1、6.3 二元一次方程组的应用二元一次方程组的应用 课时2七下数学七下数学 JJ第六章第六章 二元一次方程组二元一次方程组1.掌握构建二元一次方程组解决有关实际问题的基本步骤.2.通过探究实际问题,进一步体会方程组是刻画现实世界数量关系的有效模型,发展模型观念.3.在运用二元一次方程组解决实际问题的过程中，提高分析问题与解决问题的能力，形成应用意识.二元一次方程组的前世今生“方程”:我国:汉 郑玄“解九数”九章算术 第八卷“方程”13世纪 “立天元一为某某”(“设x为某某”)西方:古巴比伦人 古希腊人 拉T文oequation 英文equation亚历山大里亚时期 丢番图 算术“元”:表示未知数
2、 我国宋元时期的天元术.李冶 测圆海镜和益古演段、朱世杰算学启蒙和(四元玉鉴).清末 李善兰 和伟烈亚力 译英国数学家德摩根 代数学 创用“多元一次方程”这样的术语现代:二元一次方程组的重要应用 例1 我国高速铁路飞速发展，为了解“复兴号”列车的长度和行驶速度，小明所在的学习小组开展了一次课外探究活动.他们分工合作，在一架3 150 m长的铁路桥附近进行了观察、测量和计算:“复兴号”列车从开始上桥到完全过桥的时间约为42.5s,列车完全在桥上的时间约为32.5 s.你能根据该小组同学获得的数据，求出“复兴号”列车过桥时的速度和列车的长度吗?知识点1 行程问题列车42.5s内所行路程=桥长+车长
3、列车32.5s内所行路程=桥长-车长知识点1 行程问题思考：(1)问题中涉及了哪些量？(2)画示意图，并寻找等量关系.(3)用x、y分别表示火车的速度(m/s)和长度(m)，列方程组.(4)解答上面的问题.知识点1 行程问题例2 小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路.假设他始终保持平路每分钟走60m，下坡路每分钟走80m，上坡路每分钟走40m，则他从家里到学校需10min，从学校到家里需15min.问小华家离学校多远？知识点1 行程问题分析：小华到学校的路分成两段，一段为平路，一段为下坡路.平路：60 m/min下坡路：80 m/min上坡路：40 m/min走平路的时间+走下坡的时间=
4、_，走上坡的时间+走平路的时间=_路程=平均速度时间1015知识点1 行程问题方法一（直接设元法）平路时间坡路时间总时间上学放学解：设小华家到学校平路长x m，下坡长y m.60 x60 x80y40y1015根据题意，可列方程组：1060 8015.60 40 xyxy解方程组，得300400 xy所以，小华家到学校的距离为700m.知识点1 行程问题方法二（间接设元法）平路距离坡路距离上学放学解：设小华下坡路所花时间为 x min,上坡路所花时间为 y min.60(10)x80 x40y所以，小华家到学校的距离为700 m.故 平路距离：60（10-5）=300（m）.坡路距离：805=
5、400（m）.60(15)y知识点1 行程问题变式练习 甲、乙两地相距4km，以各自的速度同时出发.如果同向而行，甲2h追上乙；如果相向而行，两人0.5h后相遇.试问两人的速度各是多少？分析：对于行程问题，一般可以借助示意图表示题中的数量关系，可以更加直观的找到相等关系.知识点1 行程问题（1）同时出发，同向而行甲出发点乙出发点4km甲追上乙乙2h行程甲2h行程甲2h行程=4km+乙2h行程（2）同时出发，相向而行甲出发点乙出发点4km相遇地甲0.5h 行程乙0.5h 行程甲0.5h行程+乙0.5h行程=4km知识点1 行程问题解：设甲、乙的速度分别为x km/h,y km/h.根据题意与分析
6、中图示的两个相等关系，得2240.50.54.xyxy，解方程组，得53.xy，答：甲的速度为5km/h,乙的速度为3km/h.知识点1 行程问题例3 去年秋季，某校七年级和高中一年级招生总数为500名，计划今年秋季七年级招生人数增加20%，高中一年级招生人数比去年增加15%，这样，今年秋季七年级和高中一年级招生总数将比去年招生总数增加18%，今年秋季七年级和高中一年级各计划招生多少名？今年，七年级人数+高中一年级人数=500(1+18%)；分析：本题中的等量关系去年，七年级人数+高中一年级人数=500；今年，七年级人数=去年七年级人数+增长数；今年，高中一年级人数=去年高中一年级人数+增长数
7、；知识点2 增长率问题解：设去年七年级招生x名，高中一年级招生y名.根据题意，得500,(1 20%)(1 50%)500(1 18%).xyxy 解得300,200.xy所以(1 20%)(1 20%)300360,x(1 15%)(1 15%)200230.y答：今年秋季七年级计划招生360名，高中一年级计划招生230名.如果将今年两个年级计划招生人数设为未知数，如何列方程组呢？知识点2 增长率问题知识点2 增长率问题 基本关系式：增长率（增长后的量增长前的量）/增长前的量100%；相等关系：增长前的量(1增长率)增长后的量；下降前的量(1降低率)下降后的量【分析】设去年的总产值为x万元,
8、总支出为y万元,则有总产值/万元总支出/万元利润/万元去年今年(1+20)x(1-10)y780 xy200变式练习某工厂去年的利润(总产值-总支出)为200万元,今年总产值比去年增加了20,总支出比去年减少了10,今年的利润为780万元.去年的总产值、总支出各是多少万元?知识点2 增长率问题去年的总产值-去年的总支出=200万元，今年的总产值-今年的总支出=780万元 分析关键:找出等量关系.今年的总支出=去年的总支出(1-10%）今年的总产值=去年总产值(1+20%）知识点2 增长率问题解:设去年的总产值为x万元,总支出为y万元,则有x-y=200，(1+20)x-(1-10)y=780.
9、因此,去年的总产值是2 000万元，总支出是1 800万元.解得x=2 000，y=1 800.知识点2 增长率问题 设未知数、找等量关系、列方程（组）设未知数、找等量关系、列方程（组）解方程（组）解方程（组）检检 验验知识点2 增长率问题1.甲、乙两人赛跑，若乙先跑10米，甲跑5秒即可追上乙；若乙先跑2秒，则甲跑4秒就可追上乙.设甲速为x米/秒，乙速为y米/秒，则可列方程组为()B2.某食品厂要配制含蛋白质15的食品100 kg，现在有含蛋白质分别为20，12的甲乙两种配料用这两种配料可以配制出所要求的食品吗？如果可以的话，它们各需多少千克？分析 本问题涉及的等量关系有：甲配料质量+乙配料质
10、量=总质量，甲配料含蛋白质质量+乙配料含蛋白质质量=总蛋白质质量.解:设含蛋白质20的配料需用x kg，含蛋白质12 的配料需用ykg.根据等量关系得100,20%12%100 15%.xyxy 解这个方程组得37.5,62.5.xy答：可以配制出所要求的食品，其中含蛋白质20的配料需用37.5kg，含蛋白质12的配料需用62.5kg.3.甲、乙两种商品原来的单价和为100元，因市场变化，甲商品降价10，乙商品提价40,调价后两种商品的单价和比原来的单价和提高了20.求甲、乙两种商品原来的单价.解:设甲商品原来的单价为x 元，乙商品原来的单价为y 元.根据等量关系得100,(1-0.1)(1
11、0.4)100(1 0.2).xyxy 解这个方程组得40,60.xy答：甲商品原来的单价为40元，乙商品原来的单价为60元.4.一班和二班共有100名学生,他们的体育达标率(达到标准的百分率)为81,如果一班学生的体育达标率为87.5,二班学生的体育达标率为75,那么一、二班的学生数各是多少?分析 设一、二班的学生数分别为x名，y名.则有下表.一班二班两班总和学生数达标学生数xy10087.5x75y81100解:设一、二班的学生数分别为x名，y名.根据题意,得解得答：一、二班的学生数分别为48名和52名.x+y=100，87.5x+75y=81100.x=48,y=52.5.某业余运动员针
12、对自行车和长跑项目进行专项训练某次训练中，他骑自行车的平均速度为10 m/s，跑步的平均速度为 ，自行车路段和长跑路段共5 km，共用时15 min求自行车路段和长跑路段的长度10m/s3 分析：本问题涉及的等量关系有：自行车路段长度+长跑路段长度=总路程，骑自行车的时间+长跑时间=总时间.解：设自行车路段的长度为x m，长跑路段的长度为ym.根据等量关系，得5000,15 60.10 103xyyx 解这个方程组，得3000,2000.xy因此自行车路段的长度为3 000m，长跑路段的长度为2 000m二元一次方程组的应用增长率问题原量（1+增长率）=增长后的量；原量（1-减少率）=减少后的量.行程问题设元方法:直接法,间接法和设辅助元.路程=速度时间.
