1、专项突破专项突破五五 统计统计与概率解答题与概率解答题专题五专题五2025内容索引必备知识必备知识 精要梳理精要梳理关键能力关键能力 学案突破学案突破必备知识必备知识 精要梳理精要梳理1.离散型随机变量的方差公式 名师点析方差和标准差都是描述一组数据离散程度大小的量.2.期望与方差的性质(1)离散型随机变量期望的性质E(aX+b)=aE(X)+b;若XB(n,p),则E(X)=np;若X服从两点分布,则E(X)=p.(2)离散型随机变量方差的性质D(aX+b)=a2D(X);若XB(n,p),则D(X)=np(1-p);若X服从两点分布,则D(X)=p(1-p).3.正态分布正态分布完全由参数
2、和确定,因此正态分布常记作N(,2).如果随机变量X服从正态分布,则记为XN(,2).满足正态分布的三个基本概率的值是:(1)P(-X+)0.682 7,(2)P(-2X+2)0.954 5;(3)P(-3X+3)0.997 3.注意是2,不是 关键能力关键能力 学案突破学案突破突破点一突破点二突破点三突破点一突破点一正态分布及其应用正态分布及其应用例1 某工厂一台设备生产一种特定零件,工厂为了解该设备的生产情况,随机抽检了该设备在一个生产周期中的100件产品的关键指标(单位:cm),经统计得到下面的频率分布直方图.突破点一突破点二突破点三为了监控该设备的生产过程,每个生产周期中都要随机抽测1
3、0个零件的关键指标,如果关键指标出现了-3,+3之外的零件,就认为生产过程可能出现了异常,需停止生产并检查设备.下面是某个生产周期中抽测的10个零件的关键指标:0.81.20.951.011.231.121.330.971.210.83突破点一突破点二突破点三若设备状态正常,记X表示一个生产周期内抽取的10个零件关键指标在-3,+3之外的零件个数,求P(X1)及X的均值.突破点一突破点二突破点三抽测一个零件关键指标在-3,+3之内的概率约为0.997 3,所以抽测一个零件关键指标在-3,+3之外的概率为1-0.997 3=0.002 7,故XB(10,0.002 7),所以P(X1)=1-P(
4、X=0)=1-0.997 3101-0.973 3=0.026 7,所以E(X)=100.002 7=0.027.突破点一突破点二突破点三规律方法利用正态曲线的对称性求概率的策略(1)解决此类问题的关键是利用对称轴直线x=确定所求概率对应的随机变量的区间与已知概率对应的随机变量的区间的关系,必要时,可借助图形判断.(2)对于随机变量X服从正态分布N(,2),由直线x=是正态曲线的对称轴可知:对任意的a,有P(X+a);P(Xx0)=1-P(Xx0);P(aXb)=P(Xb)-P(Xa).突破点一突破点二突破点三(3)对于特殊区间求概率一定要掌握服从N(,2)的随机变量X在三个特殊区间的取值概率
5、,将所求问题向P(-X+),P(-2X+2),P(-3 X+3)转化,然后利用特定值求出相应概率.同时,要充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1这些特殊性质.突破点一突破点二突破点三精典对练精典对练得高分得高分某网络APP在平台开展了一项有奖闯关活动,并对每一关根据难度进行赋分,竞猜活动共五关,规定:上一关不通过则不进入下一关,本关第一次未通过有再挑战一次的机会,两次均未通过,则闯关失败,且各关能否通过相互独立.已知甲、乙、丙三人都参加了该项活动.突破点一突破点二突破点三(2)已知该闯关活动累计得分X服从正态分布,且满分为450分,现要根据得分给2 500名参加者中得分前400名发
6、放奖励.假设该闯关活动平均分数为171分,351分以上共有57人,已知甲的得分为270分,问甲能否获得奖励,请说明理由;丙得知他的分数为430分,而乙告诉丙:“这次闯关活动平均分数为201分,351分以上共有57人”,请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪.附:若随机变量XN(,2),则P(-X+)0.682 7,P(-2X+2)0.954 5,P(-3X+3)0.997 3.突破点一突破点二突破点三解(1)设Ai:第i次通过第一关,Bi:第i次通过第二关,i=1,2,甲可以进入第三关的概率为P.由题意知突破点一突破点二突破点三(2)设此次闯关活动的分数记为XN(,2).由题意可知=171
7、,所以前400名参赛者的最低得分低于+=261,而甲的得分为270分,所以甲能够获得奖励.突破点一突破点二突破点三突破点一突破点二突破点三数学思想数学思想扩思路扩思路函数与方程思想某届女排世界杯共有12支参赛队伍,本次比赛启用了新的排球用球,已知这种球的质量指标(单位:g)服从正态分布N(270,52).比赛赛制采取单循环方式,即每支球队进行11场比赛(采取5局3胜制),最后积分最高的队伍取得最后冠军(若积分相同需要进行加赛).积分规则如下:比赛中以30或31取胜的球队积3分,负队积0分;而在比赛中以32取胜的球队积2分,负队积1分.已知第10轮A队对抗B队,设每局比赛A队取胜的概率为p(0p
8、1).(1)若比赛准备了1 000个排球,请估计质量指标在260,265内的排球个数(计算结果取整数).突破点一突破点二突破点三(2)第10轮比赛中,记A队3 1取胜的概率为f(p).求出f(p)的最大值点p0;若以p0作为p的值,记第10轮比赛中,A队所得积分为X,求X的分布列及均值.参考数据:若XN(,2),则P(-X+)0.682 7,P(-2X+2)0.954 5.突破点一突破点二突破点三突破点一突破点二突破点三突破点一突破点二突破点三X的分布列为 突破点一突破点二突破点三点评在求f(p)的最大值点p0时,因为f(p)是关于变量p的函数,故利用导数研究函数单调性,从而得最大值点.体现了
9、函数与方程思想的运用.突破点一突破点二突破点三突破点二突破点二均值与方差在实际问题中的应用均值与方差在实际问题中的应用等级A级B级C级个数404020例2某公司从进入市场的某种商品中随机抽检100个,利用等级分类标准得到数据如下.(1)以表中抽检的样本估计全市该商品的等级,现从全市上市的该商品中随机抽取10个,若取到k个A级品的可能性最大,求k的值;突破点一突破点二突破点三销量/吨151617181920年数245621(2)一连锁超市采购商每年采购A级该商品,前20年该商品在此超市的实际销量统计如下表.今年A级该商品的采购价为0.8万元/吨,超市以1.6万元/吨的价格卖出,由于商品不易储存,
10、卖不完当垃圾处理.超市计划今年购进17吨或18吨该商品,你认为应该购进17吨还是18吨?请说明理由.突破点一突破点二突破点三突破点一突破点二突破点三(2)超市购进17吨该商品时,利润为1,卖出的吨数为X1,X1的可能取值为15,16,17,1的可能取值为10.4,12,13.6,突破点一突破点二突破点三突破点一突破点二突破点三突破点一突破点二突破点三突破点一突破点二突破点三规律方法利用均值与方差进行决策的思想方法随机变量的均值的意义在于描述随机变量的平均程度,而方差则描述了随机变量稳定与波动或者集中与分散的状况.品种的优劣、设备的性能、采购的数量、预报的准确与否等很多指标都与这两个特征量有关.
11、突破点一突破点二突破点三精典对练精典对练得高分得高分(2024新高考,18)某投篮比赛分为两个阶段,每个参赛队由两名队员组成,比赛具体规则如下:第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次,若3次都未投中,则该队被淘汰,比赛成绩为0分;若至少投中1次,则该队进入第二阶段,第二阶段由该队的另一名队员投篮3次,每次投篮投中得5分,未投中得0分,该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲、乙两名队员组成,设甲每次投中的概率为p,乙每次投中的概率为q,各次投中与否相互独立.突破点一突破点二突破点三(1)若p=0.4,q=0.5,甲参加第一阶段比赛,求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率;(2)假设0pq
12、,()为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大,应该由谁参加第一阶段比赛?()为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大,应该由谁参加第一阶段比赛?突破点一突破点二突破点三解(1)设A1=“甲、乙所在队进入第二阶段”,则P(A1)=1-(1-0.4)3=0.784.设A2=“乙在第二阶段至少得5分”,则P(A2)=1-(1-0.5)3=0.875.设A3=“甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分”,则P(A3)=P(A1)P(A2)=0.686.(2)()设甲参加第一阶段比赛时甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为P甲,则P甲=1-(1-p)3q3=pq3(3-3p+p2).设乙参加第一阶段比
13、赛时甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为P乙,则P乙=1-(1-q)3p3=qp3(3-3q+q2).则P甲-P乙=pq(3q2-3pq2+p2q2-3p2+3p2q-p2q2)=3pq(q-p)(p+q-pq),由0p0,p+q-pq=p+q(1-p)0,所以P甲-P乙0,即P甲P乙.故应该由甲参加第一阶段比赛.突破点一突破点二突破点三突破点一突破点二突破点三突破点一突破点二突破点三数学思想数学思想扩思路扩思路为了庆祝党的二十大顺利召开,某学校特举办主题为“重温光辉历史 展现坚定信心”的百科知识小测试比赛.比赛分抢答和必答两个环节,两个环节均设置10道题,其中5道人文历史题和5道地理环境题
14、.(1)在抢答环节,某代表队非常积极,抢到4次答题机会,求该代表队至少抢到1道地理环境题的概率;(2)在必答环节,每个代表队从5道人文历史题和5道地理环境题中各选2题,各题答对与否相互独立,每个代表队可以先选择人文历史题,也可以先选择地理环境题开始答题.若中间有一题答错就退出必答环节,仅当第一类问题中2题均答对,才有资格开始第二类问题答题.已知答对1道人文历史题得2分,答对1道地理环境题得3分.假设某代表队答对人文历史题的概率都是 ,答对地理环境题的概率都是 .请你为该代表队作出答题顺序的选择,使其得分均值更大,并说明理由.突破点一突破点二突破点三突破点一突破点二突破点三突破点一突破点二突破点
15、三突破点一突破点二突破点三突破点一突破点二突破点三点评第(2)问,根据题意分类讨论,分别求出该代表队两种不同答题顺序下的均值,比较它们的大小即可得出答案.突破点一突破点二突破点三突破点三突破点三概率分布与其他知识的综合概率分布与其他知识的综合突破点一突破点二突破点三(1)封闭集训期间,记3名运动员中第2天进行有氧训练的人数为X,求X的分布列与数学期望;(2)封闭集训期间,记某运动员第n天进行有氧训练的概率为Pn,求P45.突破点一突破点二突破点三突破点一突破点二突破点三突破点一突破点二突破点三突破点一突破点二突破点三规律方法概率与数列的综合是新高考卷的新命题内容,难度中等偏难,常在大题中考查,
16、在本题问题中,Pn的概率分布只能由Pn-1决定,在时间序列中它前面的事件均与之无关.突破点一突破点二突破点三精典对练精典对练得高分得高分(1)求该同学开学第2天中午选择米饭套餐的概率;(2)记该同学第n(nN*)天选择米饭套餐的概率为Pn,突破点一突破点二突破点三突破点一突破点二突破点三突破点一突破点二突破点三数学思想数学思想扩思路扩思路数形结合思想为降低工厂废气排放量,某厂生产甲、乙两种不同型号的减排器,现分别从甲、乙两种减排器中各抽取100件进行性能质量评估检测,综合得分情况的频率分布直方图如图所示.甲型号减排器 乙型号减排器 突破点一突破点二突破点三综合得分k的范围减排器等级减排器利润率k85一级品a75k85二级品5a270k75三级品a2(1)若从这100件甲型号减排器中按等级分层随机抽样的方法抽取10件,再从这10件产品中随机抽取4件,求至少有2件一级品的概率;(2)将频率分布直方图中的频率近似地看作概率,用样本估计总体,则:若从乙型号减排器中随机抽取3件,求二级品数的分布列及均值E();从长期来看,投资哪种型号的减排器平均利润率较大?突破点一突破点二突破点三突破点一突破点二突破点三突破点一突破点二突破点三突破点一突破点二突破点三突破点一突破点二突破点三点评解决本题的关键是通过阅读已知的频率分布直方图和表格得出需要的数据并应用.本本 课课 结结 束束
