1、初中数学皇冠上的明珠妙用中点目CONTENTS录01/知识梳理知识梳理02/典例分析典例分析03/建立模型建立模型04/灵活运用灵活运用妙用妙用“中点中点”初中数学皇冠上的明珠明珠【学习目标】要求：默读并体会。1.对与中点有关的性质进行整理复习，梳理与中点有关的知识，形成较完整的知识体系.2.通过对典型例题的观察、分析、推理、论证提升解决这一类问题的能力，体会证明的方法与技巧.3.激发探索的乐趣，体会成功的喜悦.CBDBCDABCDABCDABCDEABCDAOCBDOBDOC知识梳理知识梳理 【北京西城2023.1期末T27】如图,在ABC中,AC=BC,ACB=90,APB=45,连接CP
2、,将线段CP绕点C顺时针旋转90 得到线段CQ,连接AQ.(1)依题意,补全图形,并证明:AQ=BP;(2)求QAP的度数;(3)若N为线段AB的中点,连接NP,请用等式表示线段NP与CP之间的数量关系,并证明.典例分析典例分析 【北京西城2023.1期末T27】如图,在ABC中,AC=BC,ACB=90,APB=45,连接CP,将线段CP绕点C顺时针旋转90 得到线段CQ,连接AQ.典例分析典例分析ABC是等腰直角三角形Q旋转前后图形全等旋转前后图形全等QCP是等腰直角三角形共(直角)顶点的两等腰直角三角形共顶点的旋转型全等 【北京西城2023.1期末T27】如图,在ABC中,AC=BC,A
3、CB=90,APB=45,连接CP,将线段CP绕点C顺时针旋转90 得到线段CQ,连接AQ.(1)依题意,补全图形,并证明:AQ=BP;典例分析典例分析Q共顶点的两等腰直角三角形旋转型全等 【北京西城2023.1期末T27】如图,在ABC中,AC=BC,ACB=90,APB=45,连接CP,将线段CP绕点C顺时针旋转90 得到线段CQ,连接AQ.(2)求QAP的度数;典例分析典例分析Q连接QP，由（1）可得PCQ是等腰直角三角形，CQPCPQ45 CQAPQA45 APB45，APQCPB由BCPACQ可得CQACPB APQPQA45 QAP135 【北京西城2023.1期末T27】如图,在
4、ABC中,AC=BC,ACB=90,APB=45,连接CP,将线段CP绕点C顺时针旋转90 得到线段CQ,连接AQ.(3)若N为线段AB的中点,连接NP,请用等式表示线段NP与CP之间的数量关系,并证明.典例分析典例分析QN猜想：题目中好多题目中好多4545角角测量，估算测量，估算分析：QP=2NP策略（选择）倍长倍长(类倍长）中线类倍长）中线中位线中位线基本图典例分析典例分析 【北京西城2023.1期末T27】如图,在ABC中,AC=BC,ACB=90,APB=45,连接CP,将线段CP绕点C顺时针旋转90 得到线段CQ,连接AQ.(3)若N为线段AB的中点,连接NP,请用等式表示线段NP与
5、CP之间的数量关系,并证明.QN实施：加倍延加倍延(倍长中线）倍长中线）辅助线：辅助线：延长PN至点M，使得NM=PN,连接MA,MB N为线段AB的中点，ANBN 四边形MAPB是平行四边形 MA=PB，MA/PB MAPAPB180 APB45，MAP135 QAP135，MAPQAP AQ=PB，AQ=MA APAP，MAPQAP MPQP QP2NP典例分析典例分析 【北京西城2023.1期末T27】如图,在ABC中,AC=BC,ACB=90,APB=45,连接CP,将线段CP绕点C顺时针旋转90 得到线段CQ,连接AQ.(3)若N为线段AB的中点,连接NP,请用等式表示线段NP与CP
6、之间的数量关系,并证明.QN实施：加倍延加倍延(倍长中线）倍长中线）辅助线：辅助线：延长PN至点M，使得NM=PN,连接MA,MB基本图平行四边形“转边、转角”翻折型全等“转边、转角”典例分析典例分析 【北京西城2023.1期末T27】如图,在ABC中,AC=BC,ACB=90,APB=45,连接CP,将线段CP绕点C顺时针旋转90 得到线段CQ,连接AQ.(3)若N为线段AB的中点,连接NP,请用等式表示线段NP与CP之间的数量关系,并证明.QN实施：加倍延加倍延(倍长中线）倍长中线）辅助线：辅助线：延长PN至点M，使得NM=PN,连接MA N为线段AB的中点，ANBNANMBNP，ANMB
7、NP MANPBN，AMBP AMBP，AMAQ(同上种方法）典例分析典例分析 【北京西城2023.1期末T27】如图,在ABC中,AC=BC,ACB=90,APB=45,连接CP,将线段CP绕点C顺时针旋转90 得到线段CQ,连接AQ.(3)若N为线段AB的中点,连接NP,请用等式表示线段NP与CP之间的数量关系,并证明.QN实施：加倍延加倍延(倍长中线）倍长中线）辅助线：辅助线：延长PN至点M，使得NM=PN,连接MA基本图中心对称全等“转边、转角”翻折型全等“转边、转角”实施：加倍延加倍延(倍长中线）倍长中线）辅助线：辅助线：延长PN至点M，使得NM=PN,连接MA基本图延长PN至点M，
8、使得NM=PN,连接MA,MB过点A作AM/PB,交PN延长线于点M,连接MB过点B作BM/PA,交PN延长线于点M,连接MA过点A作AM/PB,交PN延长线于点M过点B作BM/PA,交PN延长线于点M作平行作平行(类倍类倍长中线长中线）构造全等加倍延加倍延(倍长中线倍长中线)SASSAS作作平行平行AASAAS、ASAASA 【北京西城2023.1期末T27】如图,在ABC中,AC=BC,ACB=90,APB=45,连接CP,将线段CP绕点C顺时针旋转90 得到线段CQ,连接AQ.(3)若N为线段AB的中点,连接NP,请用等式表示线段NP与CP之间的数量关系,并证明.典例分析典例分析QN猜想
9、：题目中好多题目中好多4545角角测量，估算测量，估算分析：QP=2NP策略（选择）倍长倍长(类倍长）中线类倍长）中线中位线中位线基本图典例分析典例分析 【北京西城2023.1期末T27】如图,在ABC中,AC=BC,ACB=90,APB=45,连接CP,将线段CP绕点C顺时针旋转90 得到线段CQ,连接AQ.(3)若N为线段AB的中点,连接NP,请用等式表示线段NP与CP之间的数量关系,并证明.实施：加倍延加倍延(构造中位线构造中位线)QN辅助线：辅助线：延长BP至点M，使得PM=PB,连接MA N为线段AB的中点，ANBN MA=2PN MAPAPB180 APB45，MAP135 QAP
10、135，MAPQAP AQ=PB，AQ=PM APAP，MAPQPA MAQP QP2NP证明同上典例分析典例分析 【北京西城2023.1期末T27】如图,在ABC中,AC=BC,ACB=90,APB=45,连接CP,将线段CP绕点C顺时针旋转90 得到线段CQ,连接AQ.(3)若N为线段AB的中点,连接NP,请用等式表示线段NP与CP之间的数量关系,并证明.QN实施：加倍延加倍延(构造中位线）构造中位线）辅助线：辅助线：基本图延长BP至点M，使得PM=PB,连接MA三角形中位线“转边”翻折型全等“转边、转角”典例分析典例分析 【北京西城2023.1期末T27】如图,在ABC中,AC=BC,A
11、CB=90,APB=45,连接CP,将线段CP绕点C顺时针旋转90 得到线段CQ,连接AQ.(3)若N为线段AB的中点,连接NP,请用等式表示线段NP与CP之间的数量关系,并证明.实施：加倍加倍延延(构造中位线构造中位线)辅助线：辅助线：延长AP至点M，使得PM=PA,连接MBQN N为线段AB的中点，ANBN MB=2PN MPBAPB180 APB45，MPB135 QAP135，MPBQAP AQ=PB，APMP，MPBPAQ MBQP QP2NP证明同上典例分析典例分析 【北京西城2023.1期末T27】如图,在ABC中,AC=BC,ACB=90,APB=45,连接CP,将线段CP绕点
12、C顺时针旋转90 得到线段CQ,连接AQ.(3)若N为线段AB的中点,连接NP,请用等式表示线段NP与CP之间的数量关系,并证明.QN实施：加倍延加倍延(构造中位线）构造中位线）辅助线：辅助线：基本图延长AP至点M，使得PM=PA,连接MB三角形中位线“转边”全等“转边”实施：辅助线：辅助线：基本图延长BP至点M，使得PM=PB,连接MA延长AP至点M，使得PM=PA,连接MB加倍延加倍延(构造中位线）构造中位线）作平行作平行(构造中位线构造中位线）过点A作AM/NP,交BP延长线于点M过点B作BM/NP,交AP延长线于点M构造三角形中位线加倍延加倍延(构造中位构造中位线线)作平行作平行(构造
13、中位构造中位线）线）典例分析典例分析 【北京西城2023.1期末T27】如图,在ABC中,AC=BC,ACB=90,APB=45,连接CP,将线段CP绕点C顺时针旋转90 得到线段CQ,连接AQ.(3)若N为线段AB的中点,连接NP,请用等式表示线段NP与CP之间的数量关系,并证明.实施：取中点取中点(构造中位线构造中位线)辅助线：辅助线：取AP中点M，连接MNQN则PA=2PM N为线段AB的中点，ANBN PB=2MN,MN/PB NMPAPB180 APB45，NMP135 QAP135，典例分析典例分析 【北京西城2023.1期末T27】如图,在ABC中,AC=BC,ACB=90,AP
14、B=45,连接CP,将线段CP绕点C顺时针旋转90 得到线段CQ,连接AQ.(3)若N为线段AB的中点,连接NP,请用等式表示线段NP与CP之间的数量关系,并证明.实施：取中点取中点(构造中位线构造中位线)辅助线：辅助线：取BP中点M，连接MNQN则PB=2PM N为线段AB的中点，ANBN PA=2MN,MN/PA NMPAPB180 APB45，NMP135 QAP135，实施：辅助线：辅助线：基本图取中点取中点(构造中位线构造中位线)取AP中点M，连接MN取BP中点M，连接MN作平行作平行(构造中位线构造中位线）过点N作NM/PB,交PA于点M过点N作NM/PA,交PB于点M构造三角形中
15、位线取中点取中点(构造中构造中位线位线)作平行作平行(构造中构造中位线位线）建立模型建立模型线段中点三角形中线线段的数量关系倍倍长长(类倍长）中线类倍长）中线中位线中位线加倍加倍延延(倍长中线倍长中线)作平行作平行(类倍类倍长中线长中线）加倍加倍延延(构造中位线构造中位线)取中点取中点(构造中位线构造中位线)作平行作平行(构造中位线）构造中位线）基本图灵活运用灵活运用【北京中考2022.T27】在ABC中,ACB=90,D为ABC内一点,连接BD,DC,延长DC到点E,使得CE=DC.(1)如图1,延长BC到点F,使得CF=BC,连接AF,EF,若AFEF,求证：BDAF(2)连接AE,交BD的延长线于点H,连接CH,依题意补全图2,若AB2=AE2+BD2,用等式表示线段CD与CH的数量关系,并证明.【北京中考2020.T27】27.在ABC中，C=90，ACBC，D是AB的中点E为直线AC上一动点，连接DE，过点D作DFDE，交直线BC于点F，连接EF（1）如图1，当E是线段AC的中点时，设AE=a，BF=b,求EF的长（用含 a,b的式子表示）；（2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE，EF，BF之间的数量关系，并证明作业作业
