1、第1讲直线与圆考情分析1.求直线的方程，考查点到直线的距离公式，直线间的位置关系，多以选择题、填空题的形式出现，中低难度.2.和圆锥曲线相结合，求圆的方程或弦长、面积等，中高难度考点一直线的方程核心提炼1已知直线l1：A1xB1yC10，直线l2：A2xB2yC20，则l1l2A1B2A2B10，且A1C2A2C10(或B1C2B2C10)，l1l2A1A2B1B20.2点P(x0，y0)到直线l：AxByC0(A，B不同时为零)的距离d.3两条平行直线l1：AxByC10，l2：AxByC20(A，B不同时为零)间的距离d.例1(1)(多选)已知直线l的倾斜角等于30，且l经过点(0,1)，
2、则下列结论中正确的是()A直线l的方程为yx1Bl的一个方向向量为nCl与直线x3y20平行Dl与直线xy20垂直答案ACD解析由题意知直线l的斜率为tan 30，且过点(0,1)，所以直线l的方程为yx1，方向向量为n(1，k)，A正确，B错误；直线x3y20的斜率为，且不过点(0,1)，故两直线平行，C正确；直线xy20的斜率为，则两直线斜率之积为1，故两直线垂直，D正确(2)当点M(2，3)到直线(4m1)x(m1)y2m10的距离取得最大值时，m等于()A2 B. C2 D4答案C解析将直线(4m1)x(m1)y2m10转化为(4xy2)mxy10，联立方程组解得所以直线恒过定点N(1
3、，2)，当直线MN与该直线垂直时，点M到该直线的距离取得最大值，此时1，解得m2.易错提醒解决直线方程问题的三个注意点(1)利用A1B2A2B10后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性(2)要注意直线方程每种形式的局限性(3)讨论两直线的位置关系时，要注意直线的斜率是否存在跟踪演练1(1)(多选)下列说法错误的是()A过点A(2，3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为xy5B直线2(m1)x(m3)y75m0必过定点(1,3)C经过点P(1,1)，倾斜角为的直线方程为y1tan (x1)D过(x1，y1)，(x2，y2)两点的所有直线的方程为(x2x1)(yy1)(y2y1)(xx
4、1)答案AC解析对于A中，当在两坐标轴上的截距相等且等于0时，直线过原点，可设直线方程为ykx，又直线过点A(2，3)，则32k，即k，此时直线方程为yx，也满足题意，所以A错误；对于B中，直线2(m1)x(m3)y75m0可化为(2xy5)m2x3y70，由方程组解得x1，y3，即直线2(m1)x(m3)y75m0必过定点(1,3)，所以B正确；对于C中，当倾斜角时，此时直线的斜率不存在，tan 无意义，所以C错误；对于D中，由两点(x1，y1)，(x2，y2)，当x1x2时，此时过(x1，y1)，(x2，y2)两点的所有直线的方程为yy1(xx1)，即(x2x1)(yy1)(y2y1)(x
5、x1)，当x1x2时，此时过(x1，y1)，(x2，y2)两点的所有直线的方程为xx1或xx2，适合上式，所以过(x1，y1)，(x2，y2)两点的所有直线的方程为(x2x1)(yy1)(y2y1)(xx1)，所以D正确(2)若两条平行直线l1：x2ym0(m0)与l2：2xny60之间的距离是2，则mn_.答案3解析因为直线l1：x2ym0(m0)与l2：2xny60平行，所以，解得n4且m3，所以直线l2为2x4y60，直线l1：x2ym0(m0)化为2x4y2m0(m0)，因为两平行线间的距离为2，所以2，得|2m6|20，因为m0，所以2m620，解得m7，所以mn743.考点二圆的方
6、程核心提炼1圆的标准方程当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(xa)2(yb)2r2.2圆的一般方程x2y2DxEyF0，其中D2E24F0，表示以为圆心，为半径的圆例2(1)已知圆C1：x2y24与圆C2关于直线2xy50对称，则圆C2的标准方程为()A(x4)2(y2)24B(x4)2(y2)24C(x2)2(y4)24D(x2)2(y4)24答案A解析由题意可得，圆C1的圆心坐标为(0,0)，半径为2，设圆心C1(0,0)关于直线2xy50的对称点为C2(a，b)，则解得所以圆C2的标准方程为(x4)2(y2)24.(2)直线x2y30平分圆x2y22ax2y10(aR)，则a等
7、于()A1 B1 C3 D3答案A解析因为直线x2y30平分圆x2y22ax2y10，x2y22ax2y10化为(xa)2(y1)2a22，所以直线x2y30经过该圆的圆心(a，1)，则a2(1)30，即a1.规律方法解决圆的方程问题一般有两种方法(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程(2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数跟踪演练2(1)(2023龙岩质检)写出一个与圆x2y21外切，并与直线yx及y轴都相切的圆的方程_答案(x1)2(y)21或(x1)2(y)21或(x23)2(y2)22112或(x23)2(y2)221
8、12(写出其中一个即可)解析设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2，因为与圆x2y21外切，所以1r，又因为与直线yx及y轴都相切，所以r|a|，所以2|a|ab|，即|2a|ab|，所以2aba或2aab，所以ba或ab，当ba时，因为r|a|，1r，联立得3a22|a|1，解得或r1，所以求得圆的方程为(x1)2(y)21或(x1)2(y)21，当ab时，因为r|a|，1r，联立得a22|a|1，解得或r32，所以求得圆的方程为(x23)2(y2)22112或(x23)2(y2)22112.(写出其中一个即可)(2)(2023福州模拟)已知O1：(x2)2(y3)24，O1关于直线ax2
9、y10对称的圆记为O2，点E，F分别为O1，O2上的动点，EF长度的最小值为4，则a等于()A或 B或C或 D.或答案D解析由题易知两圆不可能相交或相切，如图，当EF所在直线过两圆圆心且与对称轴垂直，点E，F又接近于对称轴时，EF长度最小，此时圆心O1到对称轴的距离为4，所以4，即(2a7)216(a24)，解得a或a.考点三直线、圆的位置关系核心提炼1直线与圆的位置关系：相交、相切和相离其判断方法为：(1)点线距离法(2)判别式法：设圆C：(xa)2(yb)2r2，直线l：AxByC0(A2B20)，联立方程组消去y，得到关于x的一元二次方程，其根的判别式为，则直线与圆相离0.2圆与圆的位置
10、关系，即内含、内切、相交、外切、外离考向1直线与圆的位置关系例3(1)(多选)(2023阳泉模拟)已知直线l：ykx2k2(kR)与圆C：x2y22y80.则下列说法正确的是()A直线l过定点(2,2)B直线l与圆C相离C圆心C到直线l距离的最大值是2D直线l被圆C截得的弦长的最小值为4答案AD解析对于A，因为l：ykx2k2(kR)，即yk(x2)2，令x20，即x2，得y2，所以直线l过定点(2,2)，故A正确；对于B，因为(2)2222280)，则下列说法正确的是()A若r2，两圆的公切线过点(2,0)B若r2，两圆的相交弦长为C若两圆的一个交点为M，分别过点M的两圆的切线相互垂直，则r
11、3D当r3时，两圆的位置关系为内含答案AD解析当r2时，如图，两圆的一条公切线分别与O，O1切于点A，B，交x轴于点Q，|OQ|2，故Q(2,0)，故A正确；当r2时，两圆公共弦所在的直线方程可由两圆方程相减得到，公共弦所在的直线方程为x，相交弦长为2，故B错误；若MOMO1，则|MO|2|MO1|2|OO1|2，即12r24，则r，故C错误；当r3时，r12|OO1|，故两圆的位置关系是内含，D正确规律方法直线与圆相切问题的解题策略当直线与圆相切时，利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式过圆外一点求解切线段长的问题，可先
12、求出圆心到圆外一点的距离，再结合半径利用勾股定理计算跟踪演练3(1)(2023运城模拟)已知直线l：2xy20被圆C：x2y22x4ym0截得的线段长为，则m_.答案4解析圆C：x2y22x4ym0，即(x1)2(y2)25m，圆心为C(1，2)，半径r，则圆心C到直线l：2xy20的距离d，又直线被圆截得的线段长为，所以2，即2，解得m4.(2)(多选)(2023辽阳模拟)已知E：(x2)2(y1)24，过点P(5,5)作圆E的切线，切点分别为M，N，则下列命题中真命题是()A|PM|B直线MN的方程为3x4y140C圆x2y21与E共有4条公切线D若过点P的直线与E交于G，H两点，则当EH
13、G面积最大时，|GH|2答案ABD解析因为圆E的方程为(x2)2(y1)24，所以圆心E的坐标为(2,1)，半径为2，如图，所以|EM|EN|2，又P(5,5)，所以|PE|5，由已知得PMME，PNNE，所以|PM|，A正确；因为PMME，PNNE，所以点P，M，E，N四点共圆，且圆心为PE的中点，线段PE的中点坐标为F，所以圆F的方程为2(y3)2，即x27xy26y150，因为2|EF|2，所以圆E与圆F相交，又圆E的方程可化为x24xy22y10，所以圆E与圆F的公共弦方程为3x4y140，故直线MN的方程为3x4y140，B正确；圆x2y21的圆心O的坐标为(0,0)，半径为1，因为
14、|OE|，21|OE|12，所以圆x2y21与圆E相交，故两圆只有2条公切线，C错误；如图，设HEG，则(0，)，EHG的面积SEHG|EH|EG|sin 2sin ，所以当时，EHG的面积取得最大值，最大值为2，此时|GH|2，D正确专题强化练一、单项选择题1(2023丹东模拟)若直线l1：xay30与直线l2：(a1)x2y60平行，则a等于()A2 B1C2或1 D1或2答案A解析由题意知，直线l1：xay30与直线l2：(a1)x2y60平行，12a(a1)，解得a2或a1.当a2时，l1：x2y30，l2：x2y60，l1l2.当a1时，l1：xy30，l2：xy30，l1与l2重合
15、综上所述，a2.2(2023蚌埠质检)直线l：xmy1m0与圆C：(x1)2(y2)29的位置关系是()A相交 B相切C相离 D无法确定答案A解析已知直线l：xmy1m0过定点(1,1)，将点(1,1)代入圆的方程可得(11)2(12)20，于是解得则圆的方程为x2y26x2y50，即(x3)2(y1)25，其圆心为(3，1)，半径r，点(3，1)到直线x2y10的距离d，所以|MN|22.4(2023滨州模拟)已知直线l：mxny1与圆O：x2y21相切，则mn的最大值为()A. B. C1 D2答案B解析由于直线l：mxny1与圆O：x2y21相切，故圆心到直线l的距离d1，即m2n21，
16、故mn，当且仅当mn时取等号5(2023洛阳模拟)已知点P为直线yx1上的一点，M，N分别为圆C1：(x4)2(y1)21与圆C2：x2(y4)21上的点，则|PM|PN|的最小值为()A5 B3 C2 D1答案B解析由圆C1：(x4)2(y1)21，可得圆心C1(4,1)，半径r11，圆C2：x2(y4)21，可得圆心C2(0,4)，半径r21，可得圆心距|C1C2|5，如图，|PM|PC1|r1，|PN|PC2|r2，所以|PM|PN|PC1|PC2|r1r2|PC1|PC2|2|C1C2|23，当点M，N，C1，C2，P共线时，|PM|PN|取得最小值，故|PM|PN|的最小值为3.6(
17、2023信阳模拟)已知圆C：x2y22x30与过原点O的直线l：ykx(k0)相交于A，B两点，点P(m，0)为x轴上一点，记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，若k1k20，则实数m的值为()A3 B2 C2 D3答案D解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为直线l的方程为ykx，代入圆C的方程，得(k21)x22x30，所以x1x2，x1x2.所以k1k20.因为k0，所以2m60，解得m3.7(2023全国乙卷)已知实数x，y满足x2y24x2y40，则xy的最大值是()A1 B4C13 D7答案C解析方法一令xyk，则xky，代入原式化简得2y2(2k6)yk24k40，因为存
18、在实数y，则0，即(2k6)242(k24k4)0，化简得k22k170，解得13k13，故xy的最大值是31.方法二由x2y24x2y40可得(x2)2(y1)29，设xyk，则圆心到直线xyk的距离d3，解得13k13.故xy的最大值为31.8已知圆O：x2y21，点P在直线l：xy20上运动，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，当APB最大时，记劣弧及PA，PB所围成的平面图形的面积为S，则()A2S3 B1S2C1S3 D0S1答案D解析如图所示，圆O：x2y21的圆心O的坐标为(0,0)，半径为1，因为在RtOBP中，sinOPB，且ysin x在上单调递增，所以当|OP|最小
19、时，OPB最大，即APB最大，此时OP垂直于直线l，且|OP|2，|PA|PB|，从而四边形OAPB的面积为S四边形OAPB21，设AOP，则AOB2，S扇形OAB122，从而劣弧及PA，PB所围成的平面图形的面积为S，又因为sin ，所以，从而0S1.二、多项选择题9下列说法正确的是()A直线yax2a4(aR)必过定点(2,4)B直线y13x在y轴上的截距为1C直线x3y50的倾斜角为120D过点(2,3)且垂直于直线x2y30的直线方程为2xy10答案AD解析对于A选项，直线方程可化为ya(x2)4，由可得所以直线yax2a4(aR)必过定点(2,4)，A正确；对于B选项，直线方程可化为
20、y3x1，故直线y13x在y轴上的截距为1，B错误；对于C选项，直线x3y50的斜率为，该直线的倾斜角为150，C错误；对于D选项，过点(2,3)且垂直于直线x2y30的直线方程可设为2xyc0，则2(2)3c0，可得c1，所以过点(2,3)且垂直于直线x2y30的直线方程为2xy10，D正确10(2023河池模拟)已知直线l：kxyk0与圆M：x2y24x2y10，则下列说法正确的是()A圆M的圆心坐标为(2,1)B存在实数k，使得直线l与圆M相切C若k1，直线l被圆M截得的弦长为4D直线l被圆M截得的弦长的最小值为2答案AC解析圆M：x2y24x2y10可化为(x2)2(y1)24，圆心坐
21、标为(2,1)，A正确；直线方程可化为k(x1)y0，故直线l过定点(1,0)，且(12)2(01)2Rr3，两圆外离，不存在公共弦，故D不正确；|PQ|的最小值为|C1C2|Rr3，最大值为|C1C2|Rr3，故A正确，B不正确；因为圆心C1(0,0)，圆心C2(3，2)，则两个圆心所在的直线斜率k，故C正确12(2021新高考全国)已知点P在圆(x5)2(y5)216上，点A(4,0)，B(0,2)，则()A点P到直线AB的距离小于10B点P到直线AB的距离大于2C当PBA最小时，|PB|3D当PBA最大时，|PB|3答案ACD解析设圆(x5)2(y5)216的圆心为M(5,5)，由题易知
22、直线AB的方程为1，即x2y40，则圆心M到直线AB的距离d4，所以直线AB与圆M相离，所以点P到直线AB的距离的最大值为4d4，4510，故A正确易知点P到直线AB的距离的最小值为d44，441，故B不正确过点B作圆M的两条切线，切点分别为N，Q，如图所示，连接MB，MN，MQ，则当PBA最小时，点P与N重合，|PB|3，当PBA最大时，点P与Q重合，|PB|3，故C，D都正确三、填空题13(2023锦州模拟)写出过点P(2,4)且与圆C：(x1)2(y2)21相切的一条直线的方程_答案x2或3x4y100(写出其中一个即可)解析圆C：(x1)2(y2)21，圆心C(1,2)，半径r1，当直
23、线斜率不存在时，验证知x2满足条件；当直线斜率存在时，设直线方程为yk(x2)4，即kxy2k40，圆心到直线的距离为1，解得k，故直线方程为xy40，即3x4y100.综上所述，直线方程为x2或3x4y100. 14(2023淄博模拟)设半径为3的圆C被直线l：xy40截得的弦AB的中点为P(3,1)，且弦长|AB|2，则圆C的标准方程为_答案(x4)2(y2)29或(x2)2y29解析由题意设所求的圆的方程为(xa)2(yb)29.圆心到直线的距离为d，圆C被直线l：xy40截得的弦AB的中点为P(3,1)，1，解得a4，b2或a2，b0，即所求的圆的方程为(x4)2(y2)29或(x2)2y29.
