角类别思路计算问题求线段的长(1)确定所求线段所在的三角形；(2)利用圆的相关定理和性质作辅助线；(3)分析题目条件,借助垂径定理、勾股定理、锐角三角函数、特殊三角形、相似三角形等知识求解求角的度数先借助特殊三角形、锐角三角函数等求出与所求角相等的角的度数,再根据“证明两个角相等”的思路得到所求角的度数类别思路计算问题求三角函数值借助勾股定理、锐角三角函数、相似三角形、线段的和差等知识求解求比值(相似问题)(1)确定圆中的已知条件,如圆的半径、直径、弦等；(2)识别图形,观察哪些图形可能相似,哪些条件能够得到相似；(3)用比例证相似或用相似得比例1.(2024
4、湖南模拟)已知AD是O的切线,A为切点,B,C是O上与点A不重合的两点.(1)如图,若AB是O的直径,AO=AC=5,求DAC的度数.(2)如图,当点B在O上运动时(不与点A,C重合),DAC与B有怎样的数量关系?请说明理由.解解图(1)证明：如解图,过点O作OHCE于点H.BCBE,EFCG,B=CFE=90,BCGCOB=FEBEOF=90.COB=EOF,BCG=FEB.FEB=ECG,BCG=ECG,CG平分ECB.又OHCE,OBCB,OH=OB,点H在O上,即OH是O的半径.又CEOH,CE是O的切线.解图证明解类型类型2 2圆的综合探究圆的综合探究例(2024湖南)【问题背景】已
5、知点A是半径为r的O上的定点,连接OA,将线段OA绕点O按逆时针方向旋转(090)得到OE,连接AE,过点A作O的切线l,在直线l上取点C,使得CAE为锐角.答案30证明解解图解解解决圆的综合探究问题的关键是“分析已知条件和题图”,通过深入挖掘已知条件,灵活运用圆的性质、相似三角形的性质等,逐步推导出题目的结论.解证明(2)证明：如解图,连接BQ.AB为O的直径,AQB=90,QABB=90.PEAB,QABP=90,P=B.B=ACQ,ACQ=P.解图解答案1203解解图解解图解解图解类型类型3 3辅助圆辅助圆答案【思路分析】先根据折叠的性质得出点B在以点A为圆心,2为半径的弧上运动,再分点
6、P在BC上、点P在DC上和点P在AD上三种情况进行讨论,最后比较得出线段CB的最小值.辅助圆中的常见模型：模型已知条件辅助线作法相关结论定点定长模型已知平面内,线段AB的长度为定值,点A为定点,点B为动点如图,以点A为圆心,AB的长为半径作圆.点B的运动轨迹是以点A为圆心,AB长为半径的圆模型 已知条件辅助线作法相关结论定弦定角模型已 知 线 段AB的长度为定值(定弦),点C为同 一 平 面内一动点,且ACB的度 数 为 定值(定角)如图,作ACB的外接圆O.图图图如图,当C=90时,点C的运动轨迹为O(不与点A,B重合),弦AB为O的直径模型已知条件辅助线作法相关结论定高定角模型已知直线l外
7、一点A,点A到直线l的距离A D 为 定 值 h(定高),BAC的度数为定值(定角)如图,作ABC的外接圆O,连接OA,OB,OC,过点O作OHl于点H.模型已知条件辅助线作法相关结论四点共圆模型已知RtABC和RtABD共斜边如图,作ABC的外接圆O.A,B,C,D四点共圆,圆心O为AB的中点模型已知条件辅助线作法相关结论四点共圆模型已知AB为ABC和ABD的公共边,点C,D在AB的同侧,且C=D如图,作ABC的外接圆O.A,B,C,D四点共圆,圆心O为任意一组邻边的垂直平分线的交点在 四 边 形 A B C D中,BD=180如图,作四边形ABCD的外接圆O.模型已知条件辅助线作法相关结论
8、点圆最值模型已知平面内一定点D及O,点E为O上一点,O的半径为r,OD=d点 D 在O外如图,延长DO交O于点E.DE的最大值为dr,最小值为dr如图,设DO与O交于点E.模型已知条件辅助线作法相关结论点圆最值模型已知平面内一定点D及O,点E为O上一点,O的半径为r,OD=d点 D 在O上如图,延长DO交O于点E.DE的最大值为2r,最小值为0如图,设DO与O交于点E.模型已知条件辅助线作法相关结论点圆最值模型已知平面内一定点D及O,点E为O上一点,O的半径为r,OD=d点 D 在O内如图,延长DO交O于点E.DE的最大值为dr,最小值为rd如图,延长OD交O于点E.模型已知条件辅助线作法相关
9、结论线圆最值模型已知平面内一定直线l及O,P为O上一点,O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d直线l与O相离如图,过点O作直线l的垂线,其反向延长线与O交于点P.点P到直线l的距离的最大值为dr,最小值为dr如图,过点O作直线l的垂线,与O交于点P.模型已知条件辅助线作法相关结论线圆最值模型已知平面内一定直线l及O,P为O上一点,O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d直线l与O相切如图,过点O作直线l的垂线,其反向延长线与O交于点P.点P到直线l的距离的最大值为2r,最小值为0如图,直线l与O相切于点P.模型已知条件辅助线作法相关结论线圆最值模型已 知 平 面 内一定直线l及O,P为O上一点,
10、O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d直线l与O相交如图,过点O作直线l的垂线,其反向延长线与O交于点P.点P到直线l的距离的最大值为dr,最小值为0如图,直线l与O相交于点P1和点P2.1.(2024烟台)如图,在 ABCD中,C=120,AB=8,BC=10,E为边CD的中点,F为边AD上的一动点,将DEF沿EF翻折得DEF,连接AD,BD,则ABD面积的最小值为_.答案2.(2024河南)如图,在RtABC中,ACB=90,CA=CB=3,将线段CD绕点C在平面内旋转,过点B作AD的垂线,交射线AD于点E.若CD=1,则AE的最大值为_,最小值为_.答案3.(2024衡阳模拟)如图,已知正方形ABCD的边长为4,E是正方形内部一点,连接BE,CE,且ABE=BCE,P是AB边上一动点,连接PD,PE,则PDPE的最小值为_.答案4.如图,在RtAOB中,M,N分别是直角边BO,AO上的动点,连接MN,且MN=2,P是MN的中点,连接AP,BP.若AO=3,BO=4,求APB面积的最小值.解解图
