1、5.1 换路定律及初始值的确定5.2 RC电路的暂态过程5.3 RL电路的暂态过程5.4 RC一阶电路在脉冲信号作用下的暂态过程5.5 本章实训RC一阶电路响应仿真测试第第5 5章章 电路的暂态过程电路的暂态过程5.1.1 电路的过渡过程电路的过渡过程直流电路及周期电流电路中，所有响应或是恒稳不变，或是按周期规律变动。电路的这种工作状态称为稳定状态，简称稳态。但是，在含有储能元件电容、电感的电路中，当电路的结构或元件的参数发生改变时，电路从一种稳定状态变化到另一种稳定状态需要有一个动态变化的中间过程，称为电路的动态过程或过渡过程。动态电路分析就是研究电路在过渡过程中电压与电流随时间变化的规律。
2、这里做一个实验，电路如图5.1所示，R、L、C元件分别串联一只同样的灯泡，并连接在直流电压源上。5.1 换路定律及初始值的确定换路定律及初始值的确定图5.1 实验电路当开关S闭合时，可看到以下三种现象：(1)电阻支路的灯泡LR会立即亮，而且亮度始终不变；(2)电感支路的灯泡LL由不亮逐渐变亮，最后亮度达到稳定；(3)电容支路的灯泡LC由亮变暗，最后熄灭。三条支路的现象不同是因为R、L、C三个元件上电流与电压变化时所遵循的规律不同。5.1.2 换路定律换路定律在换路瞬间，如果流过电容元件的电流为有限值，其电压uC不能跃变；如果电感元件两端的电压为有限值，其电流iL不能跃变。这一结论称为换路定律。
3、如把换路发生的时刻取为计时起点，记为t=0，则t=0表示换路前的一瞬间，t=0+表示换路后的一瞬间。由此换路定律可表示为(5-1)0000LLCCiiuu5.1.3 初始值的计算初始值的计算换路定律只能确定换路瞬间的电容的电压值和电感的电流值，而电容的电流、电感的电压以及电路中其他元件的电流、电压初值是可以发生跃变的。将uC(0+)和iL(0+)称为独立的初始条件，把除电容的电压和电感的电流外的在t=0+时刻的其他响应值称为非独立初始值。独立的初始值和非独立的初始值统称为暂态电路的初始值，即t=0+时电路中电压、电流的瞬态值。由换路定律确定了独立的初始值后，电路中非独立初始值可按下列原则确定：
4、(1)换路前的瞬间，将电路视为一稳态，即电容开路、电感短路。(2)换路后瞬间，电容元件被看做恒压源。如果uC(0)=0，那么uC(0+)=0，换路时，电容器相当短路。(3)换路后瞬间，电感元件可看做恒流源。当iL(0)=0时，iL(0+)=0，电感元件在换路瞬间相当于开路。(4)运用直流电路分析方法，计算换路瞬间元件的电压、电流值。例例5-1 确定图5.2(a)所示电路在换路后各储能元件的电流与电压的初始值，设开关闭合前电路处于稳态。解解 (1)求独立的初始值uC(0+)和iL(0+)。开关闭合前电路处于稳态，电容相当于开路，电感相当于短路，由图5.2(a)并根据换路定律可知s2s)0()0(
5、)0()0(0)0()0(2211IiiRIuuuuLLCCCC图5.2 例5-1图(2)由换路后t=0+时的等效电路图5.2(b)得非独立初始值为12ss212s12s2s)0()0(0)0(RRIIiRRIiRIRIuL例例5-2 电路如图5.3(a)所示。开关闭合前，电路已处于稳定状态。当t=0时开关闭合，求初始值i1(0+)，i2(0+)和iC(0+)。解解 (1)开关闭合前电路已处于稳定状态，电容可看做开路，所以iC(0)=0，uC(0)=12 V。图5.3 例5-2图(2)根据换路定律，有uC(0+)=uC(0)=12 V 用电压等于uC(0+)=12 V的电压源代替电容元件，画出
6、换路瞬间等效电路如图5.3(b)所示，由图5.3(b)可知SC11(0)1212(0)04UuiRC22(0)12(0)1.5A8uiRC12(0)(0)(0)1.5Aiii 5.2.1 RC一阶电路零输入响应一阶电路零输入响应动态电路的响应分为零输入响应和零状态响应两部分。零输入响应是电路在无输入激励的情况下仅由初始条件引起的响应。RC电路的零输入响应是指输入信号为零，即激励为零，由电容元件的初始状态uC(0+)所产生的电流和电压。如图5.4所示的RC动态电路，开关处于位置1时，电路已处于稳定状态，uC(0)=Us。当开关由位置1扳到位置3，即换路瞬间，根据换路定律，uC(0+)=uC(0)
7、=Us，此时(t=0+)，电容通过电阻R放电，电容器储存的电能被逐渐释放出来，电容电压和电流逐渐减小，直至变为零。下面对电容器的放电过程进行分析。5.2 RC电路的暂态过电路的暂态过图5.4 RC零输入响应电路根据图5.4所示电路，并由KVL得 Ri(t)uC(t)=0 (5-2)将代入式(5-2)得(5-3)式(5-3)为一阶微分方程，其对应的特征方程为 RCp+1=0 (5-4)Cd()()duti tCt CCd()()0dutRCutt式中,p称为微分算子，特征方程(5-4)的特征根为(5-5)式(5-3)的通解可写成(5-6)式中,A为积分常数，由初始条件决定。将uC(0+)=Us代
8、入式(5-6)得A=Us1pRC 1C()etRCutA所以式(5-2)满足初始条件的通解为 (5-7)式中,(t)为单位阶跃信号，其解析式为(5-8)式(5-8)对应的波形如图5.5所示。1CS()etRCu tUt（）1 0()0 0ttt图5.5 单位阶跃信号电路中电流变化规律为(5-9)令=RC，具有时间的量纲，反映了RC电路中过渡过程进行的快慢程度，是描述过渡过程特性的一个重要的物理量，其大小由电路本身的结构所决定，与外界的激励无关。越大，过渡过程持续时间就越长，电流、电压衰减得就越慢；反之，越小，过渡过程持续时间就越短，电流、电压衰减得就越快。uC(t)和i(t)随时间变化的曲线如
9、图5.6(a)、图(b)所示。1CSd()edtRCu tUi tCttR）（）图5.6 电压、电流变化曲线表5.1给出了指数随时间t变化的数值关系。此表中的数值说明：在开始一段时间，数值下降得较快，t=时的值约为t=0时值的0.368倍，以后数值衰减得较慢，t=3时的值约为t=0时值的0.050倍，t=5时的值约为t=0时值的0.007倍。在工程中，一般认为经过(35)时间以后，衰减过程基本结束，电路已达到新的稳态。-et表表5.1 随时间随时间t变化的规律变化的规律-et例例5-3 已知图5.4中的C=10 F，R=5 k，电容的初始电能为2103 J，求：(1)电路的零输入响应uC(t)
10、和iC(t)；(2)电容电压衰减到8 V时所需时间；(3)要使电压在4 s时衰减到2 V，电阻R应为多大？解解 (1)电容的储能为2C1(0)(0)2CwCu所以将uC(0+)、iC(0+)和代入式(5-7)、式(5-9)中得3C6362332022 10(0)20V10 10=RC=5 1010 105 10 s(0)20(0)4 10 A5 10CCcwuCuiR（）V2020tCetu A104203tCeti(2)uC(t)=8 V时，20e20t=8，解此式得 t=0.045 s (3)由得 将uC(t)=2 V，C=10 F，t=4 s代入上式计算得R=173.9 k1C()20e
11、tRCu tC20lnuttRC（）5.2.2 RC一阶电路零状态响应一阶电路零状态响应如图5.7(a)所示，在开关S未闭合时，RC电路中电容电压uC(0)=0，在这种情况下，RC动态电路初始状态为零时，由外加激励信号所引起的响应称为电路的零状态响应。开关S闭合后，电源通过电阻对电容器进行充电，这样电容电压逐渐升高，充电电流逐渐减小，直到电容电压uC等于电源电压Us，电路中电流为零时，充电过程结束。下面对这一充电过程进行分析。换路时，根据换路定律可得(0)(0)0(0)CCsuuUiR图5.7 RC电路的零状态响应根据KVL，得Ri(t)+uC(t)=Us(5-10)将代入式(5-10),得图
12、5.7(a)所示电路的一阶非齐次微分方程(5-11)式(5-11)的解由齐次方程的通解uCh(t)和非齐次方程的特解uCp(t)两部分组成，即 uC(t)=uCh(t)+uCp(t)(5-12)Cd()()duti tCtCCSd()()dutRCutUt式(5-11)对应的齐次方程为(5-13)其特征方程所对应的特征根为(5-14)CCd()1()0dututtRC11pRC 故齐次方程的通解形式为(5-15)当t+时，动态电路的暂态过程结束而进入新的稳定状态，使电容电压等于电源电压，这样式(5-11)的特解可表示为 uCp(t)=uC(+)=Us (5-16)11()eettRCChutA
13、A=由式(5-15)和式(5-16)得到式(5-11)的解为(5-17)将uC(0+)=0代入式(5-17)解得积分常数为 A=Us(5-18)1CS()etRCutAU这样RC零状态电路的电压响应变为(5-19)电路的电流响应为(5-20)根据式(5-19)和式(5-20)画出的uC(t)和i(t)波形如图5.7(b)和图5.7(c)所示。1s()(1e)tRCCutUt（）1s()etRCUi ttR（）例例5-4 在图5.7(a)中，已知Us=12 V，R=5 k，C=1000F。开关S闭合前，电路处于零状态，t=0时开关闭合，求闭合后的uC和iC。解解 由已知得=RC=51031000
14、106=5 sUs=12 V 由式(5-19)得S120.0024A5UR15()12(1e)()VtCutt由式(5-20)得15()0.0024eAti tt（）5.2.3 RC一阶电路的全响应一阶电路的全响应若RC电路中的储能元件电容在换路前就已具有初始能量，换路后又受到外加激励电源的作用，两者共同作用产生的响应，称为RC一阶电路的全响应。如图5.8(a)所示，换路前开关长时间处于位置2，表明电路已处于稳定状态，电容存储的电能为，换路瞬间uC(0+)=uC(0)=U2。当开关S由位置2扳向位置1时，电容除有初始储能外，还因为整个电路受外加电源U1的作用，因此电路中的各量为非零状态下的有输
15、入响应。2212CU图5.8 RC电路全响应开关动作后，电路方程为(5-21)方程(5-21)对应的齐次方程通解为(5-22)CC1d()()dutRCutUt1()etChutA方程(5-21)的特解为电路达到稳态时的uC(t)，即 uCp(t)=U1 (5-23)这样微分方程的全解为(5-24)1C1()etRCutAU将初始条件uC(0+)=U2代入式(5-24)得电路中电容电压的全响应为(5-25)或(5-26)1211()()etRCCutUUU1121()e1ettRCRCCutUU（）图5.8(a)所示电路中电容电压的响应可分为如下3种情况：(1)当U1=U2时，由式(5-25)
16、可知，uC(t)=U1，表明电路一经换路便进入稳定状态，无过渡过程。(2)当U1U2时，电路在换路后将继续对电容器C进行充电，直到电容上的电压等于U1时为止，如图5.8(b)所示。(3)当U1U2时，电路在换路后电容器处于放电状态，由初始值的U2衰减到稳态的U1值，如图5.8(c)所示。例例5-5 电路如图5.9所示，t 0时的uC(t)和i(t)。解解(1)由知：开关闭合后，电路达到新的稳态时，21()2CwCut2225(0)010V0.5CCwuuC-（）2s12392.25V39CRuURR（+）图5.9 例5-5图电路放电时间常数为 =RC=(R1R2)C=1.125 s注：时间常数
17、中的R等于电源置零时，从动态元件向电路看进去的戴维南(或诺顿)等效电阻。将uC(0+)、uC(+)替代式(5-25)中的U2和U1,并把代入其中得111.1251.125()(102.25)e2.25(2.25 7.75e)VttCut=+5.2.4 一阶电路的三要素法一阶电路的三要素法由式(5-25)知：一阶RC电路的全响应等于电路的暂态响应和稳态响应之和。暂态响应是指随着时间的增长而趋于零的响应分量，分量为零时，暂态过程即结束。稳态响应是指不随时间而改变的响应分量，其值等于过渡过程结束后的稳态值。用f(t)代替式(5-25)中的uC(t)，并分别在t0+和t+时求极限得U1=f(+)(5-
18、27)U2=f(0+)(5-28)将式(5-27)和式(5-28)代入式(5-25)得(5-29)1()()(0)()etf tfff 例例5-6 电路如图5.10所示，已知R1=R2=R3=2 k，C=3103 pF，Us=12 V，开关S未断开时uC(0)=0，在t=0时将开关S断开，用三要素法求电压uC的变化规律。解解 (1)确定初始值。换路瞬间，电容响应电压初始值为uC(0+)=uC(0)=0 (2)计算稳态值。电路达到新的稳定状态时，电容相当于断路，这样2s1232()12 4V222CRuURRR=图5.10 例5-6图(3)计算电路的时间常数。因为Req=(R1+R3)/R2=所
19、以=ReqC=4 s。(4)将uC(0+)、uC(+)和代入三要素公式(5-29)得4k3614 10=4(1e)VtCu例例5-7 电路如图5.11(a)所示，已知Is=3 A，R1=R4=3，R2=2,R3=6，Us=3 V，C=0.5 F，t0 时，S闭合,有将上式代入得12121212121212LLLLUuUuUURRiiiuRRRRR RddLLiuLt12121212d1()dLLiR RUUitL RRRR 图5.15 例5-9图由图5.15可知：，这样用分离变量法解上面的微分方程得12eq12R RRRR12eq126311s6 32RRLLRR R/1212etLUUiCR
20、R根据换路定律可知，代入上式得这样将已知数据代入上式得iL=2+3(1e2t)=(53e2t)A11(0)(0)LLUiiR22UCR 1212(1e)tLUUiRR5.3.2 RL一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应如图5.16所示电路，开关S闭合前电路中的电流为零，即电路处于零状态。开关闭合后，电感元件中的电流从零逐渐增加到新的稳态值，电感中存储的磁能从无到有，也就是电感元件的充磁过程。iL和uL取关联参考方向，换路瞬间，根据KVL和电磁感应定律可得(5-37)由换路定律得：iL(0+)=iL(0)=0，当电路进入新的稳定状态时(5-38)sddLLUiRitLLs()LUiR 图5.
21、16 RL零状态响应将iL(0+)、iL(+)代入三要素公式中得RL零状态响应为(5-39)(5-40)(5-41)s()(1e)tLUi tRsd()edtLLiu tLUts()(1e)tRLuti RU图5.17 RL零状态响应波形图例例5-10 电路如图5.16所示，已知Us=10 V，R=10，L=5 H，当开关S闭合后，计算：(1)电路到达新的稳定状态时的电流；(2)t=0 s和t=+时电感上的电压。解解 (1)电路到达新的稳定状态时，电流也到达稳定，从而有s1010A10UIR (2)电路时间常数为 t=0 s时，电感上的电压为t=+时，说明电感L相当于开路。50.5s10LR2
22、s()e10e10VttLu tUs()e0VtLu tU5.3.3 RL一阶电路的全响应一阶电路的全响应当RL电路中的储能元件在换路前已有初始磁能，即电感中的电流初始值不为零，同时换路瞬间又有外加激励信号作用于此电路，这种情况下电路中的响应称为RL一阶电路全响应。如图5.18所示电路，设开关S闭合前电路已处于稳定状态。开关S闭合时，根据换路定律得由KVL得uL+uR=Uss0(0)(0)LLUiiRR图5.18 RL全响应iL和uL取关联性参考方向时，上式即为 (5-42)当t=+时，将i(0+)和iL(+)代入三要素公式(5-29)得(5-43)s()LUiR sddLLiRiLUtsss
23、0()+etLUUUi tRRRR改写式(5-43)可得(5-44)由此可知，RL电路的全响应可看成零输入响应和零状态响应的叠加。ss0()e(1e)ttLUUi tRRR例例5-11 图5.18所示的电路中，已知Us=100 V，R0=R=50，L=5 H，设开关S闭合前电路已处于稳态状态。t=0时，开关S闭合，求闭合后电路中的电流iL和uL。解解 (1)由得由得s0(0)(0)LLUiiRRs0100(0)1A5050LUiRR()sLUiR s1002A5015010s5URRL将相关数据代入式(5-43)中得iL(t)=2+(12)e10t=2e10t A (2)1010d()5 10
24、e50eVdttLLiutLt5.4.1 RC微分电路微分电路RC组成的微分电路如图5.19(a)所示，输入信号为图5.19(b)所示的占空比为50的矩形脉冲。占空比是指Tw与T之比，其中Tw指脉宽，T为信号的周期。电路时间常数=RC 比脉宽Tw小很多，输出电压uo为电阻R上的电压。下面对微分电路的充、放电过程进行分析。5.4 RC一阶电路在脉冲信号作用下的暂态过程一阶电路在脉冲信号作用下的暂态过程图5.19 微分电路1.充电过程充电过程在t=0瞬间，因为uC(0+)=uC(0)=0，所以uo(0+)=ui=U，之后电源通过电阻R对电容进行充电，电容两端的电压升高，电路中电流减小，输出电压由初
25、始值向新的稳态值零过渡。由于Tw,充电过程进行得极快，在tTw时，uC就已经到达稳定值，uo衰减到了零，在输出电阻R上产生1个正尖脉冲，越小则脉冲越窄越尖，电路输出波形如图5.19(c)所示。当0tT/2时，根据三要素法，输出电压uo可表示为 (5-45)oetuU2.放电过程放电过程在t=T2时，输入ui等于零，RC组成放电回路，此时uo=uC=U。之后由于电路时间常数很小，放电过程很快就结束了，在输出端R上形成1个负尖脉冲。电压输出波形如图5.19(c)所示。当T2tT时，输出电压uo可表示为(5-46)在第2个正脉冲到来之前，电容器上的电荷已全部释放完毕，电路处于起始状态。以后的充、放电
26、将重复第1个周期的情形。w()/o()et Tu tU 在电路充、放电过程中，根据KVL,有uiuouC=0(5-47)由于Tw，所以uiuC，因此 (5-48)ioddddCuuuRCRCtt从电路的充、放电过程可以看出：微分电路尖脉冲的产生是以电路时间常数充分小为前提条件的。如果充、放电时间很长，则输出电压与输入电压基本相同，尖脉冲不可能产生，这样的电路称为阻容耦合电路，因此RC电路要成为微分电路必须符合以下两个条件：(1)电路时间常数比脉宽Tw小得多，即Tw；(2)从电阻R上输出电压。5.4.2 RC积分电路积分电路如果把图5.19(a)中的电阻、电容互换，且满足电路时间常数无限大于脉宽
27、，即Tw，在脉冲持续的时间内，电容两端的电压由初始值零缓慢地向新的稳态值U过渡，当uC还未达到稳态值时，脉冲就已经结束。输出电压uo按指数规律上升的曲线可近似认为是一条直线，如图5.20(c)所示。当0tT/2 时，根据三要素公式，输出电压uo可表示为 (5-49)o()(1e)tu tU图5.20 积分电路2.放电过程放电过程t=T2时刻，由式(5-49)可得此时电容端电压为输入电压已经跃变为零，电容器将由初始值U1开始缓慢地按衰减的指数规律(近似为直线)放电，由于电路时间常数很大，未等电容器中的电荷完全放完，输入端的电压就由零跃变到U，电路又重新开始新一轮充放电，即第2个周期开始。整个充、
28、放电过程形成的输出波形为锯齿波，如图5.20(c)所示。当T2tT时，输出电压uo可表示为(5-50)21o()(1e)2TTUuU2o1()eTtu tU由于充放电过程极其缓慢，因此uo=uCuR ui=uR+uCuR=iR即(5-51)oi11ddCuui tu tCRC通过以上的分析可知：RC组成的电路要成为积分电路必须满足以下两个条件：(1)电路时间常数必须比脉宽大得多，即Tw；(2)从电容上输出电压。1.仿真实验的目的仿真实验的目的(1)熟悉Multisim8软件的使用，学会用Multisim8进行一些电路基础实验。(2)通过对RC一阶电路的仿真分析，加深对RC一阶电路响应的理解。(
29、3)学会相关仪表的正确使用。5.5 本章实训本章实训 RC一阶电路响应仿真测试一阶电路响应仿真测试2.仿真实验设备仿真实验设备(1)硬件：计算机。(2)软件：Multisim8。3.仿真实验电路仿真实验电路仿真实验电路如图5.21所示。图5.21 RC仿真电路4.仿真实验步骤仿真实验步骤1)以直流电压源为仿真源的仿真(1)建立如图5.21所示的仿真电路。(2)单击Simulate/Analyses中的Transien Analysis，对Analysis Parameter(分析参数)、Output(仿真节点和输出节点)进行选择。本仿真实验Analysis Parameter(分析参数)的In
30、itial Conditions(初始条件)选择为Set to zero(置零)，Parameters(参数)选项中的Start time、End time(开始时间和终止时间)分别设置为0Sec和0.001Sec，最大仿真步长设置为1e0.05Sec。Output(输出)的Variables in circuit选默认变量，将Selected variables for 中默认的1号节点移去，加载2号节点进行仿真分析。(3)选择Transient Analysis的Simulate按钮进行暂态仿真分析，得出如图5.22所示的零状态响应波形图。图5.22 RC零状态响应波形图2)以函数信号发生
31、器为仿真源的仿真(1)用函数信号发生器替换图5.21所示电路中的直流电压源，将示波器接于仿真节点，组建的电路如图5.23所示。(2)双击信号发生器，将波形选择为方波，信号选择中的频率置于1000 Hz，占空比置于20，幅值置于24 V，偏移量采用默认值0 V，上升或下降沿时间设置为10 s。示波器的时基设为500 s/Div，A通道的尺度设置为10 V/Div，示波器的屏幕填充色取反。(3)单击Simulate/Run按钮进行仿真，2号节点仿真结果如图5.24所示。图5.23 方波电压源RC仿真电路图5.24 2号节点电压波形5.仿真实验思考仿真实验思考组建一个RL电路，并运用Multisim8软件对电路中的相关节点电压进行仿真分析。
