1、大题规范练61(2023南宁模拟)数列an的前n项和为Sn，a11且点(Sn，an1)(nN*)在直线y2x1上(1)求an的通项公式；(2)等差数列bn的各项为正数，其前n项和为Tn，且T315，又a1b1，a2b2，a3b3成等比数列，求Tn.解(1)由an12Sn1，可得an2Sn11(n2)，两式相减，得an1an2an，an13an(n2)，又因为a22S113，所以a23a1，故an是首项为1，公比为3的等比数列，所以an3n1.(2)设bn的公差为d，由T315，得b1b2b315，可得b25，故b15d，b35d，又a11，a23，a39，由题意可得(5d1)(5d9)(53)
2、2，解得d12，d210，因为等差数列bn的各项为正数，所以d0，所以d2，则b13，所以Tn3n2n22n.2(2023杭州模拟)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acos Ccb.(1)求A；(2)线段BC上一点D满足ADBD1，CD3，求AB的长度解(1)由acos Ccb，结合正弦定理可得sin Acos Csin Csin B，因为ABC，所以sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C，所以sin Acos Csin Csin Acos Ccos Asin C，即sin Ccos Asin C，因为sin C0，所以cos A，因为A(0，)，
3、所以A.(2)如图，由题设，令BBAD，则DAC，C，ADC2，在ADC中，即，所以sin3sin，故cos sin cos sin ，所以2sin cos ，又sin2cos21，解得sin ，cos .在等腰ABD中，取AB中点E，连接DE，则DEAB，则AB2BE2BDcos .3(2023北京模拟)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是梯形，ADBC，AD平面PAB，PAB是等腰三角形，PAPB，ABBC2AD2，E是AB的中点(1)求证：PECD；(2)设PA与CD所成的角为1，直线PD与平面ABCD所成的角为2，二面角PBCA为3，从以下所给的三个条件中选出其中一个作为已知条件
4、，求四棱锥PABCD的体积cos 1；sin 2；cos 3.(1)证明因为PAPB，E是AB的中点，所以PEAB，因为AD平面PAB，PE平面PAB，所以ADPE.因为ADABA，AD，AB平面ABCD，所以PE平面ABCD.因为CD平面ABCD，所以PE CD.(2)解若选.方法一设F是BC的中点，连接AF，PF，因为ADCF，ADCF，所以四边形AFCD为平行四边形，所以AFCD，AFCD.所以PAF就是PA与CD所成的角，PAF1.设PEx, 则PAPB，PF，AF.因为PF2PA2AF22PAAFcos 1，所以x22x2152.解得x2.所以VPABCDSh22.方法二设PEt，设
5、CD的中点为G，连接EG，则EGAB，PE，AB，EG两两垂直，分别以EG，EB，EP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图所示，则P(0,0，t)，A(0，1,0)，D(1，1,0)，C(2,1,0)所以(0，1，t)，(1，2,0) .所以cos 1|cos，|，解得t2.所以VPABCDSh22.若选.方法一连接DE.因为PE平面ABCD，所以DE是PD在平面ABCD内的投影所以PDE 就是PD与平面ABCD所成的角，PDE2 ，且2(0，90)，因为AEAD1，所以DE.因为sin 2，所以cos 2，tan 2.所以，故PE2.所以 VPABCDSh22.方法二设CD的中点为G，连
6、接EG，则EGAB，PE，AB，EG两两垂直，分别以EG，EB，EP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图设平面ABCD的法向量为m(0,0,1)设P(0,0，t)(t0)，D(1，1,0)，所以(1，1，t)所以sin 2|cos，m|.解得t2.所以VPABCDSh22.若选.因为ADBC，AD平面PAB，所以BC平面PAB，所以BCPB，BCAB.所以PBA就是二面角PBCA的平面角，PBA3.因为cos 3，所以PB.所以PE2.所以VPABCDSh22.4(2023苏州统考)已知双曲线C1：1(a0，b0)的渐近线为yx，右焦点F到渐近线的距离为，设M(x0，y0)是双曲线C2：1
7、上的动点，过M的两条直线l1，l2分别平行于C1的两条渐近线，与C1分别交于P，Q两点(1)求C1的标准方程；(2)证明：直线PQ过定点，并求出该定点的坐标(1)解因为C1的渐近线方程为yx，所以，所以ba.又右焦点F到渐近线的距离为，所以，得c.又因为c2a2b2，所以a2，所以b，所以双曲线C1的标准方程为1.(2)证明由(1)可知C2的方程为1，因为M(x0，y0)，所以有1，过点M作与yx平行的直线与双曲线C1交于点P，由得1，整理得1，所以xx0y0，由于1，故，则xx0y0y0，故y(xx0)y0x0，所以P.同理可得Q.所以直线PQ：4y0y3x0x恒过定点(0,0)5(2023
8、福州模拟)某知识测试的题目均为多项选择题，每道多项选择题有A，B，C，D这4个选项，4个选项中仅有两个或三个为正确选项题目得分规则为：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分已知测试过程中随机地从四个选项中做选择，每个选项是否为正确选项相互独立若第一题正确选项有两个的概率为，并且规定若第i(i1,2，n1)题正确选项有两个，则第i1题正确选项有两个的概率为；第i(i1,2，n1)题正确选项有三个，则第i1题正确选项有三个的概率为.(1)若第二题只选了“C”一个选项，求第二题得分的分布列及均值；(2)求第n题正确选项有两个的概率；(3)若第n题只选择了B，C两个选项，设Y表示第n题得分
9、，求证：E(Y).(1)解设事件C2表示正确选项有2个，事件C3表示正确选项有3个，Pn(C2)表示第n题正确选项有2个的概率，Pn(C3)表示第n题正确选项有3个的概率设事件C表示选项“C”为第二题的一个正确选项，用随机变量X表示第二题得分依题意得，X的所有可能取值为0,2.因为P2(C2)P1(C2)P1(C3)，P2(C3)1P2(C2)， 所以P(X0)P(|C2)P2(C2)P(|C3)P2(C3)，P(X2)P(C|C2)P2(C2)P(C|C3)P2(C3)，所以X的分布列为X02P所以E(X)02.(2)解依题得，Pn1(C2)Pn(C2)Pn(C3)Pn(C2)1Pn(C2)
10、Pn(C2)，所以Pn1(C2)，又因为P1(C2)，所以是以为首项，为公比的等比数列所以Pn(C2)n1n，即Pn(C2)n.(3)证明由(2)可知，Pn(C2)n，Pn(C3)1Pn(C2)n.依题意得，Y的所有可能取值为0,2,5.P(Y0)Pn(C2)Pn(C3)n，P(Y2)0Pn(C2)Pn(C3)n，P(Y5)Pn(C2)0Pn(C3)n，所以E(Y)25n.6(2022长沙模拟)已知函数f(x)ln x.(1)证明：f(x1)x；(2)若函数h(x)2xf(x)，存在x1x2使h(x1)h(x2)，证明：x1x21，g(x)，令g(x)0，解得1x0；令g(x)0，g(x)在(1,0)上单调递增，在(0，)上单调递减，则g(x)maxg(0)0，g(x)0恒成立，即ln(x1)x.(2)h(x)2xln x(x0)，h(x)2ln x2，令h(x)0，解得x；令h(x)0，解得0x，h(x)在上单调递增，在上单调递减又h，h(1)0，x1x2，h(x1)h(x2)，且0x1，x21.要证x1x2，即证x1.0h，又h(x1)h(x2)，只证h(x2)h即可令m(x)h(x)h2xln xln e2x，m(x)2ln x2(1ln e2x)2(1ln x)0恒成立，m(x)在x0，h(x)h，即h(x2)h，x1x2.
