1、类型十 二次函数与矩形有关的问题（专题训练）1（2023山东东营统考中考真题）如图，抛物线过点，矩形的边在线段上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上，设，当时，(1)求抛物线的函数表达式；(2)当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？(3)保持时的矩形不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离【答案】(1)；(2)当时，矩形的周长有最大值，最大值为；(3)4【分析】（1）设抛物线的函数表达式为，求出点C的坐标，将点C的坐标代入即可求出该抛物线的函数表达式；（2）由抛物线的对称性得，则，再得出，根据矩形的周长公式，列出
2、矩形周长的表达式，并将其化为顶点式，即可求解；（3）连接A，相交于点P，连接，取的中点Q，连接，根据矩形的性质和平移的性质推出四边形是平行四边形，则，求出时，点A的坐标为，则，即可得出结论【详解】（1）解：设抛物线的函数表达式为当时，点C的坐标为将点C坐标代入表达式，得，解得抛物线的函数表达式为（2）解：由抛物线的对称性得：，当时，矩形的周长为，当时，矩形的周长有最大值，最大值为（3）解：连接，相交于点P，连接，取的中点Q，连接直线平分矩形的面积，直线过点P由平移的性质可知，四边形是平行四边形，四边形是矩形，P是的中点当时，点A的坐标为，抛物线平移的距离是4【点睛】本题主要考查了求二次函数的解
3、析式，二次函数的图象和性质，矩形的性质，平移的性质，解题的关键是掌握用待定系数法求解二次函数表达式的方法和步骤，二次函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，以及平移的性质2（2023山西统考中考真题）如图，二次函数的图象与轴的正半轴交于点A，经过点A的直线与该函数图象交于点，与轴交于点C(1)求直线的函数表达式及点C的坐标；(2)点是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点作直线轴于点，与直线交于点D，设点的横坐标为当时，求的值；当点在直线上方时，连接，过点作轴于点，与交于点，连接设四边形的面积为，求关于的函数表达式，并求出S的最大值【答案】(1)，点的坐标为；(2)2或3或；，S的最大值为【分析
4、】（1）利用待定系数法可求得直线的函数表达式，再求得点C的坐标即可；（2）分当点在直线上方和点在直线下方时，两种情况讨论，根据列一元二次方程求解即可；证明，推出，再证明四边形为矩形，利用矩形面积公式得到二次函数的表达式，再利用二次函数的性质即可求解【详解】（1）解：由得，当时，解得点A在轴正半轴上点A的坐标为设直线的函数表达式为将两点的坐标分别代入，得，解得，直线的函数表达式为将代入，得点C的坐标为；（2）解：点在第一象限内二次函数的图象上，且轴于点，与直线交于点，其横坐标为点的坐标分别为点的坐标为，如图，当点在直线上方时，解得如图2，当点在直线下方时，解得，综上所述，的值为2或3或；解：如图
5、3，由（1）得，轴于点，交于点，点B的坐标为，点在直线上方，轴于点，四边形为平行四边形轴，四边形为矩形即，当时，S的最大值为【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数、一次函数、等腰三角形、矩形、勾股定理、相似三角形等知识点，第二问难度较大，需要分情况讨论，画出大致图形，用含m的代数式表示出是解题的关键3（2023辽宁大连统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线上有两点，其中点的横坐标为，点的横坐标为，抛物线过点过作轴交抛物线另一点为点以长为边向上构造矩形(1)求抛物线的解析式；(2)将矩形向左平移个单位，向下平移个单位得到矩形，点的对应点落在抛物线上求关于的函数关系式，并直接写出自
6、变量的取值范围；直线交抛物线于点，交抛物线于点当点为线段的中点时，求的值；抛物线与边分别相交于点，点在抛物线的对称轴同侧，当时，求点的坐标【答案】(1)；(2)；或【分析】（1）根据题意得出点，,待定系数法求解析式即可求解；（2）根据平移的性质得出，根据点的对应点落在抛物线上，可得，进而即可求解；根据题意得出，求得中点坐标，根据题意即可求解；连接，过点作于点，勾股定理求得，设点的坐标为，则，将代入，求得，求得，进而根据落在抛物线上，将代入，即可求解【详解】（1）解：依题意，点的横坐标为，点的横坐标为，代入抛物线当时，则，当时，则,将点，,代入抛物线，解得：抛物线的解析式为；（2）解：轴交抛物线
7、另一点为点，当时，矩形向左平移个单位，向下平移个单位得到矩形，点的对应点落在抛物线上，整理得；如图所示，,，由可得，,的横坐标为，分别代入 ，的中点坐标为点为线段的中点，解得：或（大于4，舍去）如图所示，连接，过点作于点，则，设点的坐标为，则，将代入，解得：，当，将代入解得：，或【点睛】本题考查了二次函数综合运用，矩形的性质，平移的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键4.（2022安徽）如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米E（0
8、，8）是抛物线的顶点(1)求此抛物线对应的函数表达式；(2)在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点，在x轴上，MN与矩形的一边平行且相等栅栏总长l为图中粗线段，MN长度之和请解决以下问题：（）修建一个“”型栅栏，如图2，点，在抛物线AED上设点的横坐标为，求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值；（）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的修建“”型或“”型栅型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形面积的最大值，及取最大值时点的横坐标的取值范围（在右侧）【答案】(1)yx28(2)（）lm22m24，l的最大值为26；（）方案一：9P1横坐标
9、；方案二：P1横坐标【分析】（1）通过分析A点坐标，利用待定系数法求函数解析式；（2）（）结合矩形性质分析得出P2的坐标为（m，m28），然后列出函数关系式，利用二次函数的性质分析最值；（）设P2P1n，分别表示出方案一和方案二的矩形面积，利用二次函数的性质分析最值，从而利用数形结合思想确定取值范围(1)由题意可得：A（6，2），D（6，2），又E（0，8）是抛物线的顶点，设抛物线对应的函数表达式为yax28，将A（6，2）代入，（6）2a82，解得：a，抛物线对应的函数表达式为yx28；(2)（）点P1的横坐标为m（0m6），且四边形P1P2P3P4为矩形，点P2，P3在抛物线AED上，P2
10、的坐标为（m，m28），P1P2P3P4MNm28，P2P32m，l3（m28）2mm22m24（m2）226，0，当m2时，l有最大值为26，即栅栏总长l与m之间的函数表达式为lm22m24，l的最大值为26；（）方案一：设P2P1n，则P2P3183n，矩形P1P2P3P4面积为（183n）n3n218n3（n3）227，30，当n3时，矩形面积有最大值为27，此时P2P13，P2P39，令x283，解得：x，此时P1的横坐标的取值范围为9P1横坐标，方案二：设P2P1n，则P2P39n，矩形P1P2P3P4面积为（9n）nn29n（n）2，10，当n时，矩形面积有最大值为，此时P2P1，
11、P2P3，令x28，解得：x，此时P1的横坐标的取值范围为P1横坐标【点睛】本题考查二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式，准确识图，确定关键点的坐标，利用数形结合思想解题是关键5.（2021四川中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点和，交轴于点，抛物线的对称轴交轴于点，交抛物线于点（1）求抛物线的解析式；（2）将线段绕着点沿顺时针方向旋转得到线段，旋转角为，连接，求的最小值（3）为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点，使得以，为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由；【答案】（1）；（2）；（3）存在，点的横坐标分别为：2，或【分析】（
12、1）待定系数法求二次函数解析式，设解析式为将，两点代入求得，c的值即可；（2）胡不归问题，要求的值，将折线化为直线，构造相似三角形将转化为，再利用三角形两边之和大于第三边求得最值；（3）分2种情形讨论：AB为矩形的一条边，利用等腰直角三角形三角形的性质可以求得N点的坐标; AB为矩形的对角线，设R为AB的中点,RN=AB,利用两点距离公式求解方程可得N点的坐标【详解】解：（1）过，抛物线的解析式为：（2）在上取一点，使得，连接，对称轴，当，三点在同一点直线上时，最小为在中，即最小值为（3）情形如图，AB为矩形的一条边时，联立得 是等腰， 分别过 两点作的垂线，交于点，过作轴，轴, ,也是等腰直
13、角三角形设，则，所以代入，解得,（不符题意，舍）同理，设，则 ，所以 代入，解得,（不符题意，舍） AB为矩形的对角线，设R为AB的中点,则， 设 ，则 整理得：解得：（不符题意，舍），（不符题意，舍）， ， 综上所述：点的横坐标分别为：2，或【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，三角形相似，勾股定理，二次函数与一次函数交点，矩形的性质，等腰直角三角形性质，平面直角坐标系中两点距离计算等知识，能正确做出辅助线，找到相似三角形是解题的关键6.（2021甘肃中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于两点，直线交轴于点点为直线下方抛物线上一动点，过点作轴的垂线，垂足为分别
14、交直线于点（1）求抛物线的表达式；（2）当，连接，求的面积；（3）是轴上一点，当四边形是矩形时，求点的坐标；在的条件下，第一象限有一动点，满足，求周长的最小值【答案】（1）；（2）；（3）；【分析】（1）直接利用待定系数法即可求出答案（2）由题意可求出，利用三角函数可知在和中，由此即可求出，从而可求出即可求出D点坐标，继而求出再根据，即可求出FD的长，最后利用三角形面积公式即可求出最后答案（3）连接，交于点根据矩形的性质可知，由可推出由，可推出再根据直线BC的解析式可求出C点坐标，即可得出OC的长，由此可求出AC的长，即可求出CH的长，最后即得出OH的长，即可得出H点坐标在中，利用勾股定理可求
15、出的长，再根据结合可推出，即要使最小，就要最小，由题意可知当点在上时，为最小即求出BC长即可在中，利用勾股定理求出的长，即得出周长的最小值为【详解】解：（1）抛物线过两点，解得，（2）同理，又轴，轴，在和中，即， 当时，即 ，（3）如图，连接，交于点四边形是矩形，又，四边形是矩形，当x=0时，在中，要使最小，就要最小 ，当点在上时，为最小在中，周长的最小值是 【点睛】本题为二次函数综合题考查二次函数的图象和性质，解直角三角形，一次函数的图象和性质，矩形的性质，平行线分线段成比例，三角形三边关系以及勾股定理等知识，综合性强，较难利用数形结合的思想是解答本题的关键7.（2021山东中考真题）如图，
16、在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于，两点，交轴于点（1）求该抛物线的表达式；（2）点为第四象限内抛物线上一点，连接，过点作交轴于点，连接，求面积的最大值及此时点的坐标；（3）在（2）的条件下，将抛物线向右平移经过点时，得到新抛物线，点在新抛物线的对称轴上，在坐标平面内是否存在一点，使得以、为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由参考：若点、，则线段的中点的坐标为【答案】（1）该抛物线的表达式为：；（2）面积最大值为8，此时P点的坐标为：P（2，-6）；（3）或或或【分析】（1）将两个点分别代入抛物线可得关于a，b的二元一次方程组，可解得a，b；（2）设出P、Q两
17、点坐标，应用三角形相似，及三角形面积公式，代入化简可得一个二次函数，求其最大值即可；（3）抛物线的平移可确定抛物线解析式及对称轴，设出点E、F，应用中点坐标公式及矩形特点分成的三角形为直角三角形，可得出答案【详解】解：（1）将A（-1,0），B（4,0）代入抛物线可得：，解得：，该抛物线的表达式为：；（2）过点P作PNx轴于点N，如图所示：设且，即，点在抛物线上，根据抛物线的基本性质：对称轴为在内，在取得最大值，代入得：，当时，面积的最大值为8，此时点P的坐标为：（3）在（2）的条件下，原抛物线解析式为，将抛物线向右平移经过点，可知抛物线向右平移了个单位长度， 可得：，化简得平移后的抛物线：，
18、对称轴为：，由（2）得：A（-1，0），点E在对称轴上，设E（3，e），点F（m，n），矩形AEPF，当以AP为矩形的对角线时，则AP的中点坐标为：，EF的中点坐标为：，根据矩形的性质可得，两个中点坐标相同，可得：解得：矩形AEPF，为直角三角形，代入化简可得：，将代入可得：，化简得：，根据判别式得：，或；当以AP为矩形的边时，如图所示：过点P分别作PGx轴于点G，PHx轴，过点F作PH的垂线，垂足为H，设抛物线的对称轴与x轴的交点为M，如图，AM=4，四边形是矩形，AE=PF，FH=2，点，当以AP为矩形的边时，如图所示：同理可得；综上所述：以、为顶点的四边形为矩形，或或或【点睛】题目考查确
19、定二次函数解析式及其基本性质、矩形的性质、勾股定理等，难点主要是依据图像确定各点、线段间的关系，得出答案8.（2021黑龙江中考真题）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，对称轴为，点D为此抛物线的顶点（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上C，D两点之间的距离是_；（3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE求面积的最大值；（4）点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标【答案】（1）；（2）；（3）；（4）或或或【分析】（1）先根据对称轴可得的值，再根据可得点的坐标，代入抛物线
20、的解析式即可得；（2）利用抛物线的解析式分别求出点的坐标，再利用两点之间的距离公式即可得；（3）过点作轴的垂线，交于点，先利用待定系数法求出直线的解析式，再设点的坐标为，从而可得和的坐标，然后根据可得关于的函数关系式，利用二次函数的性质求解即可得；（4）设点的坐标为，分当为矩形的边时，当为矩形的边时，当为矩形的对角线时三种情况，再分别利用待定系数法求直线的解析式、矩形的性质、点坐标的平移变换规律求解即可得【详解】解：（1）抛物线的对称轴为，且点在轴负半轴上，将点代入得：，解得，则抛物线的解析式为；（2）化成顶点式为，则顶点的坐标为，当时，即，则抛物线上两点之间的距离是，故答案为：；（3）如图，
21、过点作轴的垂线，交于点，抛物线的对称轴为，设直线的解析式为，将点代入得：，解得，则直线的解析式为，设点的坐标为，则，由二次函数的性质得：在内，当时，取最大值，最大值为，即面积的最大值为；（4）设点的坐标为，由题意，分以下三种情况：当为矩形的边时，则，设直线的解析式为，将点代入得：，则直线的解析式为，将点代入得：，即，将点先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度可得到点，四边形是矩形，点平移至点的方式与点平移至点的方式相同，即；当为矩形的边时，则，同（4）的方法可得：点的坐标为；当为矩形的对角线时，则，即，解得或，或，当点的坐标为时，则将点先向左平移2个单位长度，再向下平移个单位长度可得到
22、点，四边形是矩形，点平移至点的方式与点平移至点的方式相同，即；同理可得：当点的坐标为时，点的坐标为，综上，点的坐标为或或或【点睛】本题考查了二次函数的几何应用、待定系数法求函数解析式、矩形的性质等知识点，较难的是题（4），正确分三种情况讨论是解题关键9.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线OA交二次函数y=14x2的图象于点A，AOB90，点B在该二次函数的图象上，设过点（0，m）（其中m0）且平行于x轴的直线交直线OA于点M，交直线OB于点N，以线段OM、ON为邻边作矩形OMPN（1）若点A的横坐标为8用含m的代数式表示M的坐标；点P能否落在该二次函数的图象上？若能，求出m的值；若不能，请
23、说明理由（2）当m2时，若点P恰好落在该二次函数的图象上，请直接写出此时满足条件的所有直线OA的函数表达式【分析】（1）求出点A的坐标，直线直线OA的解析式即可解决问题求出直线OB的解析式，求出点N的坐标，利用矩形的性质求出点P的坐标，再利用待定系数法求出m的值即可（2）分两种情形：当点A在y轴的右侧时，设A（a，14a2），求出点P的坐标利用待定系数法构建方程求出a即可当点A在y轴的左侧时，即为中点B的位置，利用中结论即可解决问题【解析】（1）点A在y=14x2的图象上，横坐标为8，A（8，16），直线OA的解析式为y2x，点M的纵坐标为m，M（12m，m）假设能在抛物线上，AOB90，直线
24、OB的解析式为y=12x，点N在直线OB上，纵坐标为m，N（2m，m），MN的中点的坐标为（34m，m），P（32m，2m），把点P坐标代入抛物线的解析式得到m=329（2）当点A在y轴的右侧时，设A（a，14a2），直线OA的解析式为y=14ax，M（8a，2），OBOA，直线OB的解析式为y=4ax，可得N（a2，2），P（8aa2，4），代入抛物线的解析式得到，8aa2=4，解得a424，直线OA的解析式为y（21）x当点A在y轴的左侧时，即为中点B的位置，直线OA 的解析式为y=4ax（21）x，综上所述，满足条件的直线OA的解析式为y（21）x或y（21）x10.如图，已知抛物线与轴
25、交于点和点，交轴于点.过点作轴，交抛物线于点.（1）求抛物线的解析式；（2）若直线与线段、分别交于、两点，过点作轴于点，过点作轴于点，求矩形的最大面积；（3）若直线将四边形分成左、右两个部分，面积分别为、，且，求的值.【答案】（1）y=x2+2x3；（2）3；（3）.【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可得出结论；（2）先利用待定系数法求出直线AD，BD的解析式，进而求出G，H的坐标，进而求出GH，即可得出结论；（3）先求出四边形ADNM的面积，再求出直线ykx1与线段CD，AB的交点坐标，即可得出结论【详解】（1）抛物线y=ax2+bx3与x轴交于点A（3，0）和点B（1，0），抛物线的解
26、析式为y=x2+2x3；（2）由（1）知，抛物线的解析式为y=x2+2x3，C（0，3），x2+2x3=3，x=0或x=2，D（2，3），A（3，0）和点B（1，0），直线AD的解析式为y=3x9，直线BD的解析式为y=x1，直线y=m（3m0）与线段AD、BD分别交于G、H两点，G（m3，m），H（m+1，m），GH=m+1（m3）=m+4，S矩形GEFH=m（m+4）=（m2+3m）=（m+）2+3，m=，矩形GEFH的最大面积为3（3）A（3，0），B（1，0），AB=4，C（0，3），D（2，3），CD=2，S四边形ABCD=3（4+2）=9，S1：S2=4：5，S1=4，如图，设直线y=kx+1与线段AB相交于M，与线段CD相交于N，M（，0），N（，3），AM=+3，DN=+2，S1=（+3+2）3=4，k=【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，矩形的面积公式，梯形的面积公式，求出相关线段的长是解本题的关键
