1、微重点8球的切接问题空间几何体的外接球、内切球是高中数学的重点、难点，也是高考命题的热点，一般是通过对几何体的割补或寻找几何体外接球的球心求解外接球问题，利用等体积法求内切球半径等，一般出现在压轴小题位置考点一空间几何体的外接球例1(1)(2023开封模拟)已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，P为棱A1D1的中点，则四棱锥PABCD外接球的表面积为()A. B3 C. D.答案C解析设四棱锥PABCD的外接球球心为O，取AD的中点E，连接PE，取PAD、四边形ABCD的外心O1，O2，连接OO1，OO2，EO2，O2C，OC，因为正方体的棱长为1，P为棱A1D1的中点，所以PAPD，
2、PE1，O2C，sinPADsinAPA1，O1P，O1EOO21，所以OC，外接球的表面积S42.(2)(2023全国乙卷)已知点S，A，B，C均在半径为2的球面上，ABC是边长为3的等边三角形，SA平面ABC，则SA_.答案2解析如图，将三棱锥SABC转化为直三棱柱SMNABC，设ABC的外接圆圆心为O1，半径为r，则2r2，可得r，设三棱锥SABC的外接球球心为O，连接OA，OO1，则OA2，OO1SA，因为OA2OOO1A2，即43SA2，解得SA2.规律方法求解空间几何体的外接球问题的策略(1)定球心：球心到接点的距离相等且为半径(2)作截面：选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能
3、多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系)，达到空间问题平面化的目的(3)求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解跟踪演练1(1)已知四面体ABCD中，ABCD2，ACBD，ADBC，则四面体ABCD外接球的表面积为_答案45解析设四面体ABCD外接球的半径为R，将四面体ABCD置于长、宽、高分别为a，b，c的长方体中，故故R，故四面体ABCD外接球的表面积为4R245.(2)在边长为6的菱形ABCD中，BAD，现将菱形ABCD沿对角线BD折起，当三棱锥ABCD的体积最大时，三棱锥ABCD外接球的表面积为()A24 B48 C60 D72答案C解析在边长
4、为6的菱形ABCD中，由BAD知，ABD和BCD为等边三角形，如图所示，取BD的中点E，连接AE，CE，则AEBD，当平面ABD平面BCD时，三棱锥ABCD的体积最大，故AE平面BCD，由于BCD为等边三角形，故三棱锥ABCD外接球球心O在平面BCD内的投影为BCD的外心O1，即OO1平面CBD，故OO1AE，过点O作OHAE于点H，则H为ABD的外心，则OO1HE，即O，O1，E，H共面，则OHO1E，则四边形OO1EH为矩形，则在RtOHA中，OHO1ECE，AHAE2，所以外接球半径R，则外接球表面积S4R260.考点二空间几何体的内切球例2(1)在三棱锥ABCD中，AB平面BCD，BC
5、CD，且ABCD4，BC3，则该三棱锥内切球的体积为()A. B. C. D.答案A解析由AB平面BCD，CD平面BCD，得ABCD.又BCCD，且AB，BC平面ABC，ABBCB，所以CD平面ABC，又AC平面ABC，所以CDAC.由ABCD4，BC3，得ACBD5，所以三棱锥ABCD的表面积S23424532，三棱锥ABCD的体积V3448.设三棱锥内切球球心为O，半径为r，由VVOABCVOABDVOACDVOBCDSr，得r，所以该三棱锥内切球的体积V球r33.(2)(2023沈阳模拟)如图，圆台内有一个球，该球与圆台的侧面和底面均相切已知圆台的下底面圆心为O1，半径为r1，圆台的上底
6、面圆心为O2，半径为r2(r1r2)，球的球心为O，半径为R，则()ARr1r2 BR2CR2r1r2 DR2答案C解析如图，作出圆台的轴截面，作DFBC，垂足为F，由题意知圆O与梯形ABCD相切，则DCDECEO2DO1Cr2r1，又DC，故r1r2，化简可得R2r1r2.规律方法空间几何题的内切球问题，一是找球心，球心到切点的距离相等且为球的半径，作出截面，在截面中求半径；二是利用等体积法直接求内切球的半径跟踪演练2(1)在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球，若ABBC，AB6，BC8，AA16，则V的最大值是()A16 B.C36 D.答案B解析由题意，因为ABBC，A
7、B6，BC8，所以AC10，可得ABC内切圆的半径r2，又由AA16，故在直三棱柱ABCA1B1C1内部的球的半径最大为R2，所以此时V的最大值为R323.(2)(2023龙岩模拟)如图，已知正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体为正八面体，则该正八面体的内切球表面积为()A. B C. D4答案C解析根据图形，已知正方体的棱长为2，易知正八面体的棱长为正方体面对角线长的一半，即为，如图，在正八面体中连接AF，DB，CE，可得AF，DB，CE互相垂直平分，O为正八面体的中心，AO平面BCDE，OD平面BCDE，则AOOD，AD，OD1.在RtAOD中，AO1，则该正八面体的体积V21
8、，由图可知，正八面体的每个面都是棱长为的等边三角形，则该正八面体的表面积S8()24，设正八面体的内切球半径为r，SrV，即4r，解得r，S球4r2.专题强化练1.如图，在三棱锥VABC中，VA底面ABC，BAC90，ABACVA2，则该三棱锥外接球的体积为()A12 B4C. D.答案B解析因为VA底面ABC，AB，AC底面ABC，所以VAAB，VAAC，又因为BAC90，所以ABAC，而ABACVA2，所以三条互相垂直且共顶点的棱，可以看成正方体中共顶点的长、宽、高，因此该三棱锥外接球的半径R，所以外接球的体积VR34.2(2023成都模拟)在三棱锥PABC中，PA底面ABC，AB2，AC
9、AP，BCCA，若三棱锥PABC外接球的表面积为5，则BC等于()A1 B. C. D.答案C解析因为PA平面ABC，BC平面ABC，所以BCPA，由BCCA，CAPAA，CA，PA平面PAC，所以BC平面PAC，由AB平面ABC，得PAAB，由PC平面PAC，得BCPC，由PB是RtPBC和RtPBA的公共斜边，得PB是三棱锥的外接球直径，由S4R25得R，设ACAPm，则PB2R，则m1，BC.3(2023四川多校联考)已知棱长为a的正四面体的外接球表面积为S1，内切球表面积为S2，则S1S2等于()A9 B3 C4 D.答案A解析如图所示，设点O是内切球的球心，正四面体棱长为a，由图形的
10、对称性知，点O也是外接球的球心设内切球半径为r，外接球半径为R.在RtBEO中，BO2BE2EO2，即R22r2，又Rra，可得R3r，S1S2R2r29.4(2023湖北多校联考)已知在ABC中，AB4，BC3，AC5，以AC为轴旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的内切球的表面积为()A. B.C. D.答案B解析旋转体的轴截面如图所示，其中O为内切球的球心，过O作AB，BC的垂线，垂足分别为E，F，则OEOFr(r为内切球的半径)，故AOr，COr，故5AOOCrr，解得r，故该旋转体的内切球的表面积为42.5(2023昆明模拟)故宫太和殿是中国形制最高的宫殿，其建筑采用了重檐庑殿顶的屋顶
11、样式，庑殿顶是“四出水”的五脊四坡式，由一条正脊和四条垂脊组成，因此又称五脊殿由于屋顶有四面斜坡，故又称四阿顶如图，某几何体ABCDEF有五个面，其形状与四阿顶相类似已知底面ABCD为矩形，AB4，ADEF2，EF底面ABCD，且EAEDFBFCBC，则几何体ABCDEF外接球的表面积为()A22 B28C32 D38答案A解析连接AC，BD，设ACBDM，取EF的中点N，连接MN，由题意知，球心O在直线MN上，取BC的中点G，连接FG，则FGBC，且FG2.连接MG，过点F作FPMG于点P，则四边形MPFN是矩形，MNFP，则MNFP，又因AMAC，AC2，则AM，因为AMO和ONE均为直角
12、三角形，设外接球半径为R，OMx，当球心O在线段MN上时，则R2x2()2，R2(x)212，解得x(舍)，当球心O在线段MN外时，则R2x2()2，R2(x)212，解得x，故R25，所以外接球的表面积S4R222.6(多选)已知A，B，C三点均在球O的表面上，ABBCCA2，且球心O到平面ABC的距离等于球半径的，则下列结论正确的是()A球O的半径为B球O的表面积为6C球O的内接正方体的棱长为D球O的外切正方体的棱长为答案BD解析设球O的半径为R，ABC的外接圆圆心为O，半径为r，则r，因为球心O到平面ABC的距离等于球半径的，所以R2R2，得R2，所以A不正确；所以球O的表面积S4R24
13、6，选项B正确；设球O的内接正方体的棱长为a，则满足a2R，解得a，选项C不正确；设球O的外切正方体的棱长为b，则满足b2R，解得b，选项D正确7(多选)在正四棱锥SABCD中，底面边长AB2，侧棱SA，在该四棱锥的内部有一个小球，则小球的表面积可能是()A. B C. D.答案ABD解析当小球与正四棱锥SABCD各面相切时半径最大，此时小球的表面积最大，设小球的半径为r，由底面边长AB2，侧棱SA，可得正四棱锥SABCD的高为SO，VSABCD22，又侧面面积为4SSAB428，底面面积为S四边形ABCD224，(84)r，解得r，小球表面积的最大值为4r2.8.如图，某几何体由共底面的圆锥
14、和圆柱组合而成，且圆柱的两个底面和圆锥的顶点均在体积为36的球面上，若圆柱的高为2，则圆锥的侧面积为_答案4解析依题意，作球的轴截图如图所示，其中，O是球心，E是圆锥的顶点，EC是圆锥的母线，由题意可知R336，解得R3，由于圆柱的高为2，则OD1，DE312，DC2，母线EC2，故圆锥的侧面积SDCEC224.9(2023唐山模拟)设直三棱柱ABCA1B1C1的所有顶点都在一个球面上，且球的表面积为20，ABBCAC，则此直三棱柱的高是_答案4解析设ABC外接圆的圆心为O1，半径为r，直三棱柱ABCA1B1C1的高为h，直三棱柱ABCA1B1C1外接球的球心为O，半径为R，则OO1h，且OO
15、1平面ABC，由正弦定理得2r2，所以r1，因为4R220，所以R，所以OO12，所以h4，即直三棱柱ABCA1B1C1的高为4.10(2023杭州模拟)在四面体ABCD中，ABC与BCD都是边长为6的等边三角形，且二面角ABCD的大小为60，则四面体ABCD外接球的表面积是_答案52解析如图所示，设外接球半径为R，取BC的中点O，连接OD，OA，分别取BCD和ABC的外心E，F，过两点分别作平面BDC和平面ABC的垂线，交于点P，则P就是外接球的球心，连接OP，DP，则AOD为二面角ABCD的平面角，即AOD60，则AOD是等边三角形，其边长为63，OEOD3，在POE中，POE30，所以PEOEtan 301，又由DEOD2，所以RPD，所以四面体ABCD外接球的表面积为4R24()252.
