人教A版高中数学选修2-2《数学归纳法》教学设计.docx

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1、 2 2. .3 3 数学归纳法教学设计数学归纳法教学设计 一、一、 【教材分析教材分析】 本节课选自普通高中课程标准实验教科书数学选修 2-2(人教 A 版) 第 二章第三节2.3 数学归纳法 。在之前的学习中,我们已经用不完全归纳法得出 了许多结论,例如某些数列的通项公式,但它们的正确性还有待证明。因此,数 学归纳法的学习是在合情推理的基础上, 对归纳出来的与正整数有关的命题进行 科学的证明,它将一个无穷的归纳过程转化为有限步骤的演绎过程。通过把猜想 和证明结合起来,让学生认识数学的本质,把握数学的思维。本节课是数学归纳 法的第一课时,主要让学生了解数学归纳法的原理,并能够用数学归纳法解决

2、一 些简单的与正整数有关的问题。 二、 【学情分析二、 【学情分析】 我校的学生基础较好,思维活跃。学生在学习本节课新知的过程中可能存在 两方面的困难:一是从“骨牌游戏原理”启发得到“数学方法”的过程有困难; 二是解题中如何正确使用数学归纳法,尤其是第二步中如何使用递推关系, 可能 出现问题。 三、 【三、 【策略分析策略分析】 本节课中教师引导学生形成积极主动,勇于探究的学习精神,以及合作探究 的学习方式;注重提高学生的数学思维能力;体验从“实际生活理论实际应 用”的过程;采用“教师引导学生探索”相结合的教学方法,在教与学的和谐 统一中,体现数学的价值,注重信息技术与数学课程的合理整合。 四

3、、 【教学目标】四、 【教学目标】 (1)知识与技能目标: 理解数学归纳法的原理与实质,掌握数学归纳法证题的两个步骤; 会用数学归纳法证明某些简单的与正整数有关的命题。 (2)过程与方法目标: 努力创设愉悦的课堂气氛,使学生处于积极思考,大胆质疑的氛围中,提高 学生学习兴趣和课堂效率,让学生经历知识的构建过程,体会归纳递推的数 学思想。 (3)情感态度与价值观目标: 通过本节课的教学,使学生领悟数学归纳法的思想,由生活实例,激发学生学 习的热情, 提高学生学习的兴趣, 培养学生大胆猜想, 小心求证, 以及发现问题、 提出问题,解决问题的数学能力。 五、 【教学重难点】五、 【教学重难点】 教学

4、重点:借助具体实例了解数学归纳法的基本思想,掌握它的基本步骤, 能熟练运用它证明一些简单的与正整数 n 有关的数学命题; 教学难点:数学归纳法中递推关系的应用。 六、 【教学方法与工具】六、 【教学方法与工具】 教法指导:本节课采用的教学方法是“启、思、演、练、结”五字教学法, 即:以具体的例子引入课题,启发学生想去了解归纳法;通过提出问题、创 设情景,引导学生积极思考;借助电脑的动画演示,提高直观性与趣味性, 延长学生有意注意的时间;教学中,及时精选一些练习帮助学生巩固与强化 知识,而“结”则包含两方面的内容(1)授课中教师的及时小结与点拨(2) 听课时学生的自我小结与巩固。 学法指导: (

5、1)学习要求:课前预习教材中有关内容;听课时积极思考 大胆质疑;课后及时完成课外作业。 (2)指导措施:通过设置问题情景, 激发学生大胆思考;由具体的事例吸引学生注意,通过直观模型演示,化抽 象为具体,突破教学难点;借助电脑声像效果,营造愉悦课堂氛围,提高学 习兴趣。 教学手段:多媒体辅助课堂教学。 七、 【教学过程】七、 【教学过程】 一、创设问题情境,启动学生思维(说明引入数学归纳法的必要性) (情景一)某人看到树上友已值乌鸦,深有感触“天下乌鸦一般黑。 ”这个结论 是否正确呢? (情境二)在数列 n a中,已知1 1 a,)( 1 * 1 Nn a a a n n n ,发现 1 1 1

6、 a, 2 1 2 a, 3 1 3 a, 4 1 4 a,由此猜想数列的通项公式为)( 1 * Nn n an.这 个结论可靠吗?怎样才能说明其正确性? 【设计意图: 】为了引入本节课的问题,首先复习之前学过的知识,承上启下。 以上两个情境都是不完全归纳法的体现,发现其结果不一定正确,而这里实际上 体现了数学中的归纳思想。归纳法分为“不完全归纳法(只验证几个个体成立, 得到一般性结论,但结论不一定正确) ”和“全归纳法(验证每个个体都成立, 得到一般性结论,其结论一定正确) ” 。 二、搜索生活实例,激发学生兴趣 【实例: 】播放多米诺骨牌的游戏视频 【探究: 】多米诺骨牌全部倒下的条件 【

7、分析: 】 (实验一: )在该实验中,骨牌的间距合适。用手推第一块骨牌,但没 有推倒,第二块骨牌,第三块骨牌、 、 、自然也没有倒下,游戏失败; (实验二: )在该实验中,骨牌间距出现分化,使第一块骨牌和第二块 骨牌间距足够大,其他间距不变。这时用手推倒第一块骨牌,但第二 块没倒下,第三块、第四块也没有倒下,游戏失败。此时让学生对比 实验一实验,分析原因; (实验三: )在该实验中用手推倒第一块骨牌,然后第二块骨牌、 、 、全部骨牌依 次倒下; 【设计意图: 】通过三个不尽相同而又密切相关的实验,旨在引导学生从不同角 度,对比感悟数学原理,实现学生思维由隐形到显性,由模糊到清晰,由片面到 完整

8、的过渡。 三、立足生活,点燃思维的火花 (由多米诺骨牌游戏的原理启发学生探索数学方法,解决情境二的问题。 ) 第一块骨牌必须要倒下 任意相邻的两块骨牌,若前一块 倒下,则后一块也倒下 当 1n 时,猜想成立 任意相邻的两项,假设 kn时,猜 想成立,即)( 1 * Nk k ak, 时:1则当kn )( 1 1 1 1 1 1 * 1 Nk k k k a a a k k k 即当1kn时猜想成立 发现, 对任意的正整数 n 猜想都成立, 即该数列的通项公式是)( 1 * Nk n an 四、师生合作,形成概念。 一般地,证明一个与正整数 n 有关的命题,可以按照以下步骤进行: (1) (归纳

9、奠基)证明当 n 取第一个值 0 n( * 0 Nn)时命题成立; (2)(归纳递推) 假设),( * 0 Nknkkn时命题成立, 证明当1kn 时 命题也成立。 完成这两个步骤后, 就可以断定命题对从 0 n开始的所有正整数n都成立。 上述这种证明方法叫做数学归纳法数学归纳法。 【问题一: 】在上面第一步中,n 是否必须从 1 开始取值?若不是,用反例说 明。 五、讲练结合,巩固概念 【例: 】用数学归纳法证明 2 )12(.531nn 都成立。),可知等式对2)和(1根据( 时等式成立1 右边)1( 2 )1)(12(1 )12(531左边 时,1则当 )12(531 时等式成立,即:)

10、(假设)2( ,等式成立;1,右边1时,左边1)当1( 证明: * 2 2 * Nn kn k kk k kn kk Nkkn n 【问题二: 】在证明过程中,发现有的同学是如下这样证明的:他的做法对吗? 证明: (1)当1n时,左边=1,右边=1,则等式成立; (2)假设kn时,等式成立,即 2 )12(.531kk, 则当1kn时,有 2 )1()12(1 )12(.531 kk k 即当1kn时,等式也成立, * Nn,等式成立。 错因:第 k+1 步的结论不是以第 k 步为条件得出的,证明过程中没有用到第二 步的归纳递推,因此得到的结果未必正确。 改正: 1kn时,有 )12(.531

11、k )12()12(.531kk )12( 2 kk 2 )1(k 即当1kn时,等式也成立。 【设计意图: 】本题考查数学归纳法的证明过程。首先,教师将一道题目用数学 归纳法完整的证明出来;然后再让学生当“小老师” ,寻找另外一种证明过程中 的错误,通过纠错这一思维过程,澄清了学生对知识点的模糊认识, “先正后反” 有助于学生全面认识数学归纳法。 【练习】用数学归纳法证明: )( 6 )12)(1( .321 *2222 Nn nnn n 证明:(1)当1n时,左边:112,右边:1 6 )12()11(1 左边=右边,等式成立。 (2)假设当)( * Nkkn时等式成立,即 )( 6 )1

12、2)(1( .321 *2222 Nk kkk k 则当)( 1 * Nkkn时, 22222 )1(.321左边kk 2 )1( 6 )12)(1( k kkk )( 6 )32)(2)(1( * Nn kkk =右边 即当1kn时,等式也成立 * Nn等式成立。 【设计意图: 】让学生自己尝试用数学归纳法证明之前学习中给出的公式正 整数的平方和公式,加深了学生对已学知识的认识。 六、回顾总结,反思提高 (1) 数学知识:数学归纳法两个步骤一个结论; (2) 数学方法:数学归纳法(证明某些与正整数有关的命题) ; (3) 数学思想:归纳思想、递推思想。 七、分层作业 2.3 数学归纳法课后练

13、习题 一、选择题 用数学归纳法证明等式 * (n 3)(n 4) 123(n 3)(nN ) 2 时, 第一步验证 n=1 时,左边应取的项是(D) 1 .1+2 .1+2+3 .1+2+3+4 【命题意图: 】考查数学归纳法的“归纳奠基”这一步,让学生能正确判断,n 取初始值时等式左边的项有哪些,而未必一项。本题是属于基础题,必做题。 用数学归纳法证明(n 1)(n 2)(n 3) (n n)21 2 3(2n 1) n 时,从 k 到 k+1 时,左端需增乘的代数式为( B ) A2 1k B2(2k 1) C 21 1 k k D 23 1 k k 【命题意图: 】考查数学归纳法的“归纳

14、递推”这一步,训练学生寻找第 k 步与 第 k+1 步之间的关系 ,必做题。 二、填空题 用数学归纳法证明 3 3n n 时,第一步应验证 答案:n=3 时,不等式是否成立 【命题意图: 】考查数学归纳法的第一步,必做题。 已 知)( 1 . 3 1 2 1 1)( * Nn n nf, 用 数 学 归 纳 法 证 明 2 )2( n f n 时, )2()2( 1kk ff 答案: 1 2 1 . 22 1 12 1 kkk 【命题意图: 】考查学生寻找数学归纳法的证明过程中第 K 步与第 K+1 步的关系 并且使学生发现,由第 k 步到第 k+1 步之间未必只有一项,必做 题。 三、解答题

15、 用数学归纳法证明: 12)12)(12( 1 . 75 1 53 1 31 1 n n nn 【命题意图: 】考查数学归纳法的证明过程,必做题。 由下列不等式: 2 1 1 , 2 2 3 1 2 1 1, 2 3 7 1 . . . 3 1 2 1 1 , 2 15 1 . 3 1 2 1 1 , 你能猜想一个怎样的结论?并加以证明。 【命题意图: 】 本题首先考查了之前学过的知识 “归纳推理” , 让学生体验从 “特 殊到一般”的思维过程。引导学生先大胆猜想,然后按照猜想的方向,用数学 归纳法,大胆的尝试证明。让学生在解题中充分的体验“归纳猜想证明” 的乐趣,体会成功的喜悦!属于提高题,选做题。 八、板书设计 2、3 数学归纳法 数学归纳法: 【例】 证明: 【练】 证明: (学生板演) 课堂小结: (1) 、 、 、 (2) 、 、 、 (3) 、 、 、

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