1、试卷第 1 页（共 4 页）试卷第 2 页（共 4 页） 2021届高三第一学期期中联考数学（理）试卷2021届高三第一学期期中联考数学（理）试卷 第卷（选择题，共 60 分） 一.选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，有且只有 一项是符合题目要求的 ） 第卷（选择题，共 60 分） 一.选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，有且只有 一项是符合题目要求的 ） 1.设|13 ,|lg(32 )AxxBxx1，则BA（） A.）（ 2 3 ,B.) 2 3 , 1 C.) 2 3 , 1（D.3 2
2、3， （ 2.下列说法正确的是() A.函数 1 ( )f x x 既是奇函数又在区间）（0 ,上单调递增 B.若命题p， q 都是真命题，则命题“p q ”为真命题 C.命题“若0 xy ，则0 x 或0y ”的否命题为“若0 xy ，则0 x 或0y ” D.命题“,20 x xR ”的否定是“,20 x xR ” 3.已知函数( )2xf x ， 2 ( )g xxa，若1)1 (gf，则 a （） A-1B1C2D3 4.已知,26log5a 5 9b， 9 . 0 6 . 0c，则（） A.abcB.acbC.bacD.bca 5. 函数 2 sin 1 x yx x 的部分图像大致
3、为（） ABCD 6.若），（ 2 ，且) 4 sin(22cos3 ，则2cos（） A. 9 24 B. 9 24 C. 9 7 D. 9 7 7.将函数) 6 2cos()( xxf的图象向右平移 3 个单位，得到函数)(xgy 的图象，那么下列 说法正确的是（） A.函数)(xg的最小正周期为2B.函数)(xg是偶函数 C.函数)(xg的图象关于直线-12x 对称D.函数)(xg的图象关于点 0 3 ， 对称 8.若命题“ 2 1 ,2,210 2 xxax ”是真命题，则实数a的取值范围为（） A.），（ 4 5 B.），（ 4 5 C.），（1D.），（1 9.已知奇函数)(,)(
4、 23 xfcbxaxxxf图象在点），（)2(2f处的切线过点），（ 41，则b （） A.2B.8C.4D.5 10.设函数 1 ax f xxe x 在(0,)上有两个零点，则实数a的取值范围（） A 2 , e B1,eC 1 2 , e e D 2 0, e 11.已知, ,a b e 是平面向量，e 是单位向量，若非零向量a 与e 的夹角为 3 ，向量b 满足 2 430be b ，则ab 的最小值是（） A. 13 B. 13 C.2D. 32 12. 已 知 函 数), 0(, 1 ln)(kx x x k e xf k ， 曲 线( )yf x上 总 存 在 两 点 1122
5、 ( ,),(,)M x yN xy（ 12 xx）使曲线( )yf x在,M N两点处的切线互相平行，则 12 x x （） A. ， e 2 B. ， e 2 C.），（ 2 e 4 D. ， 2 e 4 第卷（非选择题，共 90 分） 二.填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。将答案填在答题卡上的相应位置） 第卷（非选择题，共 90 分） 二.填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。将答案填在答题卡上的相应位置） 13.已知向量, a b 的夹角为 0 60，且 2,1ab ，则2ab . 试卷第 3 页（共 4 页）试卷第 4 页（共 4 页） 1
6、4.已知函数 2 3 ( )log (45)f xxx，则函数( )f x的单调递减区间为_. 15.已知函数( )f x是定义在R上的奇函数，且( 3)0f ，若对任意的 12 ,0 x x ，当 12 xx时，都有 1122 12 ()() 0 x f xx f x xx 成立，则不等式( )0 xf x 的解集为_. 16. 已 知 函 数 cos ,2,2)() 22 3 cos ,2,2)() 22 x xkkkz y x xkkkz 的 图 象 与 直 线)2( xmy （0m ）恰有四个公共点 11223344 ( ,), (,),(,),(,)A x yB xyC xyD xy
7、，其中 1 x 2 x 3 x 4 x， 则 44 tan2xx）（. 三.解答题（本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ） （一）必考题，共 60 分 三.解答题（本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ） （一）必考题，共 60 分 17.（12 分）设命题p：实数x满足 2 (21)20 xaxa，其中0a ， 命题q：实数x满足32x （1）若1a ，且p q 为真，求实数x的取值范围. （2）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 18. （12 分）已知cba,分别是ABC内角, ,A B C的对边，且满足
8、coscossin3 cosbCcBBbA （1）求角A的大小； （2）设3a，S为ABC的面积，求3coscosSBC最大值 19.（12 分）已知向量(cos(),2sin ),(2sin ,cos() 2 axx bxx ，设函数( )1-f xa b . （1）求)(xfy 的单调递增区间； （2）将函数)(xf的函数图像向左平移 4 个单位后得到)(g x的图像，若关于x的方程 )()(mxgxf 3 2 , 6 x有两个不同的实根，求m的取值范围. 20.(12 分）已知函数 22 ( ) x f xeaxe x. 1若曲线( )yf x在点 (2,2 )f处的切线平行于x轴,求函
9、数 ( )f x的单调区间； 2若0,1x时,总有 2 ( )1 x f xxee x,求实数a的取值范围. 21.（12 分）已知函数 x a xxxf ln)(（Ra）. （1）若函数)(xf在1,上为增函数，求a的取值范围； （2）若函数xxaxxfxg 2 ) 1()()(有两个不同的极值点，记作 21,x x，且 1 x 2 x， 证明： 2 21 xx 3 e（e为自然对数的底数）. （二）选考题：共 10 分，请考生在 22.23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计 分。 （二）选考题：共 10 分，请考生在 22.23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计
10、 分。 22.（10 分）选修 4-4；坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程 ty tx 2 1 1 2 3 2 （t为参数） ，以坐标原点为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为cos4. （1）求曲线 1 C的普通方程和 2 C的直角坐标方程； （2）已知点），（ 12P，曲线 1 C与 2 C的交点为, ,A B求PBPA -的值. 23.（10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数222)(axxxf. （1）当1a时，求不等式2)(xf的解集； （2）若存在)3 , 1 (x，使不等式)(xfx2成立，求a的取值范围. 数学（
11、理科）答案 一、选择题一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D B A B B C A B D A C 二、填空题二、填空题 13.2 14.(2,5)( 2,5 也给分） 15. , 33, U 16 . 1- 三、解答题 三、解答题 17. 解：（1）1a时， qp 为真 p 为真：21023 2 xxx.3 分 q 为真： 3215xx 5 分 所以 qp 为真：21 x .6 分 （2）0) 1)(2( :pxax 51q x： 8 分 因为 q 是 p 的充分不必要条件 所以25a 即 5 2 a 12 分 18. 解：（1）：AbBBcC
12、cos3sincosbcos 由正弦定理知: ABBBCCcossin3sincossinsinBcos .2 分 ABBCBcossin3sin)(sin 3 分 因为 A、B、C 是三角形内角 所以 3Atan即 3 2 A 6 分 （2）因为 2 sinsinsin C c B b A a 所以 Bsin2b Ccsin2.8 分 CBAbc CB coscos3sin 2 1 coscos3S . CBCBcoscos3sinsin3 .10 分 3)cos(3CB .11 分 所以 3coscos3S m a x CB.12 分 19. 解：（1） ( )1f xa b r r g
13、2 12sin cos2sin sin2cos22 2sin(2)2 4 xxx xx x 4 分 22, 242 kxkkz 3 , 88 kxkkz 所以 )(fyx 的增区间是 3 88 kkkz ，6 分 (2) 由题意知： ( )2 s i n2 ()2 co s ( 2)2 444 g xxx .8 分 ( )( )2sin(2)2cos(2)2cos2 44 mf xg xxxx .10 分 因为 3 2 , 6 x 所以 3 4 , 3 2 x 因为 方程有两个不同的实根 所以 m1,2 12 分 20. 1由 2 ( )2 x fxeaxe得: ( )yf x在点 (2,2
14、)f处的切线斜率40ka，则0a .2 分 此时 2 ( ) x f xee x， 2 ( ) x fxee. 由( )0fx ，得2x . .3 分 当,2x 时， ( )0fx ， ( )f x在 ,2上单调递减； 当2,x时,( )0fx ， ( )f x在 2,上单调递增. .5 分 2由 2 ( )1 x f xxee x得: 2 (1)10 x xeax . 设 2 ( )(1)1 x g xxeax，) 1(0 x，则( )(2 ) x g xx ea. .6 分 (01)xQ， 1 x ee . 当21a ，即 1 2 a 时，( )0g x ，( )g x在(0 ) 1 ，上
15、单调递增， ( )00g xg，不合要求，应舍去. 当2ae，即 2 e a 时，)(0g x ，( )g x在(0 ) 1 ，上单调递减， ( )00g xg，满足要求. 当12ae，即 1 22 e a时，令( )0g x 得(2 )xlna. 当0(2 )xlna时，( )( )g xg x ，0在(0(2 )lna，上单调递减;当(2 )1lnax时， ( )0( )g xg x ，在( (2 )1)lna ，上单调递增. 0011gga Q，令 110ga 得1 2 e a. .11 分 综合得，a的取值范围为1)，. .12 分 21.解： （1）由题可知，函数)(f x的定义域为
16、），（0 2 22 1 f ( )1 x axxa x xx 1 分 所以 0)( x f 在区间 ，1 上恒成立 即 2 min axx 3 分 而 xxx 2 )(f 在 ， 2 1 - 上单调递增,1x 时2ymin4 分 （2）由题意得 xaaxxxx 2 ln)(g 则 axxx2ln)(g 因为 )(g x有两个极值点 21,x x 所以 11 2lnaxx ， 22 2lnaxx 5 分 则 2 1 21 ln 2() x x a xx 要证 32 21 exx即证3ln 2 21 xx 即 3ln2ln 21 xx 则 2 3 2 21 axax 7 分 因为 21 0 xx
17、所以 原不等式为 21 42 3 xx a 即 2112 1 2 42 3 )(2 ln xxxx x x 即 2 1 2 2 1 1 31 ln 21 x xx x x x 8 分 令 ) 1( 1 2 t x x t 则 12 13 ln t t t 9 分 令 1, 12 13 ln)( t t t tth 即证 0)(th 在 ），（1上恒成立即可， 10 分 因为 1, 12 ) 14(1 )( 2 t tt tt th 所以 )(th 在），（1上单调递增 0) 1 ()( hth 原不等式 32 21 exx得证 .12 分 22.解： （1）将曲线 C1的参数方程 ty tx
18、2 1 1 2 3 2 (t 为参数),消参得曲线 C 的普通方程 为0323xy 2222 =4cos =4 cos,=x +y , cos =x得将代入 得 4)2( : 22 2 yxC 5 分 (2)将曲线 C1的参数方程 ty tx 2 1 1 2 3 2 (t 为参数)，代入4y2- 2 2 x 整理得： 2 30tt 设 A，B 对应的参数分别为 21 tt,则 12 1tt 3t 21 t 由（1）知 C2 是以02，圆心，半径为 2 的圆，且12p ，在圆内 所以 12 tt异号 所以 PBPA -=1 21 tt10 分 23.(1)当1a 时 ，2222xx 6x 06 1 x x 12 2 2 3203 x x x 2 02 2 x x x 所以不等式的解集为： 3 2 6xxx或5 分 (3) ) 3 , 1 (x,xaxxxf2222x2)(即 即 xax22-22x 22 ax x a 4 0 所以40a10 分
