1、4.5.1 函数的零点与方程的解函数的零点与方程的解教学目标了解函数的零点、方程的根与图象交点三者之间的联系（重点）01 会借助零点存在性定理判断函数的零点所在的大致区间（重点、难点）02 能借助函数单调性及图象判断零点个数（重点）0304函数的零点与方程的解函数的零点与方程的解学科素养 函数零点的概念数学抽象 借助图像判断零点个数直观想象借助图像判断零点个数逻辑推理 求函数零点或零点所在区间数学运算 数据分析 数学建模函数的零点与方程的解函数的零点与方程的解01Retrospective Knowledge二 次 函 数 的 零 点二 次 函 数 的 零 点 我们已经学习了用二次函数的观点认
2、识一元二次方程，知道一元二次方程的实数根实数根就是相应二次函数的零点零点 例如，方程x2-5x+6=0的根根为x1=2，x2=3，则二次函数f(x)=x2-5x+6的零点零点就是2和3其图像与x轴的公共点坐标为（2,0），（3,0）y63xO2即二次函数f(x)=x2-5x+6的零点为其图像与x轴公共点的横坐标横坐标02New Knowledge explore函数的零点与方程的解函数的零点与方程的解 我们已经学习了用二次函数的观点认识一元二次方程，知道一元二次方程的实数根就是相应二次函数的零点，像ln x十2x6=0这样不能用公式求解的方程，是否也能采用类似的方法，用相应的函数研究它的解的情
3、况呢？与二次函数的零点一样，对于一般函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的 这样函数y=f(x)的就是方程f(x)=0的，也就是函数y=f(x)的图像与x轴的公共点的函数的零点与方程的解函数的零点与方程的解函数函数y=f(x)的的 方程方程f(x)=0的的 函数函数y=f(x)的图象与的图象与x轴公共点的轴公共点的 由上述的等价关系我们知道，求方程f(x)=0的实数解，就是确定函数y=f(x)的零点，一般地，对于不能用公式求解的方程f(x)=0，我们可以把它与相应的函数y=f(x)联系起来，利用函数的图象和性质找出零点，从而得到方程的解 下面从考察二次函数存在零点
4、时函数图像的特征，以及零点附近函数值的变化规律入手分析函数的零点与方程的解函数的零点与方程的解 对于二次函数 f(x)=x22x3，观察它的图象，发现它在区间2，4上有零点 这时，函数图象与x轴有什么关系？在区间2，0上是否也有这种关系？你认为应如何利用函数f(x)的取值规律来刻画这种关系？再任意画几个函数的图象，观察函数零点所在区间，以及这一区间内函数图象与x轴的关系，并探究用 f(x)的取值刻画这种关系的方法探究探究211-22-134-1-2-3-40yx函数的零点与方程的解函数的零点与方程的解 可以发现，在零点附近，函数图象是连续不断的，并且“穿过”x轴函数在端点x=2和x=4的取值异
5、号，即 f(2)f(4)0，函数f(x)=x22x3在区间(2,4)内有零点x=3，它 是 方 程 x2 2 x 3=0 的 一 个 根 211-22-134-1-2-3-40yx 同样地，f(2)f(0)0，函数 f(x)=x22x3在(2，0)内有零点x=1，它是方程x22x3=0的另一个根函数的零点与方程的解函数的零点与方程的解 如果函数 y=f(x)在区间a，b上的图象是一条连续不断的曲线，且有 f(a)f(b)0，那么函数 y=f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使得 f(c)=0，这个c也就是方程 f(x)=0 的解函数零点存在定理函数零点存在定理xacbxba3
6、c2c1c函数的零点与方程的解函数的零点与方程的解例例1 求方程 lnx+2x6=0的实数解的个数解 设函数f(x)=lnx+2x6，利用计算工具，列出函数 y=f(x)的对应值表（表4.5-1），并画出图象（图4.5-2）由图表可知f(2)0，f(2)f(3)0，由函数零点存在定理可知，这个函数在区间(2,3)内至少有一个零点 易证函数f(x)=lnx+2x6，x(0,+)是增函数，所以它只有一个零点，即方程lnx+2x6=0只有一个实数解函数的零点与方程的解函数的零点与方程的解 如果函数 y=f(x)是区间a，b上连续的单调函数，且有 f(a)f(b)0，那么函数 y=f(x)在区间(a，
7、b)内有且只有一个零点，即存在唯一的实数 c (a，b)，使得 f(c)=0，这个c也就是方程 f(x)=0 的解函数零点唯一性定理函数零点唯一性定理思考：思考：如果函数 y=f(x)是区间a，b上连续的单调函数，则函数 y=f(x)在区间(a，b)内零点的个数为 函数的零点与方程的解函数的零点与方程的解（1）已知函数y=f(x)在区间a,b上连续，且f(a)f(b)0，则f(x)在区间 (a,b)内有且仅有一个零点 （）（2）已知函数y=f(x)在区间a,b上连续，且f(a)f(b)0，则f(x)在区间 (a,b)内没有零点 （）（3）已知函数y=f(x)在区间a,b上连续且在区间(a,b)
8、内存在零点.，则 f(x)必满足f(a)f(b)0 （）（4）已知函数y=f(x)是在区间a,b上连续的单调函数且满足 f(a)f(b)0，则函数y=f(x)区间(a,b)上有且仅有一个零点 （）练习练习1 判断下列命题是否成立，若不成立请通过图像说明理由函数的零点与方程的解函数的零点与方程的解（1）已知函数y=f(x)在区间a,b上连续，且f(a)f(b)0，则f(x)在区间 (a,b)内有且仅有一个零点 （）（2）已知函数y=f(x)在区间a,b上连续，且f(a)f(b)0，则f(x)在区间 (a,b)内没有零点 （）xbaxba练习练习1 判断下列命题是否成立，若不成立请通过图像说明理由
9、函数的零点与方程的解函数的零点与方程的解（3）已知函数y=f(x)在区间a,b上连续且在区间(a,b)内存在零点.，则 f(x)必满足f(a)f(b)0 （）（4）已知函数y=f(x)是在区间a,b上连续的单调函数且满足 f(a)f(b)0，则函数y=f(x)区间(a,b)上有且仅有一个零点 （）xbaxbaxba练习练习1 判断下列命题是否成立，若不成立请通过图像说明理由函数的零点与方程的解函数的零点与方程的解练习练习2 函数f(x)=ex-14x4的零点所在区间为()A(-1，0)B(0，1)C(1，2)D(2，3)【解析】因为f(1)=e-2440，f(0)=e-140，所以f(0)f(
10、1)0，所以f(x)在(0，1)上至少有一个零点，又f(x)是R上的增函数，故f(x)的零点所在的区间为(0，1)03Expansion And Promotion函数的零点与方程的解函数的零点与方程的解O1236xy例例 求方程lnx+2x6=0的实数解的个数【解析】方程lnx+2x6=0的实数解的个数，等价于方程lnx=2x+6的实数解的个数，等价于方程组y=lnx，y=2x+6的实数解的个数，等价于函数y=lnx与函数y=2x+6图象交点的个数，如图，两个函数的图象交点个数为1，即方程lnx+2x6=0有1个实数解函数的零点与方程的解函数的零点与方程的解函数y=f(x)-g(x)的零点
11、函数y=f(x)-g(x)的图象与x轴公共点的横坐标；方程f(x)-g(x)=0的实数解；方程f(x)=g(x)的实数解；函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象公共点的横坐标.函数的零点与方程的解函数的零点与方程的解练习 判断函数 的零点的个数22,0()26 ln,0 xxf xxx x 04Sum Up函数的零点与方程的解函数的零点与方程的解函数函数y=f(x)-g-g(x)的的 方程方程f(x)-g-g(x)=0的的 方程方程f(x)=g g(x)的的 函数函数y=f(x)的图象与的图象与y=g g(x)的图象的图象公共点的公共点的函数函数y=f(x)的的 方程方程f(x)=0的的 函数函数y=f(x)的图象与的图象与x轴公共点的轴公共点的如果函数 y=f(x)在区间a,b上的图象是一条连续不断的曲线，且有 f(a)f(b)0，那么函数 y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在 c (a,b)，使得 f(c)=0，这个c也就是方程 f(x)=0 的解05Homework After Class函数的零点与方程的解函数的零点与方程的解）（零点所在的区间是若函数xxxf2)(.1241)(.42)(.3)2ln(2)(.5,3.2xxfCxfBxxxfAx）（上有零点的函数可以是在区间这三个数的大小关系是，的解，则是方程若1,)10(log.300axaxaxax
