1、请大家观察下列图片，找出你知道的曲线！ “嫦娥一号嫦娥一号”探月变轨轨道图探月变轨轨道图 火电厂及核电站的大型冷却塔 高中数学 选修2-1 第三章 南昌二中南昌二中 高鹏高鹏 conic section 复习和准备知识复习和准备知识 1.圆锥 2.圆锥面 母线 圆锥的母线一样长 圆锥曲线的发展史：圆锥曲线的发展史： 1最初发现最初发现 早在公元前5世纪-公元前4世纪，古希腊巧辩学派的数 学家提出了“化圆为方”、“立方倍积”和“三等分任意角” 三大不可能尺规作图问题. 化圆为方问题作一个正方形使其具有给定圆的面积 立方倍积问题作一个立方体使其具有给定立方体两倍体积 三等分任意角问题把一个给定的角
2、分为三个相等的角 欧几里得欧几里得（公元前330-公 元前275，古希腊数学家） 高斯高斯（1777年-1855年， 德国数学家，物理学家） 公元前4世纪古希腊数学家梅内克缪斯在在研 究“立方倍积”问题 ，用平面截不同的圆锥，发 现了圆锥曲线 . 圆锥曲线的发展史：圆锥曲线的发展史： 1最初发现最初发现 梅内克缪斯梅内克缪斯（公元前 375-公元前325，古 希腊数学家） 当时，希腊人对平面曲线还缺乏认识， 上述三种曲线须以“圆锥曲面为媒介得 到，这就是圆锥曲线的“雏形”. 2奠基工作奠基工作 阿波罗尼的著作圆锥曲线论与欧几 里得的几何原本同被誉为古希腊几 何登峰造极之作 ，它将圆锥曲线的性
3、质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余 地. 总而言之，在古希腊对圆锥曲线的 研究就有一个十分清楚的轮廓，只是由 于没有坐标系统，所以在表达形式上存 在着不容忽视的缺陷. 阿波罗尼阿波罗尼（约公元前 262190年，古希腊数 学家，与欧几里得、阿 基米德齐名.） 圆锥曲线的发展史：圆锥曲线的发展史： 思考：灯光发出的光线在纸板留下的类似什么曲思考：灯光发出的光线在纸板留下的类似什么曲 线？试解释以上现象线？试解释以上现象. . 实验及探讨实验及探讨 探讨探讨 用一个不过圆锥面顶点的平面去截一个用一个不过圆锥面顶点的平面去截一个 圆锥面圆锥面，当平面与圆锥面的轴垂直时当平面与圆锥面的轴垂直时，截线截
4、线 （平面与圆锥面的交线平面与圆锥面的交线）是一个是一个圆圆 思考：当改变截面与圆锥面的轴的相对思考：当改变截面与圆锥面的轴的相对 位置时，位置时， 还能得到哪些不同的截线？还能得到哪些不同的截线？ 问题：用问题：用不过不过顶点的平面截圆锥面，顶点的平面截圆锥面， 可能得到哪些曲线？可能得到哪些曲线？ 问题：用问题：用过过顶点的平面截圆锥面，顶点的平面截圆锥面， 可能得到哪些曲线？可能得到哪些曲线？ （1 1）椭圆）椭圆 （2 2）双曲线）双曲线 （3 3）抛物线）抛物线 6BC， 所以点所以点A在以在以B,C为焦点的一个椭圆上运动为焦点的一个椭圆上运动. 研究研究 思考思考: : 将是什么样
5、的轨迹呢？ 时，为平面上的两个定点），（ 常数满足当平面上的点 M FF MFMFM 21 21 例例1.如图，取如图，取 一条拉链，打一条拉链，打 开它的一部分，开它的一部分， 在一边减掉一在一边减掉一 段，然后把两段，然后把两 头分别固定在头分别固定在 点点两点两点，随着，随着 拉链逐渐拉开拉链逐渐拉开 或者闭拢，拉或者闭拢，拉 链头所经过的链头所经过的 点就画出一条点就画出一条 曲线曲线. 例例1.如图，取一条拉链，打开它的一部分，在拉开如图，取一条拉链，打开它的一部分，在拉开 的两边上各选择一点，分别固定在点的两边上各选择一点，分别固定在点F1 ，F2处，处， 随着拉链逐渐拉开或者闭拢
6、，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，M所经过的点就画出所经过的点就画出 一条曲线，试问：这条曲线是什么样的圆锥曲线？一条曲线，试问：这条曲线是什么样的圆锥曲线？ 试说明理由试说明理由. 常数 21 MFMF 双曲线的一支 双曲线的另一支 常数 12 MFMF 一般地，一般地，平面内平面内到两个定点到两个定点F1 ，F2的距离的的距离的差的绝差的绝 对值等于常数对值等于常数（小于小于F1 F2的正数的正数）的点的轨迹叫做）的点的轨迹叫做双曲双曲 线线，两个定点，两个定点F1 ，F2叫做叫做双曲线的焦点双曲线的焦点，两焦点间的距，两焦点间的距 离叫做离叫做双曲线的焦距双曲线的焦距. . 双曲线的定义双曲线
7、的定义: : )20(2| 2121 FFaaMFMF 可以用数学表达式来体现可以用数学表达式来体现: : 3长期停滞长期停滞 在这之后的 13 个世纪里，整个数学界对圆锥 曲线的研究几乎没有什么进展. 圆锥曲线的发展史：圆锥曲线的发展史： 又经过了500年，到了3世纪，希腊数学家帕普 斯在他的著作汇篇中，才完善了关于圆锥曲线 的统一定义，并对这一定理进行了证明。这时，圆 锥曲线的定义和性质才比较完整地建立起来了. 4有所突破有所突破 开普勒开普勒 (1571-1630,德国天文 学家、数学家 ) 德国数学家开普勒继承了哥白尼 的日心说，揭示出行星按椭圆轨道绕 太阳运行，是圆锥曲线摆脱圆锥而成
8、 为自然界中物体运动的普遍形式. 圆锥曲线的发展史：圆锥曲线的发展史： 4有所突破有所突破 伽利略伽利略（1564-1642, 意大利数学家、物理 学家、天文学家） 伽利略得出斜抛运动的轨道是抛物线， 突破了静态圆锥曲线的观念.人们开始感到古 希腊人的证明方法太缺乏一般性，几乎每个 定理都是要想出一个特殊的证明方法.于是， 对圆锥曲线的处理方法开始有了变化. 圆锥曲线的发展史：圆锥曲线的发展史： 5别开生面别开生面 笛卡尔笛卡尔（1596-1650，法国数学家、 物理学家，解析几何创始人） 解析几何的创立，使人们对圆锥曲线的 研究方法不同于以前，而是朝着解析方法的 方向发展.即建立坐标系，得出
9、圆锥曲线的方 程，再利用方程研究圆锥曲线的性质，以摆 脱几何直观而达到抽象化的目标，也可以求 得对圆锥曲线研究的高度概括与统一.在这方 面，笛卡儿等解析几何的鼻祖作出了巨大的 贡献. 圆锥曲线的发展史：圆锥曲线的发展史： 5别开生面别开生面 圆锥曲线的发展史：圆锥曲线的发展史： 6系统总结系统总结 牛顿牛顿（1643-1727， 英国物理学家，数 学家） 伯努利伯努利（1623- 1708，瑞士数学 家） 18世纪，牛顿、伯努力和等先后提出不同的坐标系，尤其影 响深刻的是极坐标系，随着坐标系的系统化，关于圆锥曲线性质 研究逐渐系统化起来. 圆锥曲线的发展史：圆锥曲线的发展史： 6系统总结系统总
10、结 欧拉欧拉（1707-1783，瑞士 数学家、自然科学家） 欧拉1745年发表的分析引 论，被誉为解析几何发展史 上的重要著作，系统地研究了 圆锥曲线的各种情形，并证明 通过坐标变换，一定可以把任 何圆锥曲线化为某种标准形式. 圆锥曲线的发展史：圆锥曲线的发展史： 欧拉之后，三维解析几何的研究 蓬勃开展，由圆锥曲线导出了圆 锥曲面.至此，关于圆锥曲线的理 论被广泛应用，直至今天. “嫦娥一号嫦娥一号”探月变轨轨道图探月变轨轨道图 火电厂及核电站的冷却塔 冷却塔的轴截面是冷却塔的轴截面是双曲线双曲线，从底部到中部直径变小，是将，从底部到中部直径变小，是将 蒸汽抽到塔内，防止底部逸出，而上部直径
11、变大，可以降蒸汽抽到塔内，防止底部逸出，而上部直径变大，可以降 低上升到顶部热气的流动速度，从而降低抽力，使蒸汽尽低上升到顶部热气的流动速度，从而降低抽力，使蒸汽尽 可能的留在塔内，提高冷却回收率可能的留在塔内，提高冷却回收率. 数学史数学史圆锥曲线的发展史圆锥曲线的发展史 小结小结 1. 在在ABC中，中，BC= =2，| 1ABAC，那么点，那么点 A 在怎样的曲线上运动？在怎样的曲线上运动？ 2. 已知已知ABC中，中，BCBC长为长为 6 6，周长为，周长为 1616，那么顶点，那么顶点A A怎样的曲线上运动？怎样的曲线上运动？ 3. 如图，圆如图，圆 1 F在圆在圆 2 F的内部，且点的内部，且点 1 F， 2 F不重合不重合. . 求证：与圆求证：与圆 1 F外切，且与圆外切，且与圆 2 F内切的圆的圆心内切的圆的圆心 C 的的 轨迹是轨迹是椭圆椭圆. . 4.（探究题）将一个半径为（探究题）将一个半径为 R 的篮球放在地面上，被阳的篮球放在地面上，被阳 光斜照留下的影子是椭圆光斜照留下的影子是椭圆. . 如果将光源换成电光源，如果将光源换成电光源， 那么影子可能是抛物线吗？那么影子可能是抛物线吗？ 课后作业课后作业
