1、 1 平面向量数量积的物理背景及其含义平面向量数量积的物理背景及其含义教学设计教学设计 一、内容和内容分析一、内容和内容分析 1内容内容 平面向量数量积的物理背景及其含义 2内容分析内容分析 本节内容教材共安排两课时，其中第一课时主要研究数量积的概念、几何意义、性 质和运算律；第二课时主要研究数量积的坐标运算，本节课是第一课时。 本节课首先通过一段“大力士”拉汽车的精彩视频抽象出物理中“功”的事例，之 后抛开物理背景，将F,S这两个物理中的矢量，推广到数学中一般的非零向量a，b， 从而得到数学中平面向量数量积的概念，体现了有特殊到一般的数学思想，同时培养学 生的抽象概括能力；然后从“形”的角度
2、引入“投影”探究数量积的几何意义，使学生 加深对数量积概念的理解，同时体现了数形结合的数学思想； “数量积”和“投影”均 为数量，对其正、负、零的讨论过程，体现了分类讨论的数学思想；然后又通过类比实 数乘法的运算律研究了数量积的运算律，体现“类比”的数学思想。 本节课是在学生系统的学习了向量的概念和向量的加法、减法、数乘等线性运算的 基础上，探索向量的又一种新的运算，它既是前面所学知识和方法的延续，又是后继学 习解三角形、解析几何以及空间向量等内容的基础，因此本节内容起到了承上启下的作 用。平面向量数量积是一个很重要的数学概念，它是从物理中功的概念抽象而来的，是 沟通代数、几何、三角的桥梁，是
3、数形结合方法的典范。这些都使得数量积的概念成为 本节课的核心概念，自然也是本节课教学的重点。 二、目标与目标解析二、目标与目标解析 1目标目标 （1）了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义； （2）体会平面向量的数量积与向量投影的关系，掌握数量积的性质和运算律，并 能运用性质和运算律进行相关的运算和判断； （3）体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。 2目标分析目标分析 普通高中数学课程标准 对本节课的要求有以下三条： （1）通过物理中“功”等事例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义。 （2）体会平面向量的数量积与向量投影的关系。 2 （3）能
4、用运数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关 系。 从以上的背景分析可以看出，数量积的概念既是本节课的重点，也是难点。为了突 破这一难点，首先无论是在概念的引入还是应用过程中，物理中“功”的实例都发挥了 重要作用。其次，作为数量积概念延伸的性质和运算律，不仅能够使学生更加全面深刻 地理解概念，同时也是进行相关计算和判断的理论依据。最后，无论是数量积的性质还 是运算律，都希望学生在类比的基础上，通过主动探究来发现，因而对培养学生的抽象 概括能力、推理论证能力和类比思想都无疑是很好的载体。 三、教学问题诊断分析三、教学问题诊断分析 学生在这之前的物理课已经认识了矢量和功，数学课
5、系统地学习了向量定义、向量 的线性运算，具备了一定能力去进行深入的研究。功的计算为平面向量数量积引入提供 很好的背景，但对两个有形有数的向量经过数量积运算后，形却消失了成为一个数，学 生对这一点是较难接受的。由于受实数乘法运算的影响，也会造成学生对数量积、性质 和运算律的理解上的偏差。从学生认知水平来看，学生的探究能力和用数学语言交流的 能力还有待提高，本节课还要初步体会研究向量运算的一般方法；即先由特殊模型（主 要是物理模型）抽象出概念，然后再从概念出发，在与实数运算类比的基础上研究性质 和运算律及运用，这种知识的整合提升对学生来说恰又是比较困难的。因而本节课教学 的难点是：平面向量的数量积
6、的定义及运算律的理解，平面向量数量积的应用。 四、教学支持条件分析四、教学支持条件分析 根据本节课教材内容的要求，为了直观、形象地突出重点，突破难点，利用视频、 动态演示，展示平面向量数量积的物理背景，探究性质、几何意义以及运算律。 五、教学过程分析五、教学过程分析 （一）知识链接（一）知识链接 1已经学习了哪几种向量运算？ 向量运算 数学符号 运算结果 2两个非零向量a与b的夹角如何定义？其取值范围是多少？ 【设计意图】【设计意图】 通过知识链接的问题让学生复习回顾向量运算， 两个非零向量a与b的 3 夹角，为平面向量数量积的学习奠定基础。 （二）创设情境（二）创设情境 多媒体播放中国大力士
7、公开赛， 中国选手的参赛视频， 之后动态演示他的比赛过程， 从中抽象出数量积的物理背景。 问题 1、大力士拉车，沿着绳子方向上的力为 ，车移动的位移是 ，力和位移的夹 角为 ，大力士所做的功为多少？ 学生根据所学物理知识容易得到：cos| SFW 问题 2、决定功大小的量有哪几个？ 问题 3、力、位移及其夹角分别是矢量还是标量？功是向量还是数量？ 教师：明确物理中的矢量就是数学中的向量，物理中的标量就是数学中的数量。 【设计意图】【设计意图】从学生已有的认知水平出发，通过熟悉的生活实例，创设数量积的物 理背景，激发学生的学习热情，同时，也为抽象数量积的概念做好铺垫。 （三）探究定义（三）探究定
8、义 师：物理中的F和S是两个向量，用两个一般的非零向量a和b来替换F和S，其 夹角不变， 则cos|cos| baSFW。在数学中称cos|ba为非零向量a和 b的数量积，记作：cos| baba ，从而得到平面向量数量积的定义： 已知两个非零向量a和b，我们把cos|ba叫做a和b的数量积（或内积） ，记作 ba ，即cos| baba，其中夹角是a与b的夹角。 规定：零向量与任一向量的数量积为 0. 学生活动：齐声读定义，并体会定义的要点。 定义要点： （1）a与b是非零向量； （2） “”是数量积的运算符号，不能省略也不能用“”代替； （3）数量积的结果为数量。 问题 4：由数量积的定义
9、cos| baba可知，决定数量积大小的量有哪些？ 问题 5：数量积的结果为数量，数量积的正、负、零有谁决定？ 0 2 0 2 2 ba 0 【设计意图设计意图】在与功类比的基础上从特殊到一般引入平面向量数量积，有利于学生 4 的知识迁移和概念准确理解，认识到向量夹角是决定数量积结果的重要因素，体验对向 量夹角的分类讨论。 （四）巩固定义（四）巩固定义 师：同学们对平面向量数量积的定义已经有了初步的了解，通过以下题目检测大家 的理解情况。 口答：口答： 1、已知5|a，4|b，a与b的夹角 120， ba 。 2、已知正三角形ABC的边长为1，求： （1） ACAB ； （2） BCAB ；
10、（3） BCAC ； 3、依据数量积的定义完成以下问题（a与b是非零向量） 。 （1） ba ； （2） 若a与b同向， 则 ba ； 若a与b反向， 则 ba ； 特别地， aa ； （3）cos ； （4）|ba |ba。 学生活动：第 1、2 题学生独立完成，第 3 题小组内部讨论完成，过程中教师指导、 点拨。 由第 3 题得到平面向量数量积的性质： （1） ba0ba ，用于判定两向量垂直； （2） 2 |aaaa ，用于计算向量的模； （3） | cos ba ba ，用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状。 【设计意图】【设计意图】及时巩固所学概念，熟练数量积的求解要点，特别是两
11、向量的夹角是 多少？加深对定义的理解。 师：数量积的学习完整了，高中阶段的向量运算，请同学们将下表补充完整。 向量运算 数学符号 运算结果 加法 ba 向量 减法 ba 向量 5 数乘 b 向量 【设计意图】【设计意图】使学生对高中阶段所学向量运算，有一个完整的认识，同时，体现出 数量积运算的独特性。 （五）探究意义（五）探究意义 问题 6：向量运算中的加法、减法、数乘都有几何意义，数量积运算有没有几何意 义？ 师生共同探究：教师动画展示投影的形成过程，形成概念。 cos|b叫做b在a方向上的投影。同理：cos| a叫做a在 b方向上的投影。 问题 7：投影是向量还是数量？其正、负、零由谁决定
12、？ 问题 8、你能从投影的角度解释平面向量数量积的定义cos| baba吗？ 学生尝试解释，得到： 平面向量数量积的几何意义：数量积 ba 等于a的长度| a与b在a方向上的投影 cos|b的乘积。 【设计意图】【设计意图】教师展示向量投影的形成过程，让学生形象、直观的感受向量投影及 其含义，让学生从“形”的角度重新认识平面向量数量积，从中体会数量积与向量投影 的关系。使学生对平面向量数量积这一全新概念的理解更加深刻。 （六）运算律（六）运算律 问题 9、数量积作为一种运算，有怎样的运算律呢？类比实数乘法运算律，写出数 量积的运算律，并判断对错？ 学生活动：根据实数乘法运算律，以小组为单位，共
13、同探究类比出向量数量积的运 算律，并尝试利用定义判断结果的正确性。 教师参与小组讨论并及时点拨、指导、纠 6 错。 运算律 实数乘法 平面向量数量积 交换律 baab abba 结合律 )()(bcacab )()(cbacba )()()(bababa 分配律 bcaccba )( cbcacba )( 最终，小组展示探究结果，得到平面向量数量积的运算律为： 运算律 平面向量数量积 交换律 abba 结合律 )()()(bababa 分配律 cbcacba )( 之后，教师演示从平面向量数量积的几何意义角度，证明分配律的正确性。 【设计意图】【设计意图】在这个环节中，仍然是为学生创设情景，让
14、学生在类比的基础上进行 猜想归纳， 然后教师明晰结论， 最后再完成证明， 这样做不仅培养学生的推理论证能力， 同时也增强了学生类比创新意识，将知识的获得和能力的培养有机的结合在一起。 （七）典例分析（七）典例分析 例 1、证明： （1） 22 2 2)(bbaaba ； （2） 22 )()(bababa 。 证明： （1） 2 )(ba)()(bababbabbaaa 22 2bbaa （2）)()(baba bbabbaaa- 22 ba 例 2、已知6|a，4|b，a与b的夹角 60，求)3()2(baba。 7 解：)3()2(baba bbbaaa6 22 |6| bbaa 22 |
15、660cos| bbaa 22 4660cos466 o 72 例 3、已知3|a，4|b，且a与b不共线。k为何值时，向量 bka 与 bka 互 相垂直？ 解： bka 与 bka 互相垂直的条件是0)()(bkabka，即 0 2 2 2 bka 。 因为 932 2 a ， 164 2 2 b ， 所以 01 69 2 k。解之得： 4 3 k。 也就是说，当 4 3 k时， bka 与 bka 互相垂直。 【设计意图】【设计意图】例 1、例 2 是数量积的性质和运算律的综合应用，教学时，重点从对 运算原理的分析和运算过程的规范书写两个方面加强示范。 （八）巩固练习（八）巩固练习 1、
16、判断下列说法是否正确。 （1） aa00 ； （ ） （2）若 0ba ，则a，b至少有一个为零向量； （ ） （3）若 0ba ，则a与b的夹角为锐角； （ ） （4）若0ccbca，则 ba 。 （ ） 2、在等腰ABC中，ACAB，4BC，则BCBA 。 3、已知6|a，4|b，a与b的夹角 60，求|ba。 【设计意图】【设计意图】通过巩固练习，使学生对数量积的定义、性质、几何意义以及运算律 的理解更加深刻，形成系统的知识体系；同时培养了运用知识解决问题的能力。 （九）课堂小结（九）课堂小结 今天你学到了什么？ 学生自主完成归纳小结，教师加以补充完善，同时形成本节课的知识结构图，并完
17、成思想方法的小结归纳。 8 1平面向量数量积的定义：cos| baba)0, 0(ba 2平面向量数量积的性质： （1）垂直 0baba ； （2）长度 2 |aaaa ； （3）夹角 | cos ba ba 。 3平面向量数量积的几何意义：数量积 ba 等于a的长度| a与b在a方向上的投 影cos|b的乘积。 4平面向量数量积的运算律（类比） ： （1）交换律： abba ； （2）结合律： bababa)()(； （3）分配律：cbcacba )(。 【设计意图】【设计意图】通过学生对本节所学知识、思想方法进行提炼、反思，加深对知识、 方法的理解，形成系统的知识网络，并培养学生良好的学习习惯。 （十）作业布置（十）作业布置 1、必做题：习题 2.4 A 组 第 1,3,7 题 2、课外探究： 通过查阅图书资料或利用网络资源，完成向量的另一种乘法矢量积（ “”积） 的概念的学习和性质的探究，并探索出自己的成果形成小论文. 【设计意图】【设计意图】 （1）巩固本节课所学内容； （2）分层布置作业，尊重学生的个体差异， 让不同的学生有不同的发展。
