1、微专题40最值、范围问题考情分析圆锥曲线的综合问题是高考考查的重点内容，范围、最值问题是常见的热点题型，常以解答题的形式压轴出现，难度较大考点一圆锥曲线的最值问题典例1(2023全国甲卷)已知直线x2y10与抛物线C：y22px(p0)交于A，B两点，|AB|4.(1)求p；(2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，0，求MFN面积的最小值解(1)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，由可得y24py2p0，所以yAyB4p，yAyB2p，所以|AB|4，即2p2p60，解得p2(负值舍去)(2)由(1)知y24x，所以焦点F(1,0)，显然直线MN的斜率不可能为零，设直线MN：xmyn，M(x
2、1，y1)，N(x2，y2)，由可得y24my4n0，所以y1y24m，y1y24n，16m216n0m2n0，因为0，(x11，y1)，(x21，y2)，所以(x11)(x21)y1y20，即(my1n1)(my2n1)y1y20，即(m21)y1y2m(n1)(y1y2)(n1)20，将y1y24m，y1y24n代入得，4m2n26n1，所以4(m2n)(n1)20，所以n1，且n26n10，解得n32或n32.设点F到直线MN的距离为d，所以d，|MN|2|n1|，所以MFN的面积S|MN|d2|n1|(n1)2，而n32或n32，所以当n32时，MFN的面积最小，为Smin(22)21
3、284(32)跟踪训练1(2023齐齐哈尔模拟)设椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，椭圆C的离心率为.(1)若椭圆C的上顶点为W，且WF1F2的面积为9，求椭圆C的标准方程；(2)设过椭圆C的内部点P(1,0)且斜率为k的直线l交C于M，N两点，若椭圆C上存在点Q，使得，求b的最大值解(1)由椭圆C的离心率为且WF1F2的面积为9，可得解得a6，b3，c3，所以椭圆C的标准方程为1.(2)由椭圆C的离心率为，可得，可得a2b，则椭圆C的方程为1(b0)，因为点P(1,0)在椭圆内，可得，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线l的方程为yk(x1)，联立方程组整
4、理得(14k2)x28k2x4(k2b2)0，则x1x2，y1y2k(x1x22).设Q(x0，y0)，因为，所以x0，y0，所以Q，将点Q坐标代入椭圆C的方程得b21，显然，随着k的增大，b在增大，又因为00，b0)的左、右焦点，P是C右支上一点，F1F2P的周长为18，I为F1F2P的内心，且满足234.(1)求双曲线C的标准方程；(2)过F2的直线l与双曲线的右支交于M，N两点，与y轴交于点Q，满足m，n(其中m0)，求的取值范围解(1)设PF1F2内切圆半径为r，由题意得|PF2|r，|F1F2|r，|PF1|r.所以|PF2|F1F2|PF1|234，因为PF1F2的周长为18，所以
5、|PF2|4，|PF1|8，|F1F2|6，所以2a|PF1|PF2|4,2c6，所以a24，b2c2a2945，所以双曲线的标准方程为1.(2)由题知，直线l斜率存在且不为0，可设其方程为xty3(t0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，Q，联立整理得(5t24)y230ty250，因为直线l与双曲线右支交于两点，则有解得t20)，所以m(3x1，y1)，所以y1m(y1)，即y1，同理y2，所以y1y2，y1y2，两式相除得(m1)(n1).因为1，因为y1y2，又由y1y20，得0，即(m1)(n1)0，又因为(m1)(n1)，则(m1)0，解得m，所以0，所以00，b0)的顶点，C
6、1的焦点到C2的渐近线的距离为.直线l：ykxt与C2相交于A，B两点，3.(1)求证：8k2t21；(2)若直线l与C1相交于P，Q两点，求|PQ|的取值范围(1)证明由题意得，椭圆焦点坐标为(1,0)，双曲线渐近线方程为bxay0，所以解得所以C2的方程为y21，由消去y得(12k2)x24ktx2t220，所以得t22k210，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则所以x1x2y1y2x1x2(kx1t)(kx2t)(1k2)x1x2kt(x1x2)t2(1k2)t23，化简得8k2t21，得证(2)解由消去x，得(12k2)x24ktx2t220，所以16k2t24(12k2)(2t
7、22)0，即t22k210,8k2t21，及k0，t20，可得0k2，设P(x3，y3)，Q(x4，y4)，则所以(x3x4)224，所以|PQ|2(1k2)(x3x4)2，设12k2，则k2，由00，b0)的左顶点为A，焦距为4，过右焦点F作垂直于x轴的直线交C于B，D两点，且ABD是直角三角形(1)求双曲线C的方程；(2)M，N是C右支上的两动点，设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，若k1k22，求点A到直线MN的距离d的取值范围解(1)依题意，BAD90，半焦距c2，由|AF|BF|，得ac，得a22a22a2，解得a1(其中a20舍去)，所以b2c2a2413，故双曲线C的方程为x
8、21.(2)显然直线MN不可能与x轴平行，故可设直线MN的方程为xmyn，联立消去x整理得(3m21)y26mny3(n21)0，在条件下，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1y2，y1y2，由k1k22，得y1y22(x11)(x21)0，即y1y22(my1n1)(my2n1)0，整理得(2m21)y1y22m(n1)(y1y2)2(n1)20，则3(n21)(2m21)12m2n(n1)2(n1)2(3m21)0，化简可得n24n50，解得n5或n1(舍去)，则直线MN的方程为xmy50，得d，又M，N都在双曲线的右支上，所以y1y20，故有3m210,0m2，此时10，设A(x
9、A，yA)，B(xB，yB)，则xAxB4b，xAxB4k，xBxA4，k21b.设R(xR，yR)，由，得xR，联立得x24kx40，x1x24k，x1x24,则|PR|QR|(1k2)(x1xR)(x2xR)(1k2)(1k2)2.当k时，|PR|QR|取得最大值.3(2023厦门质检)已知椭圆1(ab0)的上顶点为M(0,2)，右顶点为N，直线MN的斜率为，A，B，C，D是椭圆上4个点(异于点M)，ABCD，直线MA与MB的斜率之积为，直线MC与MD的斜率之和为1.(1)证明：A，B关于原点对称；(2)求直线AB与CD之间的距离的取值范围(1)证明由题意得b2，则a2，故椭圆方程为1，取
10、椭圆下顶点为M(0，2)，设A(x0，y0)，则kMAkMA，而1，则kMAkMB，故kMAkMB，故MAMB，由椭圆关于原点中心对称，可知A，B关于原点对称(2)解设直线CD的方程为ykxm，设C，D两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，联立方程消去y并整理得(3k21)x26kmx3m2120，则x1x2，x1x2，又由kMCkMD1，有1，即1，整理得到2k(m2)1，即2k1，故2k(m2)1，可得m4k2，m0，故k，又由36k2m24(3k21)(3m212)0，可得0k4，由点M不在直线CD上，可得k1，故k的取值范围为(1,4)直线AB与CD之间的距离，即原点O到CD的距离d，设2k1t，t(1,0)(0,1)(1,7)，则k，则d2，故d2，即所求范围为.
