1、第2讲基本初等函数、函数与方程考情分析1.基本初等函数的图象与性质是高考考查的重点，利用函数性质比较大小、解不等式是常见题型.2.函数零点的个数判断及参数范围是常考题型，常以压轴题的形式出现.3.函数模型及应用是近几年高考的热点，通常考查指数函数、对数函数模型 考点一基本初等函数的图象与性质核心提炼指数函数yax(a0，且a1)与对数函数ylogax(a0，且a1)互为反函数，其图象关于yx对称，它们的图象和性质分0a1两种情况，着重关注两种函数图象的异同例1(1)已知log2alog2b0(a0且a1，b0且b1)，则函数f(x)x与g(x)logbx的图象可能是()答案B解析log2alo
2、g2b0，即为log2ab0，即有ab1，当a1时，0b1，函数f(x)x与g(x)logbx均为减函数，四个图象均不满足；当0a1时，b1，函数f(x)x与g(x)logbx均为增函数，排除A，C，D，在同一坐标系中的图象只能是B.(2)(2023六盘水质检)设a0.70.8，b0.80.7，clog0.80.7，则a，b，c的大小关系为()Abca BacbCcab Dcba答案D解析由对数函数的性质，可得clog0.80.7log0.80.81，又由指数函数的性质，可得1b0.80.70.80.8，由幂函数yx0.8在(0，)上单调递增，可得0.80.80.70.8a，所以1ba，所以l
3、og0.80.70.80.70.70.8，即cba.规律方法(1)指数函数、对数函数的图象与性质受底数a的影响，解决与指数函数、对数函数有关的问题时，首先要看底数a的取值范围(2)基本初等函数的图象和性质是统一的，在解题中可相互转化跟踪演练1(1)(多选)(2023惠州模拟)若6a2,6b3，则()Aab1 B.1Cab Dbalog221，故B正确；选项C，因为a0，b0，ab，所以ablog661，所以ba，故D错误(2)从函数的观点看，不等式3xlg x3的解集是_答案(0,1解析令f(x)3xlg x3，由于y3x，ylg x均为增函数，因此f(x)为(0，)上的增函数，又f(1)0，
4、故f(x)0的解集为(0,1考点二函数的零点核心提炼判断函数零点个数的方法(1)利用函数零点存在定理判断(2)代数法：求方程f(x)0的实数根(3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数yf(x)的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性考向1函数零点个数的判断例2(2023全国甲卷)函数yf(x)的图象由函数ycos的图象向左平移个单位长度得到，则yf(x)的图象与直线yx的交点个数为()A1 B2 C3 D4答案C解析因为ycos向左平移个单位长度所得函数为ycoscossin 2x，所以f(x)sin 2x，而yx显
5、然过与(1,0)两点，作出yf(x)与yx的大致图象如图所示，考虑2x，2x，2x，即x，x，x处f(x)与yx的大小关系，当x时，fsin1，y1；当x时，fsin 1，y1.所以由图可知，f(x)与yx的交点个数为3.考向2求参数的值或范围例3(2023成都模拟)已知函数f(x)g(x)f(x)x2a，若g(x)存在2个零点，则实数a的取值范围是()A. B0，)C. D.答案D解析g(x)f(x)x2a存在2个零点，故函数yf(x)的图象与直线yx2a有2个交点，画出函数图象，如图，平移直线yx，可以看出当且仅当2a1，即a时，直线yx2a与函数yf(x)的图象有2个交点规律方法利用函数
6、零点的情况求参数值(或取值范围)的三种方法跟踪演练2(1)函数f(x)的零点个数为()A1 B2 C3 D4答案B解析当x0时，f(x)2x3x4在(0，)上单调递增且f(0)f(1)0，f(x)在(0,1)上有唯一零点；当x0时，令x22x0，解得x2(舍x0)，故f(x)共有2个零点(2)(2023济南模拟)已知函数f(x)若函数g(x)f(x)b有四个不同的零点，则实数b的取值范围为()A(0,1 B0,1C(0,1) D(1，)答案A解析依题意，函数g(x)f(x)b有四个不同的零点，即f(x)b有四个解，转化为函数yf(x)与yb的图象有四个交点，由函数yf(x)可知，当x(，1)时
7、，函数单调递减，y0，)；当x(1,0时，函数单调递增，y(0,1；当x(0,1)时，函数单调递减，y(0，)；当x1，)时，函数单调递增，y0，)；结合图象，可知实数b的取值范围为(0,1考点三函数模型及其应用核心提炼解函数应用题的步骤(1)审题：缜密审题，准确理解题意，分清条件和结论，理清数量关系(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型(3)求模：求解数学模型，得出数学结论(4)反馈：将得到的数学结论还原为实际问题的意义例4(1)某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可使水中杂质减少50%，若要使水中杂质减少到原来的5%以下，
8、则至少需要过滤(参考数据：lg 20.301 0)()A2次 B3次C4次 D5次答案D解析设经过n(nN*)次过滤后，水中杂质减少到原来的5%以下，则n5%，即nlg 21，解得n4.3，故至少需要过滤5次(2)(多选)(2023新高考全国)噪声污染问题越来越受到重视用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp20lg，其中常数p0(p00)是听觉下限阈值，p是实际声压下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离/m声压级/dB燃油汽车106090混合动力汽车105060电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则()Ap1p2 Bp21
9、0p3Cp3100p0 Dp1100p2答案ACD解析因为Lp20lg随着p的增大而增大，且60,90，50,60，所以，所以p1p2，故A正确；由Lp20lg，得p，因为40，所以p3100p0，故C正确；假设p210p3，则 ，所以10，所以20，不可能成立，故B不正确；因为1，所以p1100p2，故D正确易错提醒构建函数模型解决实际问题的失分点(1)不能选择相应变量得到函数模型(2)构建的函数模型有误(3)忽视函数模型中变量的实际意义跟踪演练3(1)(2023合肥模拟)Malthus模型是一种重要的数学模型某研究人员在研究一种细菌繁殖数量N(t)与时间t的关系时，得到的Malthus模型
10、是N(t)N0e0.46t，其中N0是tt0时刻的细菌数量，e为自然对数的底数若t时刻细菌数量是t0时刻细菌数量的6.3倍，则t约为(ln 6.31.84)()A2 B3 C4 D5答案C解析由题意得，N(t)N0e0.46t6.3N0，即e0.46t6.3，则0.46tln 6.31.84，得t4.(2)金针菇采摘后会很快失去新鲜度，甚至腐烂，所以超市销售金针菇时需要采取保鲜膜封闭保存已知金针菇失去的新鲜度h与其采摘后时间t(天)满足的函数解析式为hmln(ta)(a0)若采摘后1天，金针菇失去的新鲜度为40%，采摘后3天，金针菇失去的新鲜度为80%.那么若不及时处理，采摘下来的金针菇在多长
11、时间后开始失去全部新鲜度(已知1.414，结果取一位小数)()A4.0天 B4.3天C4.7天 D5.1天答案C解析由已知相除得2，ln(3a)2ln(1a)，(1a)23a，因为a0，故解得a1，设t天后开始失去全部新鲜度，则mln(t1)1，又mln(11)0.4，所以，2ln(t1)5ln 2ln 32，(t1)232，t1441.4145.656，t4.6564.7.专题强化练一、单项选择题1已知幂函数yf(x)的图象过点(8,2)，则f(9)的值为()A2 B3 C4 D9答案B解析设幂函数为f(x)xa，图象过点(8,2)，故f(8)8a2，故a，f(x)，f(9)3.2(2023
12、南昌模拟)已知alog40.4，blog0.40.2，c0.40.2，则()Acab BcbaCbca Dacb答案C解析因为alog40.4log0.40.41，0c0.40.2ca.3(2023威海模拟)已知2a9，log83b，则等于()A. B2 C6 D9答案C解析因为2a9，所以alog29log2322log23，又blog83log23，所以6.4.已知函数yloga(xc)(a，c为常数，其中a0，a1)的图象如图所示，则下列结论成立的是()Aa1，c1 Ba1,0c1 C0a1 D0a1,0c1答案D解析由函数图象可知函数为减函数，结合yloga(xc)可知0a1，当x1时
13、，loga(1c)1，c0，当x0时，logac0，0c1，故0cx2x3 Bx2x3x1Cx3x1x2 Dx2x1x3答案C解析依题意得yx3，yex，yln x的图象与yx的图象的交点的横坐标依次为x1，x2，x3，作图可知，x20x1ca BcbaCbac Dcab答案A解析根据指数函数和对数函数的性质，可得a0.1log991，clg 111，lg 9lg 1122c，所以bca.8(2023天津红桥区模拟)若函数f(x)函数g(x)f(x)kx有三个零点，则实数k的取值范围是()A(0，) B(，42)C(0,42) D(0,42答案C解析由g(x)f(x)kx0得f(x)kx，即y
14、f(x)与ykx的图象有三个公共点，画出yf(x)，ykx的图象如图所示，由图可知，当k0时，yf(x)与ykx有两个公共点，当k0时，由消去y并化简得x2(k4)x30，由(k4)243k28k40，解得k42或k42(结合图象可知不符合，舍去)，所以当k42时，g(x)f(x)kx有两个零点；当0kb0时，A正确；当ba0时，B正确；当0ab时，D正确；当0ba时，无此选项11(2023重庆统考)已知函数f(x)lg(x1)lg(5x)，则()Af(x)的定义域为(1,5)Bf(x)在(3，)上单调递减Cf(x)的图象关于直线x3对称Df(x)的最大值为2lg 2答案ACD解析函数f(x)
15、lg(x1)lg(5x)的定义域为(1,5)，故A正确；f(x)lg(x1)lg(5x)lg(x1)(5x)，内层函数y(x1)(5x)为二次函数，其对称轴为直线x3，所以f(x)的图象关于直线x3对称，故C正确；当x(1,3)时，f(x)单调递增，当x(3,5)时，f(x)单调递减，所以当x3时，f(x)有最大值f(3)lg 2lg 22lg 2，故B错误，D正确12(2023重庆九龙坡区模拟)若a，b，c都是正数，且2a3b6c，则()A. B.Cab4c Dab4c2答案BCD解析设2a3b6ct，则alog2t，logt2，blog3t，logt3，clog6t，logt6，所以，(a
16、b)2224，因为ab，所以，则等号不成立，所以(ab)4，则ab4c，因为abab4c，所以ab4c2.三、填空题13(2023深圳模拟)若函数f(x)的零点属于区间(n，n1)(nN)，则n_.答案0解析因为y，y都是减函数，所以f(x)是减函数，又f(1)10，所以函数在(0,1)上有唯一零点，所以n0.14已知f(x)则函数y4f(x)28f(x)3的零点个数是_答案7解析函数y4f(x)28f(x)3的零点即为方程4f(x)28f(x)30的根，解方程4f(x)28f(x)30得f(x)或f(x).作出函数yf(x)的图象，如图所示由图象知直线y与yf(x)的图象有4个交点，直线y与
17、yf(x)的图象有3个交点因此函数y4f(x)28f(x)3的零点有7个15(2023聊城模拟)“环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环保意识日益增强某化工厂产生的废气中污染物的含量为1.2 mg/cm3，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少20%，当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过0.2 mg/cm3，若要使该工厂的废气达标排放，那么该污染物排放前需要过滤的次数至少为_(参考数据：lg 20.3，lg 30.477)答案8解析设该污染物排放前过滤的次数为n(nN*)，由题意1.20.8n0.2，即n6，两边取以10为底数的对数可得lgnlg 6，即nlglg 2lg 3，所以n，因为lg 20.3，lg 30.477，所以7.77，所以n7.77，又nN*，所以nmin8，即该污染物排放前需要过滤的次数至少为8.16函数f(x)，g(x)2sin x，x2,4，则函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标之和为_答案4解析f(x)的图象关于点(1,0)对称，g(x)2sin x的图象关于点(1,0)对称，分别作出函数yf(x)，yg(x)的图象，如图所示，由图知yf(x)与yg(x)的图象有4个交点，且交点关于(1,0)对称，x2x32，x1x42，故交点的横坐标之和为4.
