1、2020-2021 学年高二数学上学期期中测试卷 01（人教 A 版 2019） （本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟） 测试范围：选择性必修第一册 RJ-A（2019）第一章、第二章 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符 合题目要求的. 1对于空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，有如下关系：OCOBOAOP 2 1 3 1 6 1 ，则( )。 A、四点O、A、B、C必共面 B、四点P、A、B、C必共面 C、四点O、P、B、C必共面 D、五点O、P、A、B、C必共面 【答案】B 【解析】由OCOBOAOP 2
2、1 3 1 6 1 得：1 2 1 3 1 6 1 ，可得四点P、A、B、C必共面，故选 B。 2已知平面、的法向量分别为)41(，ya、)21(，xb且，则yx 的值为( )。 A、8 B、4 C、4 D、8 【答案】A 【解析】由已知得0ba，即08yx，则8 yx，故选 A。 3若 222 2cba(0c)，则直线0cbyax被圆1 22 yx所截得的弦长为( )。 A、 2 1 B、 2 2 C、1 D、2 【答案】D 【解析】圆心)00( ，到直线0cbyax的距离 2 2 22 ba C d， 因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于 2 2 ) 2 2 (1 2 ，弦长为2，故
3、选 D。 4已知三条直线082 yax、1034 yx和102 yx中没有任何两条平行，但它们不能构成三角形 的三边，则实数a的值为( )。 A、1 B、0 C、1 D、2 【答案】A 【解析】由已知得三条直线必过同一个点，则联立 102 1034 yx yx 解得这两条直线的交点为)24(， 代入082 yax可得1a，故选 A。 5直线l：pxy (p是不等于0的整数)与直线10 xy的交点恰好是整点(横坐标和纵坐标都是整数)， 那么满足条件的直线l有( )。 A、6条 B、7条 C、8条 D、无数条 【答案】B 【解析】联立 10 xy pxy ，10 xpx，即 1 10 p x， 1
4、 10 10 p y， 11p或2或5或10，0p，p值有7个，直线有七条，故选 B。 6过点)30( ，P的直线l与圆C：4) 3()2( 22 yx交于A、B两点，当 30CAB时，直线l的斜率为 ( )。 A、 3 3 B、 3 3 C、3 D、3 【答案】A 【解析】由题意得 120ACB，则圆心)3 , 2(C到直线l的距离为1， 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为0 x，此时直线l与圆相切，不合题意，舍去， 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为3kxy，则1 1 |2| 1 |332| 22 k k k k ， 解得 3 3 k，故选 A。 7已知) 321 (， A、) 1
5、12(，B两点，则直线AB与空间直角坐标系中的yOz平面的交点坐标为( )。 A、)000(， B、)750(， C、) 3 1 0 3 5 (， D、)0 4 1 4 7 (， 【答案】B 【解析】设AB连线与平面yOz的交点为)0( 11 zyP， A、B、 1 P三点共线，则OBOAOP)1 ( 1 ， 则) 112()1 ()321 ()0( 11 ，zy， 则 1413 3112 2220 1 1 z y，解得 7 5 2 1 1 z y，则)750(， P，故选 B。 8 阿波罗尼斯(约公元前 262-190 年)证明过这样一个命题： 平面内到两定点距离之比为常数k(0k且1k)
6、的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆。若平面内两定点A、B间的距离为2，动点P与A、B距离 之比为2，当P、A、B不共线时，PAB面积的最大值是( )。 A、 3 2 B、 3 22 C、2 D、22 【答案】D 【解析】如图，以经过A、B的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建系，)0 , 1(A、)0 , 1 (B， 设),(yxP，2 | | PB PA ，2 ) 1( ) 1( 22 22 yx yx ， 两边平方并整理得：016 22 xyx8)3( 22 yx， PAB面积的最大值是22222 2 1 ，故选 D。 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20
7、分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全 部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分. 9若平面内两条平行线 1 l：02) 1(yax与 2 l：012 yax间的距离为 5 53 ，则实数a( )。 A、2 B、1 C、1 D、2 【答案】BD 【解析】 21/l l，2) 1( aa，解得1a或2a， 1a时 5 53 d，符合，当2a时 4 23 d，符合，故选 BD。 10已知a、b、c和d为空间中的4个单位向量，且0cba，|dcdbda可能等于( )。 A、2 B、3 C、4 D、5 【答案】CD 【解析】|3|dcbadcdbdadcdbda，而0cb
8、a， 3|3|ddcdbda， 又a、b、c、d是单位向量，且0cba，da、db、dc一定不共线， 3|dcdbda，故选 CD。 11给出下列命题，其中不正确的为( )。 A、若CDAB ，则必有A与C重合，B与D重合，AB与CD为同一线段 B、若0ba，则ba，是钝角 C、若0CDAB，则AB与CD一定共线 D、非零向量a、b、c满足a与b，b与c，c与a都是共面向量，则a、b、c必共面 【答案】ABD 【解析】对于 A，考虑平行四边形ABDC中，满足CDAB ， 不满足A与C重合，B与D重合，AB与CD为同一线段，故 A 错， 对于 B，当两个非零向量a、b的夹角为时，满足0ba， 但
9、它们的夹角不是钝角，故 B 错， 对于 C，当0CDAB时，CDAB，则AB与CD一定共线，故 C 对， 对于 D，考虑三棱柱 111 CBAABC ，aAB 、bAC 、cAA 1 ， 满足a与b，b与c，c与a都是共面向量，但a、b、c不共面，故 D 错， 故选 ABD。 12已知圆M：1) 1( 22 yx，过点)20( ，A向圆M作切线，切点为P，再作斜率为 4 7 的割线交圆M于 B、C两点，则PBC的面积为( )。 A、 65 56 B、 65 64 C、 325 211 D、 325 256 【答案】BD 【解析】由题意知)01 ( ，M，过点)20( ，A作斜率为 4 7 的割
10、线BC， 则直线BC的方程为0847 yx， 点M到直线BC的距离为 65 1 47 |87| 22 1 d， 则弦 65 16 65 1 122| 2 1 2 drBC， 过点A作圆M的切线，其中一条为y轴，切点为O轴， 则点O到直线BC的距离 65 8 47 |80| 22 2 d， PBC的面积即为OBC的面积，故 65 64 65 8 65 16 2 1 | 2 1 2 dBCS PBC ， 又另一条切线为AP，设直线AP的方程为02 ykx，由题意得APMP， 且点M到直线AP的距离1 1 |2| | 2 k k MP，解得 4 3 k， 则直线AP的方程为0843 yx， 与圆M的
11、方程联立易得) 5 4 5 8 ( ，P， 点P到直线BC的距离 655 32 47 |84 5 4 7 5 8 | 22 3 d， 故 325 256 655 32 65 16 2 1 | 2 1 3 dBCS PBC ， 综上所述PBC的面积为 65 64 或 325 256 ，故选 BD。 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13已知正方体 1111 DCBAABCD 中， 111 4 1 CAEA，若)( 1 ADAByAAxAE，则x ， y 。 （本小题每空 2.5 分） 【答案】1 4 1 【解析】 111 4 1 CAEA，)( 4 1 )( 4 1
12、111111 ADABAADABAAAAE，1x， 4 1 y。 14已知直线023 yx及直线0103 yx截圆C所得的弦长均为8，则圆C的面积是 。 【答案】25 【解析】已知的两条直线平行且截圆C所得的弦长均为8， 圆心到直线的距离d为两平行直线距离的一半，即3 13 102 2 1 d， 又直线截圆C所得的弦长为8，圆的半径543 22 r，圆C的面积是25。 15 如图所示， 平行六面体 1111 DCBAABCD 中，1 1 AAADAB， 120 1 BAABAD， 60 1 DAA， 则线段 1 AC的长度是 。 【答案】2 【解析】 11 AAADABAC， 11 2 1 2
13、22 1 222AAADAAABADABAAADABAC 2 2 1 112) 2 1 (112) 2 1 (112111， 2| 1 AC。 16已知点),(yxP是直线l：04 ykx(0k)上的动点，过点P作圆C：02 22 yyx的切线PA， A为切点。若| PA最小为2时，圆M：0 22 myyx与圆C外切， 且与直线l相切， 则m的值为 。 【答案】252 【解析】圆C的圆心为) 1, 0( C，半径为1， 当CP与l垂直时，| PA的值最小，此时点C到直线l的距离为 2 1 |41 | k d ， 由勾股定理得 2 2 22 ) 1 |41 | (21 k ，又0k，解得2k，
14、圆M的圆心为) 2 , 0( m M，半径为| 2 | m ， 圆M与圆C外切，| ) 1( 2 |1| 2 | mm ，0m， 圆M与直线l相切， 5 |4 2 | 2 m m ，解得252m。 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （本小题满分 10 分） 如图所示，三棱柱 111 CBAABC 中，M、N分别是BA1、 11C B上的点，且MABM 1 2，NBNC 11 2。 设aAB ，bAC ，cAA 1 。 (1)试用a、b、c表示向量MN； (2)若 90BAC， 60 11 CAABAA，1 1 AAACAB，求MN的长。
15、 【解析】(1) 1111111 3 1 3 1 CBABBANBBAMAMN 2 分 cbaabaac 3 1 3 1 3 1 )( 3 1 )( 3 1 ； 4 分 (2)cbcabacbacba222)( 222 2 6分 5 2 1 112 2 1 1120111， 8 分 即5|cba， 3 5 | 3 1 |cbaMN。 10 分 18 （本小题满分 12 分） 过点) 14( ，P作直线l分别交x、y轴正半轴于A、B两点。 (1)当AOB面积最小时，求直线l的方程。 (2)当|OBOA 取最小值时，求直线l的方程。 【解析】设直线l：1 b y a x (0a，0b)，直线l经过
16、点) 14( ，P，1 14 ba ， 2 分 (1) abbaba 414 21 14 ，16ab，当且仅当8a，2b时等号成立， 4 分 当8a，2b时，abS AOB 2 1 最小， 此时直线l的方程为1 28 yx ，即084 yx； 6 分 (2)1 14 ba ，0a，0b， 9 4 25 4 5) 14 )(| a b b a a b b a ba babaOBOA， 9 分 当且仅当6a，3b时等号成立， 10 分 当|OBOA 取最小值时，直线l的方程为062 yx。 12 分 19 （本小题满分 12 分） 如图所示， 在ABC中， 4 ABC，O为AB边上一点， 且ABO
17、COB233，POAODA 22，PO 平面ABC，且PODA/。 (1)求证：平面PBD平面COD； (2)求直线PD与平面BDC所成角的正弦值。 【解析】(1)证明：OCOB ， 4 ABC， 4 OCB， 2 BOC，ABCO ， 1 分 又PO平面ABC，OC平面ABC，OCPO ， 2 分 又ABPO、平面PAB，OABPO， CO平面PAB，即CO平面PBD， 3 分 又CO平面COD，平面PBD平面COD； 4 分 (2)解：以OC、OB、OP所在射线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 设1OA， 则2OCOBPO，1DA， 则)002(，C，)020(，B，)2
18、00(，P，) 110(， D， ) 110(，PD，)022(， BC，) 130(， BD， 6 分 设平面BDC的一个法向量为)(zyxn， 0 0 BDn BCn ， 03 022 zy yx ， 令1y，则1x，3z，)311 ( ，n， 9 分 设PD与平面BDC所成的角为， 则 11 222 | 311) 1() 1(0 ) 1(3) 1(101 | | |sin 222222 nPD nPD ， 即直线PD与平面BDC所成角的正弦值为 11 222 。 12 分 20 （本小题满分 12 分） 已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为)41(，A、) 12( ，B、)32( ，
19、C。 (1)在ABC中，求边AC中线所在直线方程； (2)求平行四边形ABCD的顶点D的坐标及边BC的长度； (3)求ABC的面积。 【解析】如图建系， (1)设AC边中点为M，则M点坐标为) 2 7 2 1 ( ， 1 分 直线 5 9 2 2 1 1 2 7 BM k，直线BM的方程为：)2( 5 9 ) 1(xy， 3 分 即：01359 yx，AC边中线所在直线的方程为：01359 yx； 4 分 (2)设点D的坐标为)(yx，由已知得M为线段BD的中点， 有 2 7 2 1 2 1 2 2 y x ，解得 8 3 y x ，)83( ，D， 6 分 又) 12( ，B、)32( ，C
20、，则24) 31()22(| 22 BC； 8 分 (3)由) 12( ，B、)32( ，C得直线BC的方程为：01 yx， 9 分 A到直线BC的距离22 2 | 141| )( BCA d，82224 2 1 ABC S。 12 分 21 （本小题满分 12 分） 如图 1， 在直角梯形ABCD中，BCAD/， 2 BAD，1 BCAB，2AD，E是AD的中点，O是AC 与BE的交点。将ABE沿BE折起到BEA1的位置，如图 2。 B A C x y O (1)证明：CD平面OCA1； (2)若平面BEA1平面BCDE，求平面BCA1与平面CDA1夹角的余弦值。 【解析】(1)证明：在图
21、1 中，1 BCAB，2AD，E是AD的中点， 2 BAD，ACBE ， 即在图 2 中， 1 OABE 、OCBE ， 1 分 又OOCOA 1 ， 1 OA、OC平面OCA1，BE平面OCA1， 3 分 又BECD /，CD平面OCA1； 4 分 (2)解：由已知，平面BEA1平面BCDE，又由(1)知， 1 OABE 、OCBE ， OCA1为二面角CBEA 1 的平面角， 2 1 OCA， 5 分 如图，以O为原点，OB、OC、 1 OA为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系， 1 11 EDBCEABA，EDBC /， )00 2 2 (，B、)00 2 2 (，E、) 2 2
22、00(，A、)0 2 2 0(，C， )0 2 2 2 2 (，BC，) 2 2 2 2 0( 1 ，CA，)002(， BECD， 7 分 设平面BCA1的法向量)( 1111 zyxn，则 0 0 11 1 CAn BCn ，即 0 0 11 11 zy yx ， 令1 1 x，则1 1 y、1 1 z，则) 111 ( 1 ，n， 9 分 设平面CDA1的法向量)( 2222 zyxn，则 0 0 12 2 CAn CDn ，即 0 0 22 2 zy x ， 令1 2 y，则0 2 x、1 2 z，则) 110( 2 ，n， 11 分 设平面BCA1与平面CDA1的夹角的平面角为， 3
23、 6 23 2 | | |cos|cos 21 21 21 nn nn nn，。 12 分 22 （本小题满分 12 分） 如图所示，直四棱柱 1111 DCBAABCD 的底面是菱形，4 1 AA，2AB， 60BAD，E、M、N分 别是BC、 1 BB、DA1的中点。 (1)证明：/MN平面DEC1； (2)求二面角NMAA 1 的正弦值。 【解析】(1)由题可得，四边形ABCD为菱形，且 60BAD，连接BD，则 60ADB， 又E为BC的中点，则 30BDE， 90ADE，即DEAD ， 2 分 又DD1平面ABCD，DA平面ABCD，DE平面ABCD， 则DADD 1 ，DEDD 1
24、 ， 以D为原点，DA、DE、 1 DD为x、y、z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 4 分 由E为BC中点，N为DA1中点，M为 1 BB中点，4 1 AA，2AB， 可得，1 2 1 2 1 ABBCBE，3 tan BDE BE DE， 5 分 则)030(，E，)201 (，N，)231 (，M，则)030(，DE，)030(，NM， 则NMDE ，NMDE/，NMDE /， 又DE平面DEC1，MN平面DEC1，/MN平面DEC1； 7 分 (2)由题可得，)002(，A，)231 (，M，)402( 1 ，A， 设平面MAA1的法向量为)( 1111 zyxn，平面NMA1的法向量
25、为)( 2222 zyxn， )400( 1 ，AA，)231(，AM，)201 ( 1 ，NA，)030(，NM， 由 0 0 1 11 AMn AAn 可得： 023 04 111 1 zyx z ， 令3 1 x，则1 1 y，0 1 z，则)013( 1 ，n， 9 分 由 0 0 2 12 MNn NAn 可得： 03 02 2 22 y zx ， 令2 2 x，则0 2 y，1 2 z，则) 102( 2 ，n， 11 分 设二面角NMAA 1 为，则 5 15 | cos 21 21 21 nn nn nn， 则 5 10 cos1sin 21 2 nn，二面角NMAA 1 的正弦值为 5 10 。 12 分
