1、 2 2. .3 3 数学归纳法教学设计数学归纳法教学设计 一、一、 【教材分析教材分析】 本节课选自普通高中课程标准实验教科书数学选修 2-2（人教 A 版） 第 二章第三节2.3 数学归纳法 。在之前的学习中，我们已经用不完全归纳法得出 了许多结论，例如某些数列的通项公式，但它们的正确性还有待证明。因此，数 学归纳法的学习是在合情推理的基础上， 对归纳出来的与正整数有关的命题进行 科学的证明，它将一个无穷的归纳过程转化为有限步骤的演绎过程。通过把猜想 和证明结合起来，让学生认识数学的本质，把握数学的思维。本节课是数学归纳 法的第一课时，主要让学生了解数学归纳法的原理，并能够用数学归纳法解决
2、一 些简单的与正整数有关的问题。 二、 【学情分析二、 【学情分析】 我校的学生基础较好，思维活跃。学生在学习本节课新知的过程中可能存在 两方面的困难：一是从“骨牌游戏原理”启发得到“数学方法”的过程有困难； 二是解题中如何正确使用数学归纳法，尤其是第二步中如何使用递推关系， 可能 出现问题。 三、 【三、 【策略分析策略分析】 本节课中教师引导学生形成积极主动，勇于探究的学习精神，以及合作探究 的学习方式；注重提高学生的数学思维能力；体验从“实际生活理论实际应 用”的过程；采用“教师引导学生探索”相结合的教学方法，在教与学的和谐 统一中，体现数学的价值，注重信息技术与数学课程的合理整合。 四
3、、 【教学目标】四、 【教学目标】 （1）知识与技能目标： 理解数学归纳法的原理与实质，掌握数学归纳法证题的两个步骤； 会用数学归纳法证明某些简单的与正整数有关的命题。 （2）过程与方法目标： 努力创设愉悦的课堂气氛，使学生处于积极思考，大胆质疑的氛围中，提高 学生学习兴趣和课堂效率，让学生经历知识的构建过程，体会归纳递推的数 学思想。 （3）情感态度与价值观目标： 通过本节课的教学，使学生领悟数学归纳法的思想，由生活实例，激发学生学 习的热情， 提高学生学习的兴趣， 培养学生大胆猜想， 小心求证， 以及发现问题、 提出问题，解决问题的数学能力。 五、 【教学重难点】五、 【教学重难点】 教学
4、重点：借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤， 能熟练运用它证明一些简单的与正整数 n 有关的数学命题； 教学难点：数学归纳法中递推关系的应用。 六、 【教学方法与工具】六、 【教学方法与工具】 教法指导：本节课采用的教学方法是“启、思、演、练、结”五字教学法， 即：以具体的例子引入课题，启发学生想去了解归纳法；通过提出问题、创 设情景，引导学生积极思考；借助电脑的动画演示，提高直观性与趣味性， 延长学生有意注意的时间；教学中，及时精选一些练习帮助学生巩固与强化 知识，而“结”则包含两方面的内容（1）授课中教师的及时小结与点拨（2） 听课时学生的自我小结与巩固。 学法指导： （
5、1）学习要求：课前预习教材中有关内容；听课时积极思考 大胆质疑；课后及时完成课外作业。 （2）指导措施：通过设置问题情景， 激发学生大胆思考；由具体的事例吸引学生注意，通过直观模型演示，化抽 象为具体，突破教学难点；借助电脑声像效果，营造愉悦课堂氛围，提高学 习兴趣。 教学手段：多媒体辅助课堂教学。 七、 【教学过程】七、 【教学过程】 一、创设问题情境，启动学生思维（说明引入数学归纳法的必要性） （情景一）某人看到树上友已值乌鸦，深有感触“天下乌鸦一般黑。 ”这个结论 是否正确呢？ （情境二）在数列 n a中，已知1 1 a,)( 1 * 1 Nn a a a n n n ,发现 1 1 1
6、 a， 2 1 2 a， 3 1 3 a， 4 1 4 a，由此猜想数列的通项公式为)( 1 * Nn n an.这 个结论可靠吗？怎样才能说明其正确性？ 【设计意图： 】为了引入本节课的问题，首先复习之前学过的知识，承上启下。 以上两个情境都是不完全归纳法的体现，发现其结果不一定正确，而这里实际上 体现了数学中的归纳思想。归纳法分为“不完全归纳法（只验证几个个体成立， 得到一般性结论，但结论不一定正确） ”和“全归纳法（验证每个个体都成立， 得到一般性结论，其结论一定正确） ” 。 二、搜索生活实例，激发学生兴趣 【实例： 】播放多米诺骨牌的游戏视频 【探究： 】多米诺骨牌全部倒下的条件 【
7、分析： 】 （实验一： ）在该实验中，骨牌的间距合适。用手推第一块骨牌，但没 有推倒，第二块骨牌，第三块骨牌、 、 、自然也没有倒下，游戏失败； （实验二： ）在该实验中，骨牌间距出现分化，使第一块骨牌和第二块 骨牌间距足够大，其他间距不变。这时用手推倒第一块骨牌，但第二 块没倒下，第三块、第四块也没有倒下，游戏失败。此时让学生对比 实验一实验，分析原因； （实验三： ）在该实验中用手推倒第一块骨牌，然后第二块骨牌、 、 、全部骨牌依 次倒下； 【设计意图： 】通过三个不尽相同而又密切相关的实验，旨在引导学生从不同角 度，对比感悟数学原理，实现学生思维由隐形到显性，由模糊到清晰，由片面到 完整
8、的过渡。 三、立足生活，点燃思维的火花 （由多米诺骨牌游戏的原理启发学生探索数学方法，解决情境二的问题。 ） 第一块骨牌必须要倒下 任意相邻的两块骨牌，若前一块 倒下，则后一块也倒下 当 1n 时，猜想成立 任意相邻的两项，假设 kn时，猜 想成立，即)( 1 * Nk k ak， 时：1则当kn )( 1 1 1 1 1 1 * 1 Nk k k k a a a k k k 即当1kn时猜想成立 发现， 对任意的正整数 n 猜想都成立， 即该数列的通项公式是)( 1 * Nk n an 四、师生合作，形成概念。 一般地，证明一个与正整数 n 有关的命题，可以按照以下步骤进行： （1） （归纳
9、奠基）证明当 n 取第一个值 0 n（ * 0 Nn）时命题成立； （2）（归纳递推） 假设),( * 0 Nknkkn时命题成立， 证明当1kn 时 命题也成立。 完成这两个步骤后, 就可以断定命题对从 0 n开始的所有正整数n都成立。 上述这种证明方法叫做数学归纳法数学归纳法。 【问题一： 】在上面第一步中，n 是否必须从 1 开始取值？若不是，用反例说 明。 五、讲练结合，巩固概念 【例： 】用数学归纳法证明 2 )12(.531nn 都成立。），可知等式对2）和（1根据（ 时等式成立1 右边)1( 2 )1)(12(1 ）12（531左边 时，1则当 ）12（531 时等式成立，即：)
10、(假设)2( ，等式成立；1，右边1时，左边1）当1（ 证明： * 2 2 * Nn kn k kk k kn kk Nkkn n 【问题二： 】在证明过程中，发现有的同学是如下这样证明的：他的做法对吗？ 证明: (1)当1n时，左边=1，右边=1，则等式成立； (2)假设kn时，等式成立，即 2 )12(.531kk， 则当1kn时，有 2 )1()12(1 )12(.531 kk k 即当1kn时，等式也成立， * Nn,等式成立。 错因：第 k+1 步的结论不是以第 k 步为条件得出的，证明过程中没有用到第二 步的归纳递推，因此得到的结果未必正确。 改正： 1kn时，有 )12(.531
11、k )12()12(.531kk )12( 2 kk 2 )1(k 即当1kn时，等式也成立。 【设计意图： 】本题考查数学归纳法的证明过程。首先，教师将一道题目用数学 归纳法完整的证明出来；然后再让学生当“小老师” ，寻找另外一种证明过程中 的错误，通过纠错这一思维过程，澄清了学生对知识点的模糊认识， “先正后反” 有助于学生全面认识数学归纳法。 【练习】用数学归纳法证明： )( 6 )12)(1( .321 *2222 Nn nnn n 证明：(1)当1n时，左边：112，右边：1 6 )12()11(1 左边=右边，等式成立。 (2)假设当)( * Nkkn时等式成立，即 )( 6 )1
12、2)(1( .321 *2222 Nk kkk k 则当)( 1 * Nkkn时， 22222 ）1（.321左边kk 2 ）1（ 6 )12)(1( k kkk )( 6 )32)(2)(1( * Nn kkk =右边 即当1kn时，等式也成立 * Nn等式成立。 【设计意图： 】让学生自己尝试用数学归纳法证明之前学习中给出的公式正 整数的平方和公式，加深了学生对已学知识的认识。 六、回顾总结，反思提高 (1) 数学知识：数学归纳法两个步骤一个结论； (2) 数学方法：数学归纳法（证明某些与正整数有关的命题） ； (3) 数学思想：归纳思想、递推思想。 七、分层作业 2.3 数学归纳法课后练
13、习题 一、选择题 用数学归纳法证明等式 * (n 3)(n 4) 123(n 3)(nN ) 2 时， 第一步验证 n=1 时，左边应取的项是（D） 1 .1+2 .1+2+3 .1+2+3+4 【命题意图： 】考查数学归纳法的“归纳奠基”这一步，让学生能正确判断，n 取初始值时等式左边的项有哪些，而未必一项。本题是属于基础题，必做题。 用数学归纳法证明(n 1)(n 2)(n 3) (n n)21 2 3(2n 1) n 时，从 k 到 k+1 时，左端需增乘的代数式为（ B ） A2 1k B2(2k 1) C 21 1 k k D 23 1 k k 【命题意图： 】考查数学归纳法的“归纳
14、递推”这一步，训练学生寻找第 k 步与 第 k+1 步之间的关系 ，必做题。 二、填空题 用数学归纳法证明 3 3n n 时，第一步应验证 答案：n=3 时，不等式是否成立 【命题意图： 】考查数学归纳法的第一步，必做题。 已 知)( 1 . 3 1 2 1 1)( * Nn n nf， 用 数 学 归 纳 法 证 明 2 )2( n f n 时， )2()2( 1kk ff 答案： 1 2 1 . 22 1 12 1 kkk 【命题意图： 】考查学生寻找数学归纳法的证明过程中第 K 步与第 K+1 步的关系 并且使学生发现，由第 k 步到第 k+1 步之间未必只有一项，必做 题。 三、解答题
15、 用数学归纳法证明： 12)12)(12( 1 . 75 1 53 1 31 1 n n nn 【命题意图： 】考查数学归纳法的证明过程，必做题。 由下列不等式： 2 1 1 ， 2 2 3 1 2 1 1， 2 3 7 1 . . . 3 1 2 1 1 ， 2 15 1 . 3 1 2 1 1 ， 你能猜想一个怎样的结论？并加以证明。 【命题意图： 】 本题首先考查了之前学过的知识 “归纳推理” ， 让学生体验从 “特 殊到一般”的思维过程。引导学生先大胆猜想，然后按照猜想的方向，用数学 归纳法，大胆的尝试证明。让学生在解题中充分的体验“归纳猜想证明” 的乐趣，体会成功的喜悦！属于提高题，选做题。 八、板书设计 2、3 数学归纳法 数学归纳法： 【例】 证明： 【练】 证明： （学生板演） 课堂小结： （1） 、 、 、 （2） 、 、 、 （3） 、 、 、
