1、对数与对数与对数与对数与对数运算对数运算对数运算对数运算 山西省长治市第十六中学山西省长治市第十六中学山西省长治市第十六中学山西省长治市第十六中学 申秀兰申秀兰申秀兰申秀兰 对数与对数与对数与对数与对数运算对数运算对数运算对数运算 山西省长治市第十六中学山西省长治市第十六中学山西省长治市第十六中学山西省长治市第十六中学 申秀兰申秀兰申秀兰申秀兰 “简化计算”是时代的需求“简化计算”是时代的需求 KeplerKepler 一、对数产生的背景一、对数产生的背景 1717世纪初世纪初 , ,“日心说日心说”开始盛行，开始盛行， 研究行星轨迹需面对大数的乘除开方研究行星轨迹需面对大数的乘除开方, ,
2、繁琐的计算令天文学家苦不堪言繁琐的计算令天文学家苦不堪言. . 1616世纪末世纪末 , ,进入进入“大航海大航海”时代，时代， 需要测量船只在海上的位置，大数字需要测量船只在海上的位置，大数字 计算的需求增多计算的需求增多. . “对数”实现了降级运算“对数”实现了降级运算 一、对数产生的背景一、对数产生的背景 anananan 英国数学家纳皮尔发明了简化英国数学家纳皮尔发明了简化 计算的专用工具计算的专用工具对数对数. . “对数对数”这个计算工具，它的妙处这个计算工具，它的妙处 在于降级在于降级, ,它的地位一直持续到它的地位一直持续到2020世纪世纪 计算机的诞生计算机的诞生 欧拉为什
3、么会这样说？欧拉为什么会这样说？ 让我们从上节课的两个例题出发，开始我们的探索吧让我们从上节课的两个例题出发，开始我们的探索吧 18世纪，瑞士数学家欧拉提出：“对数源于指数”世纪，瑞士数学家欧拉提出：“对数源于指数” 什么是对数？它长什么模样？什么是对数？它长什么模样？ 二、实例分析，引出概念二、实例分析，引出概念 2 2.1.22.1.2例例例例8 8：截止到：截止到1999年，我国人口约年，我国人口约13亿，如果今后能将人口年平均增亿，如果今后能将人口年平均增 长率控制在长率控制在1%，那么，那么,经过经过x年后，我国人口总数最多为年后，我国人口总数最多为y =131.01x(亿亿) 2
4、2 2.1.22.1.2例例例例8 8：截止到：截止到1999年，我国人口约年，我国人口约13亿，如果今后能将人口年平均增亿，如果今后能将人口年平均增 长率控制在长率控制在1%，那么，那么,经过经过x年后，我国人口总数最多为年后，我国人口总数最多为y =131.01x(亿亿) 那么：对折多少次厚度是那么：对折多少次厚度是16毫米、毫米、32毫米、毫米、64毫米毫米，大概对折多少次后，大概对折多少次后 可达到珠穆朗玛峰的高度（可达到珠穆朗玛峰的高度（8848米）？米）？ 那么：我国人口总数达到那么：我国人口总数达到18亿时，需经过多少年亿时，需经过多少年? 解：当解：当 y = 8848000
5、= 8848000 时时 2 2x88480008848000 x ？ 解：当解：当y =18=18时，时，13131.011.01x =18=18 x = ？ 二、实例分析，引出概念二、实例分析，引出概念 即：即： 1818 1313 1.011.01x= =即：即： 1818 1313 1.011.01x= = 1818 1313 1818 1313 1818 1313 1.011.01x= = 已知已知 ，求，求 . . 指数 二、实例分析，引出概念二、实例分析，引出概念 这就是今天研究的新问题 对数与对数运算对数与对数运算 答案是肯定的，而且很容易就可得到结果： (1) x 23次 (
6、2) x 33年 底数、幂值 x？ x？ 2 2x 88480008848000 01. 1 x 1818 1313 x？ x？ 2 2x 88480008848000 01. 1 x 1818 1313 01. 1 x 1818 1313 1818 1313 1818 1313 问题问题1 1、 观察上两例在求值时有何共同特征？试着用语言表达一下观察上两例在求值时有何共同特征？试着用语言表达一下. . 思考：如何求指数思考：如何求指数x的值？必须依次代入的值？必须依次代入1 1，2 2，3 3吗？请同学们计算吗？请同学们计算x的值？的值？ 思考：能否像加减运算时，采取思考：能否像加减运算时，
7、采取 “移项移项”的方法，用一个式子直接表达的方法，用一个式子直接表达x呢？呢？ p p62 62 p p62 62 阅读阅读阅读阅读默写默写默写默写练习练习练习练习 二、实例分析，引出概念二、实例分析，引出概念 请同学们打开课本请同学们打开课本P P62 62 阅读例阅读例1之前的内容，之前的内容， 之后，完成下列之后，完成下列 问题和练习问题和练习. 然后，合起课本然后，合起课本 默写定义，默写定义， 请同学们打开课本请同学们打开课本P P62 62 阅读例阅读例1之前的内容，之前的内容， 之后，完成下列之后，完成下列 问题和练习问题和练习. 然后，合起课本然后，合起课本 默写定义，默写定
8、义， 问题问题2 2、什么是对数？如何读？如何写？如何用符号表达？什么是对数？如何读？如何写？如何用符号表达？ 对数的读法：对数的读法：对数的写法：对数的写法：对数的符号：对数的符号： 三、习得定义，在应用中初步理解概念三、习得定义，在应用中初步理解概念 l o g g a N 以以a为底为底N的对数的对数 loglog 一般地，如果一般地，如果ax= =N ( (a0,0,且且a1)1)，那么，那么数数x 叫做以叫做以a为为 底底N的的对数对数(logarithm)(logarithm)，记作，记作 x= =loglogaN 其中其中 a 叫做对数的叫做对数的底数底数，N 叫做叫做真数真数.
9、 . 定义定义 练习练习1 1：根据对数的定义，上两例的解如下： 三、习得定义，在应用中初步理解概念三、习得定义，在应用中初步理解概念 2x 88480002x 8848000 xlog2 8848000 xlog2 8848000 01. 1 x 1818 1313 01. 1 x 1818 1313 01. 1 x 1818 1313 1818 1313 1818 1313 x = log1.01 18 13 18 13 18 13 x = log1.01 18 13 18 13 18 13 思考：指对数互化的步骤是什么？思考：指对数互化的步骤是什么？ 1 1、定形式、定形式 2 2、找底
10、数、找底数 3 3、写结果、写结果 对数的定义对数的定义 思考：解决这类问题的依据是什么？思考：解决这类问题的依据是什么？ 练习练习2 2：将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式 三、习得定义，在应用中初步理解概念三、习得定义，在应用中初步理解概念 6255 4 41616loglog 2 1 - - 41616loglog 2 1 - - 5.735.73 3 1 m 5.735.73 3 1 m loglog10 100 = 100 = m 3 m 5.735.73 loglog 1 3 m 5.735.73 loglog 1 m 5.735.73 loglog 1 1616 2 1 -
11、 4 1616 2 1 - 4 10 10 m = 100= 100 loglog 5 625 = 4 625 = 4 思考思考 将上面结果反过来如何表示？将上面结果反过来如何表示？ 你发现了什么？你发现了什么？ 思考：类似的运算学过哪些？思考：类似的运算学过哪些？ axNxNa a xNxNa 互逆互逆 logaxN x aN 互逆互逆 问题问题3： 根据定义，观察指数式与对数式，发现对数式可用指数式根据定义，观察指数式与对数式，发现对数式可用指数式 “反过来”表述，那么，指数与对数是什么关系呢？“反过来”表述，那么，指数与对数是什么关系呢？ 三、习得定义，在应用中初步理解定义三、习得定义，
12、在应用中初步理解定义 等价等价 互逆互逆 真数 底数 底数 指数 幂值 对数 问题问题4 4：指数与对数式中指数与对数式中 a ，x，N 名称和位置有什么变化？名称和位置有什么变化？ 请你思考并完成下表 三、习得定义，在应用中初步理解概念三、习得定义，在应用中初步理解概念 x aN a x N 式子 名称 x =log=log a N = =loglog = = 底数 底数 指数 对数 幂值 真数 连线,并写出各图形所代表的各字母的名称 练习练习3 3：求下列各式中 x 的值 先将对数式化为指数式，再进行指数运算先将对数式化为指数式，再进行指数运算 对数的定义 四、应用定义，使知识技能化四、应
13、用定义，使知识技能化 思考：思考： 解决这类问题的依据是什么？解决这类问题的依据是什么？ 思考：思考： 解决这类问题的方法是什么？解决这类问题的方法是什么？ （2） log 273 x （3） 1 2 log 8x（1） 3 2 xlog64 （1） 3 2 xlog64 3 2 xlog64 问题问题5：类比指数，有哪些特殊的对数形式？类比指数，有哪些特殊的对数形式？ 思考：你有什么发现？思考：你有什么发现？ 五、精致定义，深读概念五、精致定义，深读概念 根据你的阅读回答，并类比练习3完成下面计算： 1 2 lg1ln1log 1 lg( 1)ln( 2) lg0 ln0 lne 0.3 l
14、og0.3lg10 1 2 lg1ln1log 1 lg( 1)ln( 2)lg( 1)ln( 2) lg0 ln0 lg0 ln0 lne 0.3 log0.3lg10 lne 0.3 log0.3lg10 五、精致定义，深读概念五、精致定义，深读概念 两种重要的对数：两种重要的对数： 常用对数常用对数: : 自然对数自然对数: : lg N 10 logN lnN e e=2.71828=2.71828 log e Nlog e N 通常，我们将以通常，我们将以1010为底的对数叫做为底的对数叫做常用对数常用对数，并把，并把loglog10 10 N 记为 记为 lg lg N. . 另外
15、，在科学技术中常使用以无理数另外，在科学技术中常使用以无理数e e=2.71828=2.71828为底数的为底数的 对数，以对数，以e e为底的对数称为为底的对数称为自然对数自然对数，并把，并把logloge eN 记为记为ln ln N . . 常用对数常用对数 自然对数自然对数 五、精致定义，深读概念五、精致定义，深读概念 日常生活中，我们遇到较大的数字时，通常采用科学计数法表示为a10n 的形式，它是以十进制数10为“底数”的指数式，反映到对数中，底数为10的 就很常用，因此叫常用对数. 以 e为底数的对数在科技领域应用的多，比如充电器的电容的电压关系，物 体的自然冷却关系、细胞的繁殖等
16、，用e表述其规律是最自然的，可减少无理数 表述不清的烦恼. 问题问题5：类比指数，有哪些特殊的对数形式？ 思考：思考：你有什么发现？ 五、精致定义，深读概念五、精致定义，深读概念 根据你的阅读回答，并类比练习3完成下面计算： 1 2 lg1ln1log 1 lg( 1)ln( 2) lg0 ln0 lne 0.3 log0.3lg10 1 2 lg1ln1log 1 lg( 1)ln( 2)lg( 1)ln( 2) lg0 ln0 lg0 ln0 lne 0.3 log0.3lg10 lne 0.3 log0.3lg10 三个结论：三个结论：负数和零没有对数，负数和零没有对数， 1的对数是的对
17、数是0，底数的对数是，底数的对数是1. loga1=0logaa=1 五、精致定义，深读概念五、精致定义，深读概念 练习练习4 4 求下列各式 x 的值 2 1 loglg12 ln log 50 x x 问题问题6 6：由指数与对数等价关系，写出由指数与对数等价关系，写出 a ，x，N 的取值取值范围？的取值取值范围？ 练习练习5 5：求使式子求使式子loglog3 3x（1 1x） 有意义的有意义的x的取值范围的取值范围. . 解： N0 x R a0, 且a1 五、精致定义，深读概念五、精致定义，深读概念 即 x0 x x0 x x1 3 1 3x0 3x 1 1x0 3x0 3x 1
18、1x0 所以0x1且x 3 1 所以0x1且x 3 1 背景背景 1.对数的定义 知识知识 技能技能 思想思想 3.两种重要对数、三个结论 2.指数与对数的关系 1.指数与对数互化三步曲 对数产生的必要性 转化、归纳、类比、方程 问题问题7 7：本节课你有什么收获？请从知识、技能、思想方法等方面总结本节课你有什么收获？请从知识、技能、思想方法等方面总结. . 2.对数式求值 定形式、找底数、写结果定形式、找底数、写结果 方法：先将对数式化为指数式，再进行指数运算方法：先将对数式化为指数式，再进行指数运算 六、梳理总结，深化提高六、梳理总结，深化提高 “对数”就在我们身边“对数”就在我们身边 螺
19、旋生长-自然对数 震级划分-常用对数 PH测定-常用对数 音阶变化-其它对数 现实生活中的对数现实生活中的对数 七、课后作业：七、课后作业： 3. 寻找身边的对数. 1. 课本 P P74 A 组 1 . 2 4. 想一想，指数运算有哪些性质？那么对数运算呢？试着写一写你的发现. 2. . 证明： log n a an alog aN = N 对数的出现，本为简化计算，却成为表述自然规律的利对数的出现，本为简化计算，却成为表述自然规律的利 器器. . 现在，它活跃在各个科学领域，你若留心，它就在我们现在，它活跃在各个科学领域，你若留心，它就在我们 的身边的身边 结束语结束语结束语结束语结束语结束语 祝同学们学习进步！祝同学们学习进步！
