1、压轴题突破练31(2023运城模拟)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，A，B分别为C上两个不同的动点，O为坐标原点，当OAB为等边三角形时，|AB|8.(1)求C的标准方程；(2)抛物线C在第一象限的部分是否存在点P，使得点P满足4，且点P到直线AB的距离为2？若存在，求出点P的坐标及直线AB的方程；若不存在，请说明理由解(1)由对称性可知当OAB为等边三角形时，A，B两点关于x轴对称，OAB的高为|AB|12，由题意知点(12,4)在C上，代入y22px，得(4)224p，解得p2，所以C的标准方程为y24x.(2)由(1)知F(1,0)，根据题意可知直线AB的斜率不为0，设直线A
2、B的方程为xkym，A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，联立得y24ky4m0，所以16k216m0，即k2m0，且y1y24k，y1y24m，所以x1x2k(y1y2)2m4k22m，由4，得(x1x0，y1y0)(x2x0，y2y0)4(1x0，y0)，所以所以即P(2m2k2，2k)，又点P在C上，所以4k24(2m2k2)，即3k2m2，所以k2mk223k22(1k2)0，解得1k0，所以1k0.又点P到直线AB的距离d2，化简得m22mk2，联立解得或(舍去)，或(舍去)此时点P，直线AB的方程为3xy10.2(2023大连模拟)已知函数f(x)2aexsin x
3、1，f(x)是f(x)的导函数，且f(0)0.(1)求实数a的值，并证明函数f(x)在x0处取得极值；(2)证明：f(x)在每一个区间(kN)上都有唯一零点(1)解f(x)2aexsin x1，f(x)2aexcos x.f(0)0，f(0)2a10，即a.f(x)exsin x1，f(x)excos xex(1excos x)，当x1excos x，f(x)0，当0x时，令g(x)1excosx，g(x)ex(sin xcos x)0，即g(x)在上单调递减，g(x)g(0)0，f(x)，h(x)0，h(x)在区间(kN)上单调递减，又h(2k)e2k10，h10，h(x)在每一个区间(kN)上有唯一零点，故f(x)在每一个区间(kN)上都有唯一零点
