1、微专题动点产生的面积问题微专题动点产生的面积问题函数微技能函数微技能一阶一阶例例1(1)如图，在平面直角坐标系中，点如图，在平面直角坐标系中，点B(2，0)，点，点C(3，2)，求，求OBC的面积；的面积；例1题图B(2，0)，C(3，2)，OB2，CD2，SOBC OBCD 222.1212例1题例图D解：解：(1)如图，过点如图，过点C作作CDx轴于点轴于点D，(2)如图，在平面直角坐标系中，如图，在平面直角坐标系中，ABC三个顶点的坐标分别为三个顶点的坐标分别为A(3，4)、B(3，1)、C(1，2)，求，求ABC的面积；的面积；例1题例图A(3，4)，B(3，1)，C(1，2)，CD2
2、，SABCABCD (41)23.12(2)如图，过点如图，过点C作作CDAB于点于点D，D(3)如图，在平面直角坐标系中，点如图，在平面直角坐标系中，点A(1，3)，B(3，0)，C(5，4)，求，求ABC的面积；的面积；例1题图设直线设直线AC的表达式为的表达式为ykxb(k0)，将点，将点A(1，3)、C(5，4)代入，代入，得得 解得解得直线直线AC的表达式为的表达式为y x .点点B(3，0)，当当x3时，时，y .则点则点D的坐标为的坐标为(3，)SABC BD|xCxA|51|7141147212727212=35=4kbkb 11=4114kb 例1题图(3)方法一：【分割法】
3、如图，过点方法一：【分割法】如图，过点B作作y轴的平行线交线段轴的平行线交线段AC于点于点D.A(1，3)，B(3，0)，C(5，4)，SABCS梯形梯形AEFCSABESBCF (34)(51)(31)3 (53)47.121212方法二：【补全法】如图，过点方法二：【补全法】如图，过点A，C作作x轴的垂线，垂足分别为点轴的垂线，垂足分别为点E，F.FE例1题图(4)如图，在平面直角坐标系中，点如图，在平面直角坐标系中，点A(1，3)，B(3，0)，C(5，4)，求四，求四边形边形AOBC的面积的面积例1题图(4)如图，连接如图，连接AB，过点，过点A作作ADx轴于点轴于点D，过点，过点C作
4、作CEx轴于点轴于点E.例1题图FE点点A(1，3)，B(3，0)，C(5，4)，DE|xCxA|4，BE|xCxB|2.S四边形四边形AOBCSAODS四边形四边形ADECSCBE 13 (34)4 42 .1212122321.直接公式法：适用于三角形的一边平行于坐标轴直接公式法：适用于三角形的一边平行于坐标轴(或在坐标轴上或在坐标轴上)，直，直接运用三角形的面积公式接运用三角形的面积公式S ABh求解求解12满 分 技 法满 分 技 法2.分割法：分割法：SABC ah，即三角形面积等于水平宽和铅锤高乘积的一，即三角形面积等于水平宽和铅锤高乘积的一半半满 分 技 法满 分 技 法123.
5、补全法：补全法：SABCS四边形四边形ADECSADBSBEC，即将三角形补成一个，即将三角形补成一个规则的图形再求解规则的图形再求解满 分 技 法满 分 技 法4.对于一边在坐标轴上对于一边在坐标轴上(或一边平行于坐标轴或一边平行于坐标轴)的四边形，可连接一条的四边形，可连接一条对角线，将四边形分割成两个三角形来解决，其中一个三角形一边在对角线，将四边形分割成两个三角形来解决，其中一个三角形一边在坐标轴上坐标轴上(或一边平行于坐标轴或一边平行于坐标轴)另一个三角形的三边都不在坐标轴上另一个三角形的三边都不在坐标轴上(或三边都不平行于坐标轴或三边都不平行于坐标轴)例例2 如图，在平面直角坐标系
6、中，直线如图，在平面直角坐标系中，直线yx3与与x轴交于点轴交于点A，与，与y轴交于点轴交于点C，抛物线，抛物线yx22x3经过经过A，C两点，与两点，与x轴的另一个交点为轴的另一个交点为B.(1)如图，若点如图，若点P为抛物线上一点，且点为抛物线上一点，且点P的横坐标为的横坐标为2，连接，连接PA，PC.求求PAC的面积；的面积；突破设问突破设问二阶二阶一题多设问一题多设问例2题图【思维教练】根据抛物线与直线表达式求出三【思维教练】根据抛物线与直线表达式求出三角形的顶点坐标，进而求解；角形的顶点坐标，进而求解；解：解：(1)直线直线yx3交交x轴于点轴于点A，交，交y轴于点轴于点C，令令x0
7、，则，则y3；令；令y0，则，则x3，A(3，0)，C(0，3)抛物线的表达式为抛物线的表达式为yx22x3，抛物线的对称轴为直线抛物线的对称轴为直线x1，点点P的横坐标为的横坐标为2，点点P和点和点C关于抛物线的对称轴对称，关于抛物线的对称轴对称，PCx轴，轴，PC2.PC边上的高为边上的高为OC3.SPAC PCOC 233；1212例2题图例2题图【思维教练】根据【思维教练】根据S四边形四边形PAOCSPACSAOC求解求解求四边形求四边形PAOC的面积；的面积；解法一：由解法一：由(1)可知，可知，SPAC3，A(3，0)，C(0，3)AO3，OC3.SAOC AOOC 33 .S四边
8、形四边形PAOCSPACSAOC3 ；解法二：由可知，解法二：由可知，PCx轴，轴，PC2，PC边上的高为边上的高为OC3.S四边形四边形PAOCS梯形梯形PAOC (PCOA)OC (23)3 ；152921212921212152(2)点点D为抛物线的顶点，为抛物线的顶点，DE是抛物线的对称轴，点是抛物线的对称轴，点E在在x轴上，在抛物轴上，在抛物线上是否存在点线上是否存在点Q，使得，使得QAE的面积与的面积与CBE的面积相等，若存在，的面积相等，若存在，请你求出点请你求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；的坐标；若不存在，请说明理由；例2题图【思维教练】因为【思维教练】因为QAE和和CB
9、E的底边的底边AEBE，所以只需高相等即可得到面积相等所以只需高相等即可得到面积相等(2)存在，如解图，由题意，得存在，如解图，由题意，得AEBE，OC3，当当QAE的边的边AE上的高为上的高为3时，时，QAE的面积与的面积与CBE的面积相等的面积相等当当y3时，时，x22x33，解得，解得x12，x20，点点Q的坐标为的坐标为(2，3)或或(0，3)；当当y3时，时，x22x33，解得，解得x1 ，点点Q的坐标为的坐标为(1 ，3)或或(1 ，3)综上所述，点综上所述，点Q的坐标为的坐标为(2，3)或或(0，3)或或(1 ，3)或或(1 ，3)77777例2题解图(3)若点若点P为抛物线第二
10、象限上一点，是否存在点为抛物线第二象限上一点，是否存在点P，使得，使得SPAC SABC，若存在，请你求出点若存在，请你求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由；的横坐标；若不存在，请说明理由；例2题图【思维教练】因为【思维教练】因为SPAC可以用含字母的式子表示出来，所以本题可转可以用含字母的式子表示出来，所以本题可转化为一元二次方程求解问题化为一元二次方程求解问题12(3)存在，点存在，点P的横坐标为的横坐标为2或或1；如图，过点如图，过点P作作PFx轴于点轴于点F，交，交AC于点于点N.例2题图FN121212设点设点P的坐标为的坐标为(m，m22m3)，直线直线AC的表达式为的表达式为y
11、x3，点点N的坐标为的坐标为(m，m3)PNm22m3(m3)m23m.SPACSPANSPCN PNAF PNFO PN(AFFO)OAPN 3(m23m)m2 m.12123292由由(1)可知点可知点A的坐标为的坐标为(3，0)，点，点B的坐标为的坐标为(1，0)，点点C的坐标为的坐标为(0，3)，AB4，OC3.SABC ABOC 436.SPAC SABC 63.m2 m3.解得解得m2或或1.当当SPAC SABC时，点时，点P的横坐标为的横坐标为2或或1.1212121212329212例2题图FN(4)若点若点R是抛物线上的一点，且位于对称轴的左侧，是否存在点是抛物线上的一点，
12、且位于对称轴的左侧，是否存在点R，使，使得得SRBC ，若存在，请你求出点，若存在，请你求出点R的坐标；若不存在，请说明理由；的坐标；若不存在，请说明理由；92【思维教练】假设点【思维教练】假设点R存在，过点存在，过点R作作BC的垂线交的垂线交BC于于点点K，则则 BCRK ，由于点由于点R、K坐标不易求得，可考虑作坐标不易求得，可考虑作RHy轴交轴交BC的延的延长线于点长线于点F，利用利用RKFBOC的性质，列等量关系式求解的性质，列等量关系式求解9212例2题图(4)存在假设存在点存在假设存在点R，使得，使得SRBC ，如解图，连接，如解图，连接BC，过点，过点R作作RKBC，交，交BC的
13、延长线于点的延长线于点K，作，作RHy轴，交轴，交x轴于点轴于点H，交，交BC的的延长线于点延长线于点F，连接，连接RC，RB.RHy轴，轴，RKBC，FBCO，RKFBOC90.RKFBOC.BCRKBORF.又又SRBC ，BO1，92RKRFBOBC=92例2题解图 BCRK BORF .RF9.由由B(1，0)，C(0，3)可求出直线可求出直线BC的表达式为的表达式为y3x3，设设R(x，x22x3)，则，则F(x，3x3)，RF3x3(x22x3)x2x9.解得解得x1 ，x2 (不合题意，舍去不合题意，舍去)，当当x 时，时，yR(，)存在点存在点R，使得，使得SRBC ，此时点，
14、此时点R的坐标为的坐标为(，)；1212921372-1+37,23 3715,2-1372-1372-3 37152-921372-3 37152-例2题解图(5)在直线在直线AC上方的抛物线上，是否存在一点上方的抛物线上，是否存在一点M，使四边形，使四边形MABC的面的面积最大？若存在，请你求出点积最大？若存在，请你求出点M的坐标；若不存在，请说明理由的坐标；若不存在，请说明理由【思维教练】【思维教练】ABC面积一定，所以求四边形面积一定，所以求四边形MABC面积最大值，即面积最大值，即为求为求MAC面积的最大值面积的最大值.要使要使MAC的面积最大，可先把的面积最大，可先把MAC的的面积
15、用含字母的式子表示出来，再利用面积用含字母的式子表示出来，再利用二次函数的性质讨论其最值，二次函数的性质讨论其最值，进而求得进而求得 M点坐标点坐标例2题图(5)存在点存在点M，使四边形，使四边形MABC的面积最大，的面积最大，如解图，过点如解图，过点M作作MNy轴，交轴，交AC于点于点N，连接，连接MA，MC，BC，S四边形四边形MABCSMACSABC，SABC一定，一定，四边形四边形MABC面积最大时，即为面积最大时，即为MAC的面积最大的面积最大设设M(x，x22x3)，则，则N(x，x3)，MNx22x3(x3)x23x.SMACSAMNSCMN MNOA (x23x)3 (x )2 .12123227832例2题解图 0，3 0，当当x 时，时，SMAC的值最大，即四边形的值最大，即四边形MABC的面积最大，的面积最大，此时此时y()22()3 .当四边形当四边形MABC面积最大时，点面积最大时，点M的坐标为的坐标为(，)323232154154323232例2题解图
