1、1 线段、射线、直线线段、射线、直线第第2课时课时 比较线段的长短比较线段的长短北师大版北师大版七年级上册七年级上册第四章第四章 基本平面图形基本平面图形学习目标学习目标1.掌握几何事实：两点之间线段最短。能在相关情境中掌握几何事实：两点之间线段最短。能在相关情境中运用其解决实际问题，积累数学活动经验。运用其解决实际问题，积累数学活动经验。2.会比较线段的长短，理解线段的和、差以及线段中点会比较线段的长短，理解线段的和、差以及线段中点的意义，理解两点之间距离的意义，能度量和表达两的意义，理解两点之间距离的意义，能度量和表达两点间的距离，发展几何直观感知能力、合情的推理能点间的距离，发展几何直观
2、感知能力、合情的推理能力以及探究意识。力以及探究意识。3.能用尺规作图：作一条线段等于已知线段，培养动手能用尺规作图：作一条线段等于已知线段，培养动手操作的能力。操作的能力。回顾引入回顾引入我们在小学的时候已经会比较物体的长短了，比一比，我们在小学的时候已经会比较物体的长短了，比一比，下面两组学具中哪个更长？在对应的方框内打下面两组学具中哪个更长？在对应的方框内打“”。我们是如何比较上面两组学具的长短的？我们是如何比较上面两组学具的长短的？直接观察直接观察想一想想一想：你还：你还有没有有没有更严谨更严谨的比较方法？的比较方法？探究新知探究新知探究点探究点1 与线段有关的几何事实及两点之间的距离
3、与线段有关的几何事实及两点之间的距离问题问题1如图，现实生活中，为什么草地中间会被人走出一条如图，现实生活中，为什么草地中间会被人走出一条“捷径捷径”？这是一条这是一条近路近路问题问题2如图，从如图，从A地到地到C地有四条道路，哪条路最近？地有四条道路，哪条路最近？最近最近根据生活经验，我们发现：根据生活经验，我们发现：两点之间的所有连线中，线段最短。两点之间的所有连线中，线段最短。这一事实可以简述为：这一事实可以简述为：两点之间线段最短。两点之间线段最短。我们把两点之间线段的长度，叫作这我们把两点之间线段的长度，叫作这两点之间的距离两点之间的距离。描述的是描述的是数量数量，而不是图形，指的是
4、连接，而不是图形，指的是连接两点的两点的线段的长度线段的长度，而不是线段本身。，而不是线段本身。例例1 如图，这是如图，这是A，B两地之间的公路，在公路工程两地之间的公路，在公路工程改造计划时，为使改造计划时，为使A，B两地行程最短，应如何设计两地行程最短，应如何设计线路？请在图中画出，并说明理由。线路？请在图中画出，并说明理由。AB两点之间线段最短。两点之间线段最短。【对应训练对应训练】1.把原来弯曲的河道改直，这种操作所蕴含的数学原理把原来弯曲的河道改直，这种操作所蕴含的数学原理是是_。两点之间线段最短两点之间线段最短ABABNM2.如图，直线如图，直线 MN 表示一条河流，在河流两旁有两
5、点表示一条河流，在河流两旁有两点A，B表示两块稻田，若要在河岸边某一位置开渠引水灌溉稻表示两块稻田，若要在河岸边某一位置开渠引水灌溉稻田，则在河岸哪个位置开渠可使水到两块稻田的距离之田，则在河岸哪个位置开渠可使水到两块稻田的距离之和最小？为什么？和最小？为什么？两点之间线段最短两点之间线段最短连接点连接点A，点，点BP解：如图，连接解：如图，连接 AB 交直线交直线 MN 于点于点P，在交，在交点点 P 处开渠可使得水到两块稻田的距离之和处开渠可使得水到两块稻田的距离之和最小最小,依据的是依据的是“两点之间线段最短两点之间线段最短”。探究点探究点2 比较线段的长短及尺规作图比较线段的长短及尺规
6、作图问题问题1下图中哪棵树较高？哪支铅笔较长？窗框相邻的两条下图中哪棵树较高？哪支铅笔较长？窗框相邻的两条边哪条较长？你是怎么比较的？边哪条较长？你是怎么比较的？问题问题2怎样比较两条线段的长短？与同伴进行交流。怎样比较两条线段的长短？与同伴进行交流。方法一方法一 度量法度量法ABCD4cm5cm线段线段AB小于线段小于线段CD记作记作ABCD从从“数数”的角的角度进行比较度进行比较利用度量法测量时，一般采用相同的测量工具，单位要利用度量法测量时，一般采用相同的测量工具，单位要统一，精确度要一致。统一，精确度要一致。CD（A）方法二方法二 叠合法叠合法把其中的一条线段移到另一条线段上去，将把其
7、中的一条线段移到另一条线段上去，将其中的一个其中的一个端点重合在一起端点重合在一起加以比较。加以比较。ABB线段线段AB线段线段CD从从“形形”的角的角度进行比较度进行比较用用尺规作图尺规作图的方法可以实现。只用的方法可以实现。只用没有刻没有刻度的直尺度的直尺和和圆规圆规画图称为尺规作图。画图称为尺规作图。一个端点对齐（重一个端点对齐（重合）合），另一个端点，另一个端点落在落在同一侧同一侧。问题问题3你认为按照叠合法，两条线段的长短比较有哪些可能性？你认为按照叠合法，两条线段的长短比较有哪些可能性？ABCDABCDCDAB线段线段AB大于线段大于线段CD记作记作ABCD线段线段AB等于线段等于
8、线段CD记作记作AB=CD线段线段AB小于线段小于线段CD记作记作ABCD例例2 如图，已知线段如图，已知线段 AB，用尺规作一条线段等于已，用尺规作一条线段等于已知线段知线段 AB。【教材教材 P115 例题例题】AB作法：作法：1.作射线作射线AC。2.用圆规在射线用圆规在射线AC上截取上截取AB=AB。线段线段AB就是所要作的线段。就是所要作的线段。ACB圆规两只脚的圆规两只脚的端点分别与端端点分别与端点点A，B重合，重合，再保持两脚不再保持两脚不动分别移至点动分别移至点A，B。对应训练对应训练【教材教材 P115随堂练习第随堂练习第1题题】1.如图，比较折线如图，比较折线 AB 和线段
9、和线段 AB 的长短，你有什么方的长短，你有什么方法？需要什么工具？法？需要什么工具？解：有两种方法：一种方法是用刻度尺量出折线解：有两种方法：一种方法是用刻度尺量出折线AB中每一条中每一条线段的长度，求出它们的长度和；再量出线段线段的长度，求出它们的长度和；再量出线段AB的长度，的长度，再进行比较。再进行比较。另一种方法是将折线另一种方法是将折线AB的端点的端点A与线段与线段AB的端点的端点A重合，用重合，用圆规把折线圆规把折线AB中的每一条线段分别顺次地移到线段中的每一条线段分别顺次地移到线段AB上去，上去，再进行比较。再进行比较。需要的工具有刻度尺、圆规。需要的工具有刻度尺、圆规。【教材
10、教材 P115随堂练习第随堂练习第2题题】2.如图，已知线段如图，已知线段 a 和和 b，直线，直线 AB 和和 CD 相交于点相交于点 O。请请用尺规按下列要求作图：用尺规按下列要求作图：abABCDO（1）在射线）在射线 OA，OB，OC 上作线段上作线段 OA，OB，OC，使它们分别与线段使它们分别与线段 a 相等；相等；（2）在射线）在射线 OD 上作线段上作线段 OD，使，使 OD 与线段与线段 b 相等；相等；（3）连接）连接 AC，C B，BD，DA。你得到了一个怎样的图形？与同伴进行交流。你得到了一个怎样的图形？与同伴进行交流。abABCDOABCD解：所得到的图形如图所示，是
11、一个四边形解：所得到的图形如图所示，是一个四边形(筝形筝形)。3.如图，已知线段如图，已知线段 a，b，用尺规作一条线段，用尺规作一条线段 m，使，使 m=a+b.解：如图所示，线段解：如图所示，线段 m即为所求。即为所求。【教材教材 P116随堂练习第随堂练习第3题题】探究点探究点3 线段的中点线段的中点问题问题1在一张透明的纸上画一条线段，折叠纸片，使线段的两个在一张透明的纸上画一条线段，折叠纸片，使线段的两个端点重合，折痕与线段的交点是线段的什么位置？端点重合，折痕与线段的交点是线段的什么位置？中点位置中点位置问题问题2将纸展平，对照图形，描述一下线段中点的概念。将纸展平，对照图形，描述
12、一下线段中点的概念。ABMM点点M把线段把线段AB 分成相等的两条线段分成相等的两条线段AM与与BM，点，点M 叫作叫作线段线段 AB 的的中点中点。ABM几何语言：几何语言：点点M 是线段是线段 AB 的中点的中点若点若点M 是线段是线段 AB 的的中点中点，则则 AM=MB=AB12（或（或AB=2AM=2BM）反之也成立：反之也成立：若若 AM=MB=AB12（或（或AB=2AM=2BM）则点则点M 是线段是线段 AB 的的中点中点尝试尝试思考思考 在直线在直线l上顺次取上顺次取A，B，C三点，使得三点，使得AB=4cm，BC=3cm。如果点。如果点O是线段是线段 AC的中的中点，那么线
13、段点，那么线段AC和和OB的长度分别是多少？的长度分别是多少？AO BCl解：作图如图所示。解：作图如图所示。由图可知，由图可知，AC=AB+BC=4+3=7(cm)，因为点因为点O是线段是线段AC的中点，的中点，所以所以OA=AC=7=3.5(cm)。所以所以OB=AB-OA=4-3.5=0.5(cm)。所以线段所以线段AC和和OB的长度分别是的长度分别是7cm，0.5cm。【对应训练对应训练】1.若点若点C是线段是线段AB的中点，且的中点，且BC=3cm，则，则AB 的长的长是是()A.1.5cm B.3 cm C.4.5 cm D.6 cmD2.尝试尝试思考思考 变式题变式题在直线在直线
14、l上取上取A，B，C三点，使三点，使得得 AB=5cm，BC=3 cm，如果点，如果点 O 是线段是线段 AC 的中的中点，那么线段点，那么线段 OB 的长度是多少？的长度是多少？解：解：因为因为A，B，C三点不是在直线三点不是在直线l上顺次取的上顺次取的，所以有所以有两种情况两种情况：第一种情况如图所示，点第一种情况如图所示，点C在点在点A，B之间。之间。因为因为AB=5cm，BC=3cm，所以，所以AC=AB-BC=5-3=2(cm)。因为点因为点O是线段是线段AC的中点，的中点，所以所以OC=AC=2=1(cm)。12所以所以OB=OC+BC=1+3=4(cm)。第二种情况如图所示，点第
15、二种情况如图所示，点C在在AB的延长线上。的延长线上。依照依照尝试尝试思考思考中思路可求得中思路可求得OB=1cm。综上，线段综上，线段OB的长度是的长度是4cm或或1cm。【综合演练综合演练】如图，已知线段如图，已知线段a和射线和射线 AP。aAP（1）用圆规在射线）用圆规在射线AP上截取上截取AB=3a(保留作图痕迹保留作图痕迹)；APB（2）若点）若点C为线段为线段AB 的中点，点的中点，点D在射线在射线BP上，且上，且 AD=4a，请你画出图形，并求出，请你画出图形，并求出 C，D 两点之间的距离两点之间的距离（用含（用含a的代数式表示）。的代数式表示）。aAP解：解：因为因为点点C为
16、线段为线段AB的中点，的中点，所以所以AC=AB=3a=1.5a。12又因为又因为C，D两点之间的距离即为线段两点之间的距离即为线段CD的长，的长，所以所以C，D两点之间的距离为两点之间的距离为2.5a。DBC所以所以CD=AD-AC=4a-1.5a=2.5a。随堂训练随堂训练1.如图，比较线段如图，比较线段a和线段和线段b的长短，结果正确的是（的长短，结果正确的是（）A.a b B.abC.a=b D.无法比较无法比较B2.下列说法中错误的是（下列说法中错误的是（）A.A，B两点之间的距离为两点之间的距离为5 cmB.A，B两点之间的距离是线段两点之间的距离是线段AB的长的长C.A，B两点之
17、间的距离就是线段两点之间的距离就是线段ABD.A，B两点之间线段的长度叫作两点之间线段的长度叫作A，B 两点之间的距离两点之间的距离C解：（解：（1）因为因为AD=10 cm，AC=6 cm，所以所以CD=AD-AC=4 cm。因为点因为点B为为CD的中点，的中点，12所以所以BD=CD=2 cm。3.如图，如图，C为线段为线段AD上一点，点上一点，点B为为CD的中点，且的中点，且AD=10 cm，AC=6 cm。(1)求求BD的长；的长；(2)若点若点E是是AC的三等分点，且点的三等分点，且点E靠近点靠近点A，求，求BE的长。的长。13所以所以AE=AC=2 cm。3.如图，如图，C为线段为
18、线段AD上一点，点上一点，点B为为CD的中点，且的中点，且AD=10 cm，AC=6 cm。(1)求求BD的长；的长；(2)若点若点E是是AC的三等分点，且点的三等分点，且点E靠近点靠近点A，求，求BE的长。的长。（2）因为因为AC=6 cm，点，点E是是AC的三等分点，且的三等分点，且点点E靠近点靠近点A，因为因为BD=2 cm,所以所以BE=AD-AE-BD=6 cm。课堂总结课堂总结1.你能举例说明你能举例说明“两点之间线段最短两点之间线段最短”这一事实吗？什么这一事实吗？什么是两点之间的距离？是两点之间的距离？2.你会用几种方法比较两条线段的长短？具体怎么操作？你会用几种方法比较两条线
19、段的长短？具体怎么操作？3.什么是尺规作图？你是否掌握了作一条线段等于已知线什么是尺规作图？你是否掌握了作一条线段等于已知线段的方法？段的方法？4.什么是线段的中点？线段的中点具有哪些性质？什么是线段的中点？线段的中点具有哪些性质？知识结构知识结构比较线比较线段的长短段的长短几何事实几何事实两点之间线段最短两点之间线段最短两点之间的距离两点之间的距离两点之间线段的长度两点之间线段的长度线段长线段长短的比较短的比较观察法观察法度量法度量法叠合法叠合法尺规作图尺规作图作一条线段等于已知线段作一条线段等于已知线段线段线段的中点的中点概念概念性质性质线段的和差计算（线段的和差计算（分类讨论思想分类讨论思想）
