1、第4讲函数的极值、最值考情分析利用导数研究函数的极值、最值是重点考查内容，多以选择题、填空题压轴考查，或以解答题的形式出现，难度中等偏上，属综合性问题 考点一利用导数研究函数的极值核心提炼判断函数的极值点，主要有两点(1)导函数f(x)的变号零点，即为函数f(x)的极值点(2)利用函数f(x)的单调性可得函数的极值点例1(2023海南统考)已知函数f(x)xa(2ex)2(aR)(1)若函数f(x)在x0处的切线与直线xy10平行，求实数a的值；(2)若函数f(x)的极大值不小于3a，求实数a的取值范围解(1)因为f(x)xa(2ex)2，则f(x)1aex，在直线方程xy10中，令x0，可得
2、y1，由题意可得解得a2.(2)因为函数f(x)xa(2ex)2的定义域为R，f(x)1aex.当a0时，对任意的xR，f(x)0，即函数f(x)在R上是增函数，此时函数f(x)无极值；当a0时，由f(x)0，可得xln a，当x0，此时函数f(x)单调递增，当xln a时，f(x)0，则g(a)10，故函数g(a)在(0，)上单调递增，且g(1)0，由aln a10可得g(a)g(1)，解得0a1.因此，实数a的取值范围是(0,1易错提醒(1)不能忽略函数的定义域(2)f(x0)0是可导函数f(x)在xx0处取得极值的必要不充分条件，即f(x)的变号零点才是f(x)的极值点，所以判断f(x)
3、的极值点时，除了找f(x)0的实数根x0外，还需判断f(x)在x0左侧和右侧的单调性(3)函数的极小值不一定比极大值小跟踪演练1(1)(2021全国乙卷)设a0，若xa为函数f(x)a(xa)2(xb)的极大值点，则()AabCaba2答案D解析当a0时，根据题意画出函数f(x)的大致图象，如图所示，观察可知ba.当ab.综上，可知必有aba2成立(2)(2023乐山模拟)已知函数f(x)aexx2 有两个极值点，则a的取值范围是()A. B.C. D.答案B解析f(x)aex2x，f(x)有2个极值点等价于f(x)有2个变号零点，令f(x)aex2x0，有a，令g(x)，则g(x)，当x1时
4、，g(x)0，g(x)单调递减；当x1时，g(x)0，g(x)单调递增，所以当x1时，g(x)取得极大值也是最大值g(1)，当x趋于时，g(x)趋于，当x趋于时，g(x)趋于0，函数大致图象如图所示，所以a的取值范围是.考点二利用导数研究函数的最值核心提炼1求函数f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤(1)求函数在(a，b)内的极值(2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值2若函数含有参数或区间含有参数，则需对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数的最值例2(1)(2022全国甲卷)
5、当x1时，函数f(x)aln x取得最大值2，则f(2)等于()A1 B C. D1答案B解析因为函数f(x)的定义域为(0，)，所以依题意可知而f(x)，所以即所以f(x)，因此函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，当x1时取最大值，满足题意所以f(2)1.(2)(2023抚州模拟)已知函数f(x)ex2x，g(x)x，且f(x1)g(x2)，则x1x2的最小值为()A1 Be C1ln 2 D2ln 2答案A解析由f(x1)g(x2)，得2x1x2，化简整理得x1x2x1，因为g(x)的值域，f(x)，g(x)的定义域均为R，所以x1的取值范围也是R，令h(x)exx(
6、xR)，h(x)ex1，令ex10，解得x0.当x(，0)时，h(x)0，即h(x)在(0，)上单调递增，所以h(x)minh(0)1，故(x1x2)min1.易错提醒(1)求函数最值时，不可想当然地认为极值就是最值，要通过比较大小才能下结论(2)求函数无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值，还需研究单调性，结合单调性和极值情况，画出函数图象，借助图象得到函数的最值跟踪演练2(1)(2023葫芦岛模拟)函数f(x)cos x(x1)sin x1在区间0,2上的最大值为()A B2C D.2答案D解析f(x)(x1)cos x，当x时，f(x)0，f(x)单调递增；当x时，f(x)0，f
7、(x)单调递减；当x时，f(x)0，f(x)单调递增，f2，f(2)2，f(x)maxf2.(2)(2023无锡模拟)已知函数f(x)a(ln x1)x(aR)在区间(e，)上有最值，则实数a的取值范围是()A(e，) B.C(，e D(，e)答案A解析f(x)1，其中xe，当ae时，f(x)e时，若x(e，a)，则f(x)0，若x(a，)，则f(x)0，故f(x)在(e，a)上单调递增，在(a，)上单调递减，故f(x)在xa处取最大值综上所述，实数a的取值范围是(e，)考点三极值、最值的简单应用例3已知函数f(x)ax3bx2cxd的极值点为1和2，且f(x)在(1,2)上单调递增，则2a3
8、b212c的最大值为_答案13解析因为f(x)ax3bx2cxd，所以f(x)ax2bxc，由题知函数f(x)的极值点为1和2，且在(1,2)上单调递增，所以解得所以2a3b212c2a39a224a，令(a)2a39a224a，a0，则(a)6a218a246(a4)(a1)，因为a0；当a(1,0)时，(a)0，当x(，0)(，2)时，sin x0，则由图象可得当x(，2)时，f(x)0，当x(2,2)时，f(x)0，故函数f(x)在(，2)上单调递减，在(2,2)上单调递增，则由图象可得函数f(x)在定义域D上先减后增，有极小值f(2)，无极大值5(2023全国乙卷)函数f(x)x3ax
9、2存在3个零点，则a的取值范围是()A(，2) B(，3)C(4，1) D(3,0)答案B解析f(x)x3ax2，则f(x)3x2a，若f(x)存在3个零点，则f(x)要存在极大值和极小值，则a0，当x时，f(x)0，故f(x)的极大值为f，极小值为f，若f(x)存在3个零点，则即解得a3.6(2023武汉模拟)已知函数f(x)exb，xR，都有f(x)的最小值为0，则a2b的最小值为()A B.C D.答案A解析f(x)ex，若a0，此时f(x)为R上的增函数，f(x)无最小值，故a0，令f(x)0，得xlnln a，当x(，ln a)时，f(x)0，f(x)在(，ln a)上单调递减，在(
10、ln a，)上单调递增，f(x)minf(ln a)eln abb0，b，a2baaln a，令g(a)aaln a(a0)，g(a)11ln a2ln a，当a(0，e2)时，g(a)0，g(a)在(0，e2)上单调递减，在(e2，)上单调递增，g(a)ming(e2)e2e2(2)e2.二、多项选择题7(2023新高考全国)若函数f(x)aln x(a0)既有极大值也有极小值，则()Abc0 Bab0Cb28ac0 Dac0，ab0，ac0，显然a2bc0，即bc0，故A错误，B，C，D正确8(2023泰安模拟)已知函数f(x)ln(e2x1)ax(aR)，下列说法错误的是()A若a1，则
11、函数yf(x)图象在x0处的切线方程为2xyln 20B若a1，则函数yf(x)是奇函数C若a2，则函数yf(x)存在最小值D若函数f(x)存在极值，则实数a的取值范围是(2,0)答案BC解析对于A，当a1时，f(x)1，则f(0)2，f(0)ln 2，所以切线方程为2xyln 20，所以A正确；对于B，函数的定义域是R，若a1，则f(x)ln(e2x1)x，所以f(x)ln(e2x1)xlnxln(e2x1)ln e2xxln(e2x1)xf(x)，所以yf(x)是偶函数，所以B错误；对于C，当a2时，f(x)ln(e2x1)2x，则f(x)20，所以02，即0a22，解得2a0，f(x)单
12、调递增，在(3,1)上f(x)0，f(x)单调递增，所以f(x)的极小值点是x1.10(2023凉山模拟)已知函数f(x)的导函数为g(x)(x1)(x23xa)，若1不是函数f(x)的极值点，则实数a的值为_答案2解析由题意可知f(x)g(x)(x1)(x23xa)，若1不是函数f(x)的极值点，令h(x)x23xa，h(1)0，即13a0a2，当a2时，f(x)(x1)(x23x2)(x1)2(x2)，故当x2时，f(x)0；当x0，容器的高为2x.记容器的体积为V(x)，则V(x)x(x1)2x3x2x，V(x)6x2x(2x1)(12x7)，当V(x)0时，解得x，当V(x)0，即x0
13、，即0x时，函数V(x)单调递增，V(x)maxV，此时高为.12(2023江门模拟)已知f(x)|ln x|，x1，x2是方程f(x)a(aR)的两根，且x1x2，则的最大值是_答案解析由题意x1，x2是方程|ln x|a的两根，且x10，ln x1a，ln x2a，即x1ea，x2ea，所以(a0)，令g(x)(x0)，g(x)，当0x0，g(x)单调递增；当x1时，g(x)0得，0x1；令f(x)1，函数f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，)(2)f(x).当a0时，x0，f(x)0，函数f(x)在(0，e上单调递增，f(x)maxf(e)2，12，ae符合题意；当e
14、a0，f(x)在(0，e)上单调递增，故f(x)在(0，e上的最大值为f(x)maxf(e)12，ae不符合题意，舍去，综上可得ae.14(2023郑州模拟)已知函数f(x)sin xmx3，g(x)(x1)ex(mR)(1)当m1时，求f(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)设F(x)f(x)g(x)sin x，当x0时，函数F(x)有两个极值点，求实数m的取值范围解(1)当m1时，f(x)sin xx3，所以f(x)cos x3x2，故f(0)1，f(0)0，所以切线方程为yx，即xy0.(2)由题设知，F(x)(x1)exmx3，x(0，)有两个极值点，则F(x)x(ex3mx)有两个变号零点，令F(x)0得x0或ex3mx0，因为x0，故3m，所以y3m与(x)(x0)有两个不同的交点，(x)，当x(0,1)时，(x)0，所以(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，所以(x)min(1)e，且x0时，(x)，x时，(x)，故3me，即m，所以实数m的取值范围是.
