1、苏教版高中数学必修 1 3.2.1 对数(第 1 课时) 教案 1 课题：课题：3.2.1 对数对数的概念的概念 (第第 1 课时课时) 教材：苏教版高中数学必修教材：苏教版高中数学必修 1 一一. 教材分析教材分析 对数这节课是苏教版必修 1 第 3 章对数函数第 1 课时 学习对数的概念是对指 数概念和指数函数的回顾与深化，是学习对数函数的基础 二二. 学情分析学情分析 高一学生已经学习了函数的概念、函数的表示方法与函数的一般性质，对函数 有了初步的认识学生已经完成了分数指数幂和指数函数的学习，了解了研究函数 的一般方法，经历过从特殊到一般，具体到抽象的研究过程 对数的概念对学生来说，是全
2、新的，需要教师引导学生利用指数与指数函数的 相关知识理解对数的概念在教学过程中，力求让学生体会运用从特殊到一般，类 比等数学方法来理解对数式与指数式之间的内在联系， 将对数这一新知纳入已有的 知识结构中 三三. 教学目标教学目标 1. 理解对数的概念，会熟练地进行指数式与对数式的互化 2. 学生在解决具体问题中体会引入对数的必要性，在举例过程中理解对数 3. 学生在学习过程中感受化归与转化、数形结合、特殊到一般的数学思想， 学会用相互联系的观点辩证地看问题 四四. 重点与难点重点与难点 1. 重点： （1）对数的概念； （2）对数式与指数式的互化 2. 难点：对数概念的理解 五五. 教教学方法
3、与教学手段学方法与教学手段 问题教学法，启发式教学 六教学过程六教学过程 1. 创设情境创设情境 建构概念建构概念 某种放射性物质不断变化为其他物质， 每经过 1 年， 这种物质剩留的质量是原 来的 84% （设该物质最初的质量为 1） 苏教版高中数学必修 1 3.2.1 对数(第 1 课时) 教案 2 【问题问题 1】你能就此情境提出一个问题吗？ 设计意图设计意图 通过学生熟悉的问题情境，让学生自主地提出问题，引发思考，体 会这些问题之间的关联是指数式 ab =N 中已知两个量求第三个量 教学过程教学过程 师：写好的同学请和同桌交流一下. 师：你提的是什么问题呢？ 生：经过 5 年，这种物质
4、的剩留量为原来的多少？ 师：是多少呢？ 生：0.845=N. 师：有不同的问题吗？ 生：经过多少年，这种物质的剩留量为原来的一半？ 师：这个问题怎么解决呢？ 0.84x=1 2. 师：同学们提出了很好的问题，这两个问题实际上都与我们学过的指数函数 y=0.84x有关 第一个问题是已知指数 x 求幂 y； 第二个问题是已知幂 y 求指数 x 如 果底数是未知的，那么，我们还可以解决已知指数 x 和幂 y 求底数 a 的问题 阶段小结阶段小结这些问题实际就是在研究a b =N(其中a0且a1)中已知两个量求 第三个量我们可以研究以下三类问题： 设 a b =N. (1) 已知 a，b，求 N； 比
5、如 329，53125， (2) 已知 b，N，求 a； 比如 a532a2，a35a3 5， (3) 已知 a，N，求 b. 2b2b1， 2b4b2， 【问题问题 2】2b=3，这样的指数 b 有没有呢？ 设计意图设计意图 利用具体的问题引发学生的认知冲突， 引导学生运用数形结合的方 法探索指数 b 是存在的，并且只有一个，进而想办法用数学符号表示指数 b 苏教版高中数学必修 1 3.2.1 对数(第 1 课时) 教案 3 教学教学过程过程 生：2b3 这个问题和指数函数 y=2x有关，我们可以作出它的图象来观察. 师：作出 2x3 与 y=3 的图象，发现它们有交点，而且只有一个，那么指
6、数 b 在哪里呢？ 生：交点的横坐标就是指数 b 师： 看来满足 2b3 的指数 b 可由“2 和 3”唯一确定， 但它究竟是个什么数呢？ 现在用我们学过的数又不能把它写出来，怎么办呢？ 生：用一个新的符号来表示它. 师：是的，数学家也是这么想的，他们解决这种问题的办法就是引进一个新的 符号，比如这里的 a35，a 等于什么呢？数学家就用 a3 5来表示， a 是由 3 和 5 确定的，将 3 和 5 写在相应的位置. 师：现在如何表示这里的指数 b 呢？指数 b 由 2 和 3 确定，数学家用 log23 来 表示，读作以 2 为底 3 的对数，其中 2 为底数，写在下方，3 叫真数 师：有
7、了这个符号，就可以解决我们刚才的问题了，0.84x=1 2 xlog0.84 1 2. 师：你能再举一些这样的对数吗？ 生：3b10 blog310； 4b5 blog45； 2b7 blog27； 师：这里的 1 能用对数表示吗？ 生：1= log22 师：同样这里的 2 也可以表示为 log24. 对数 b 其实就是一个数 思考：根据这些具体的例子，你能得到一般情况下，对数是怎么表示的吗？ 对数的概念：如果 a 的 b 次幂等于 N(其中 a0，a1)，即 ab=N，那么就称 b 是以 a 为底 N 的对数，记作 logaNb其中，a 叫做对数的底数，N 叫做真数 数学史简介：对数是由 1
8、7 世纪苏格兰数学家纳皮尔发明的，有兴趣的同学 可以查阅相关的数学史资料. 师：根据对数的概念，我们不难发现，对数来源于指数，这两个等式表示 的是 a，b，N 三个量之间的同一个关系，只是表现形式不同而已，比如在 a b =N 苏教版高中数学必修 1 3.2.1 对数(第 1 课时) 教案 4 中，a0，a1，a 叫底数，b 叫指数，N 叫幂，当变为对数式时，a 的范围不变， a 还叫底数，指数 b 现在叫对数，幂 N 现在叫真数. 2具体实例具体实例 理解概念理解概念 学生活动学生活动 请每位同学写出 23 个对数，与同桌交流 设计意图设计意图 深入理解对数第一阶段，让学生体会对数可以转化为
9、指数，对 数式和指数式是等价的；第二阶段，认识特殊的对数，明确对数式中 a，b，N 的范围 教学过程教学过程 师：大家都在积极地认识对数这个新朋友.我们一起来看看，有同学写了这样 一个对数 log327. 你知道它是个什么样的数吗？ 师：为什么等于 3 呢？ 生：因为 33 =27. 师：还有同学写了 log1 39，这是个什么数啊？ 生：2. 师：为什么？ 生：因为(1 3) 2 =9. 师：想认识对数只要将它转化为相应的指数式就容易理解了. 师：我也写一个 log926，这是个什么数呢？ 生：不知道. 师：你知道它大概是多大吗? 生：1 到 2 之间. 苏教版高中数学必修 1 3.2.1
10、对数(第 1 课时) 教案 5 师：你怎么知道的呢？ 生：因为 91=9，92=81，26 在 9 和 81 之间. 师：你是将问题转化为指数问题来考虑的. 我们知道对数就是一个数，可以 设它为 b，转化为 9b =26 就好理解了. 阶段小结阶段小结其实想要认识同学写的对数，只要将它转化为相应的指数式就明 白了，指数式和对数式是可以等价转化的. 师：看大家写的对数有大于 0 的，有小于 0 的，有没有等于 0 的对数呢？ 生：log21=0. 师：还有吗？ 生：只要底数取 a0，a1，真数为 1 的对数都等于 0. 师：怎么表示呢？ 生：loga1=0(a0，a1). 师：为什么？ 生：因为
11、 a01(a0,a1) . 师：a01 是个特殊的指数式，还有其他特殊的指数式吗？ 生：a1a. 师：由这个我们又能得到什么样的对数式呢？ 生：logaa=1(a0，a1) . 师：对数可正可负可为 0，那对数是否能取到所有的实数呢？ 生：是的. 师：你怎么知道的呢？ 生：从指数式 a b =N(其中 a0 且 a1)中我们可以知道. 师： 对数 b 可以取到一切实数， 底数 a0， a1， 真数 N 应满足什么要求呢？ 生：大于 0. 生：在 a0 且 a1 时，a b =N ，根据指数函数的值域可知 N 只能取大于 0 的数. 阶段小结阶段小结通过讨论，我们认识了一些特殊的对数，知道对数
12、b 可以取到一 切实数，但是真数 N 必须大于 0. 在认识对数的过程中，我们运用了对数式与指 苏教版高中数学必修 1 3.2.1 对数(第 1 课时) 教案 6 数式之间的等价转化. 3概念应用概念应用 方法总结方法总结 练习 求下列各式的值：(1)log264； (2)log10 1 100； (3)log927 设计意图设计意图 (1)理解对数是个数，对数问题可以转化为指数问题来解决(2) 反思解题过程，从中得到两个对数性质logaab=b，alogaNN (a0 且 a1)，为对 数求值提供新的方法(3)激起学生进一步探索对数相关结论的兴趣(4)介绍常 用对数和自然对数 教学过程教学过
13、程 师：回头看第 1 个问题的解决过程，log226=6，log1010-2=-2 你有什么发现？ 师：一般情况下 logaab=b 对吗？ 生：对，因为 ab= ab. 师：在 logaab=b 这个式子中，真数 N 变成了 ab，相当于将指数式a b =N 带入对数式 logaN=b，消去 N.现在如果将对数式 logaN=b带入指数式a b =N 消去 b， 会得到什么呢？ 生：alogaNN (a0 且 a1) 师：从第 3 小题中，你又会有什么发现呢？对数还有很多有趣的性质，有兴 趣的同学可以继续研究. 师：大家看第 2 小题底数是 10，我们通常将以 10 为底的对数叫常用对数，简
14、 记为 log10 Nlg N以后在高等数学和物理学中还会经常用到以 e 为底的对数，叫 做自然对数，loge Nln N比如，lg2，ln3. 【问题问题 3】什么是对数？研究对数的基本方法是什么？ 设计意图设计意图 回顾反思本节课学习的知识和方法主要让学生体会研究一个新 的数学对象的一般方法，即 生：对数就是一个数遇到对数问题转化为指数问题来解决 师：很好，我们通过一些具体的例子得到了对数的概念，又通过举例和练 苏教版高中数学必修 1 3.2.1 对数(第 1 课时) 教案 7 习进一步认识了对数，在认识的过程中，发现遇到对数的问题可以转化为指数 问题来解决.这两个式子是等价的，表示的是
15、a，b，N 这三个量之间的同一种关 系. 师：既然对数就是一个数，你觉得下面我们可以研究什么？ 生：对数的运算 师：那如何研究对数的运算性质呢？请同学们先回去思考，我们下节课再 研究 4. 课堂小结课堂小结 布置作业布置作业 (1)课本 P74 练习第 1、3、4、5 题 (2)探究对数的运算性质 设计意图设计意图 布置作业的面向全体学生，旨在掌握对数的概念，熟练对数式与 指数式的互化探究对数的运算性质给学生提供进一步自主研究对数的机会 七七. 教学设计说明教学设计说明 对数概念对于高一的同学来讲是一个全新的概念。此前，学生已学习了指数及 指数函数，明白了指数运算是已知底数和指数求幂值，而对数
16、则是已知底数和幂值 求指数，二者是互逆的关系对数的概念的学习，既加深了学生对指数的理解，又 为后面对数的运算性质及对数函数的学习做了充分准备， 起到了承上启下的重要作 用 对数概念的获得，应符合学生认知规律，教师不能直接抛出定义教材所呈现 的，是经过数学家整理过的数学知识，不一定完全符合学生的认知习惯，不可照本 宣科利用情境问题，教师引导学生提出问题，使学生产生认知冲突，从而认识到 对数是有必要引进的一个重要的概念 教师引导学生举出类似的例子，归纳共同特征，获得对数概念通过揭示对数 式与指数式的关系，让学生体会到对数式与指数式的等价，从而体现了将对数问题 与指数问题互相转化来解决的思想方法进而
17、将抽象的对数概念具体化特殊化，引 导学生进一步认识对数 学习的过程就是一个不断地提出问题、解决问题的过程，提出问题比解决问题 更重要教师应给学生提供由自己提出问题、选择研究方法的机会，逐渐学会研究 问题，促进能力发展学生尚未完全掌握学习一个新的数学概念的一般方法，在学 苏教版高中数学必修 1 3.2.1 对数(第 1 课时) 教案 8 习过程中，教师应及时补充启发性提示语，帮助学生理解特殊化的意义，进行阶段 性小结，以帮助学生明确研究一个新的数学对象的一般方法 对于能力较强的学生，可引导他们尝试证明归纳出来的性质，经历数学研究的 完整过程 教学过程中，应充分发动学生，通过举例、说理、交流等活动，提供学生充分 展示思维的机会通过总结一般方法，促进学生体验由特殊到一般的思维过程 针对不同学生的需求布置分层作业，不仅能帮助学生进一步掌握本课知识，还 能帮助学生形成研究新对象的一般步骤和方法
