1、 绝密启用前 三三湘名校教育联盟湘名校教育联盟 五市十校教研教改共同体五市十校教研教改共同体 2021 届高三届高三 10 月大联考月大联考 数学数学 本试卷共 4 页，22 题全卷满分 150 分，考试用时 120 分钟 注意事项： 1答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号填入相应位置内 2客观题请用2B铅笔填涂在答题卡上，主观题用黑色的签字笔书写在答题卡上 3考试结束时，只交答题卡，试卷请妥善保管 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的 1已知集合3, 02Ax xBxx，则 R AB（ ） A 23xx
2、B3x x C2x x D0 x x 2已知 12 ai i i （i为虚数单位，aR） ，则a（ ） A2 B1 C1 D2 3已知 1 tan 3 ，则 2cos sincos 的值为（ ） A3 B 3 4 C 4 3 D 3 4 4已知 3 1 2 1 2 1 3 ,log 3, 2 abc ，则（ ） Aabc Bcab Ccba Dacb 5已知 n a是公差为 1 的等差数列，且 4 a是 1 a与 10 a的等比中项，则 1 a （ ） A0 B1 C3 D2 6曲线 2 yxx在点(1,0)处的切线方程是（ ） A210 xy B210 xy C10 xy D10 xy 7已
3、知, a b为单位向量，且(2)abb，则|2 |ab（ ） A1 B3 C2 D5 8已知曲线 12 :sin 2,:cos 3 CyxCyx ，则下面结论正确的是（ ） A先将曲线 2 C向左平移 3 个单位长度，再把所得的曲线上各点横坐标缩短为原来的 1 2 倍，纵坐标保持不 变，便得到曲线 1 C B先将曲线 2 C向右平移 3 个单位长度，再把所得的曲线上各点横坐标伸长为原来的 2 倍，纵坐标保持不 变，便得到曲线 1 C C先将曲线 2 C向左平移 5 6 个单位长度，再把所得的曲线上各点横坐标伸长为原来的 2 倍，纵坐标保持 不变，便得到曲线 1 C D先将曲线 2 C向右平移
4、5 6 个单位长度，再把所得的曲线上各点横坐标缩短为原来的 1 2 倍，纵坐标保持 不变，便得到曲线 1 C 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部 选对得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分 9下列各式的值计算正确的是（ ） Asin30 cos00 B 227 sincos1 66 C3 tan55tan25tan55tan251 D 1 cos601 22 10若函数( )f x对任意xR都有( )()0f xfx成立，mR，则下列的点一定在函数( )yf x图 象上的是（ ） A(0,0) B(,( )mf
5、 m C( ,()mfm D( ,()m fm 11关于递增等比数列 n a，下列说法不正确的是（ ） A 1 0a B1q C 1 1 n n a a D当 1 0a 时，1q 12 已知函数 |ln|,0 ( ) 1,0 x x f x xx ， 若方程( ( )0f f xa有 6 个不等实根， 则实数a的可能取值是 （ ） A 1 2 B0 C1 D 1 3 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13已知向量(1,2),(4,)abm，若/ab，则a b _ 14已知函数( )f x的图象关于y对称，当0 x时，( )f x单调递增，则不等式(2 )(1)fxfx
6、的解集为 _ 15函数( ) x x f x e 的极小值点为_ 16记等差数列 n a的前n项和为 n S，已知点, ,A B C在直线l上，O为l外一点，若 252 25OCa OAaaOB，且 9 36S ，则 n S _ 三、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）在 6 A ， 3 4 ABD S， 1 cos 2 ABD 三个条件中任选一个，补充在下列横线 中在平面四边形ABCD中，已知1,3ABBCCDAD，_，则求sinBDC的值 注：如果选择多个条件分别解答，按照第一个解答计分 18 （12 分）已知数列 n a的前n项
7、和为 n S，且 (31) 2 n nn S （1）求数列 n a的通项公式； （2）记( 1)n nn ba ，求数列 n b的前n项和 n T 19 （12 分）如图，在四棱锥SABCD中， ,90 ,22,5,tan2ABCSABSABABCSAABADSDCDBCD （1）求证：平面SAB平面SBC； （2）求证：/AD平面SBC； （3）求二面角A SD C的余弦值 20 （12 分）某学校为了了解学生对新冠病毒的传播和预防知识的掌握情况，学校决定组织一次有关新冠病 毒预防知识竞答竞答分为必答题（共 5 题）和选答题（共 2 题）两部分每位同学答题相互独立，且每 道题答对与否互不影响
8、已知甲同学答对每道必答题的概率为 4 5 ，答对每道选答题的概率为 2 5 （1）求甲恰好答对 4 道必答题的概率； （2）在选答阶段，若选择回答且答对奖励 5 分，答错扣 2 分，选择放弃回答得 0 分已知甲同学对于选答 的两道题，选择回答和放弃回答的概率均为 1 2 ，试求甲同学在选答题阶段，得分X的分布列 21 （12 分）已知椭圆E的标准方程为 22 22 1(0) xy ab ab ，且经过点 3 1, 2 和(0,1) （1）求椭圆E的标准方程； （2）设经过定点(0,2)的直线l与E交于,A B两点，O为坐标原点，若0OA OB，求直线l的方程 22 （12 分）已知函数( )
9、xx f xxeem （1）求函数( )f x的极小值； （2）关于x的不等式 3 ( )0f xx在 1 ,1 3 x 上存在解，求实数m的取值范围 2021 届高三届高三 10 月大联考月大联考 数学参考答案与评分标准数学参考答案与评分标准 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的 1 【答案】B 【解析】因为 02Bxx，所以0 RB x x 或2x 所以 R 3ABx x故选 B 2 【答案】D 【解析】由题得(1 2 )2aiiii 所以2a 3 【答案】A 【解析】 2cos22 3 2 sincos1tan 3
10、 4 【答案】D 【解析】因为 3 1 2 12 2 1 331,log 3log 30,01 2 abc ，所以acb，故选 D 5 【答案】C 【解析】 n a为等差数列且公差为 1， 且 4 a是 1 a与 10 a的等比中项， 所以 2 41 10 aa a， 即 2 111 39aa a， 可得 1 3a ，故选 C 6 【答案】D 【解析】曲线为 2 yxx，所以1 2yx ；当1x 时，1 21y ，曲线 2 yxx在点(1,0)处 的切线方程为1 (1)yx ，即10 xy ，故选 D 7 【答案】B 【解析】因为, a b为单位向量，(2)abb，所以(2)0ab b，所以
11、2 21a bb ，所以 222 |2 |2 |443ababaa bb 故选 B 8 【答案】D 【解析】因为 2: cossin 2 Cyxx ，所以先将曲线 2 C向右平移 5 6 个单位长度，得到 sin 3 yx ，再把所得的曲线上各点横坐标缩短为原来的 1 2 倍，纵坐标保持不变可得到曲线 1 C故选 D 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部 选对得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分 9 【答案】CD 【解析】因为 1 sin30 cos0sin30 2 ，所以 A 错误； 因为 2222 71 s
12、incoscossincos 666622 ， 所以 B 错误； 因为 tan55tan253 tan30 1tan55tan253 ，所以3 tan55tan251tan55tan25 ， 所以3 tan55tan25tan55tan251 ，所以 C 正确； 因为 1 cos601 sin30 22 ，所以 D 正确 10 【答案】ABC 【解析】因为任意xR满足( )()0f xfx，所以( )f x是奇函数，又xR，所以令0 x，则 ( 0)(0)ff ，得(0)0f，所以点(0,0)，且点(,( )mf m与( ,()mfm也一定在( )yf x的图 像上，故选 ABC 11 【答案
13、】ABC 【解析】由题意，设数列 n a的公比为q，因为 1 1 n n aa q ，可得 1 11 (1)0 n nn aaa qq ，当 1 0a 时，1q ，此时 1 01 n n a a ，当 1 0a 时， 1 01,1 n n a q a ，故不正确的是 ABC 12 【答案】AD 【解析】直接验算法：当 1 2 a 时， 1 ( ( ) 2 f f x，所以 11 ( ),( ),( ) 2 f xf xe f x e ，所以方程 ( ( )0f f xa有 6 个不等实根；当0a时，( ( )0f f x，所以( )1,( )1f xf x ，所以 1 2,xxxe e ，所以
14、方程( ( )0f f xa有 3 个不等实根；当1a时，( ( )1f f x，所以 1 ( )0,( ),( )f xf xe f x e ，所以 1 1,1, e e xxxe x e ，且 1 ( )f x e 方程有 3 根所以方程 ( ( )0f f xa有 7 个不等实根： 当 1 3 a 时， 1 ( ( ) 3 f f x， 所以 3 3 21 ( ),( ),( ) 3 f xf xe f x e ， 所以方程( ( )0f f xa有 6 个不等实根；故答案为 AD 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13 【答案】20 【解析】因为ab，所以12
15、 4m ，解得8,(4,8)mb，所以20a b 14 【答案】 1 (, 1), 3 【解析】结合题意，( )f x为偶函数，当0 x时，( )f x单调递增，要满足(2 )(1)fxfx，则要求 212xxx ，解得 1 (, 1), 3 x 15 【答案】1x 【解析】由( ) x x f x e 可得 1 ( ),1 x x fxx e 时，( )0fx ，当(,1)x 时，( )0,( )fxf x 单调 递减，当(1,)x时，( )0,( )fxf x 单调递增，所以函数( ) x x f x e 的极小值点为1x 16 【答案】 (1) 2 n n 【解析】因为, ,A B C共
16、线， 15 31aa ，所以 3 24a ，所以 3 2a ，又 95 936Sa，所以 5 4a ， 53 22aad，所以1,1 n dan，所以 (01)(1) 22 n nnn n S 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分） 【答案】 3 2 【解析】 （1）选可知，在ABD中，3,1, 6 ADABA ， 2 3 1 32 3cos42 31 62 BD ， 5 分 得1BD ，所以1BDBCCD， 7 分 3 BDC ，所以 3 sin 2 BDC 10 分 若选可知，在ABD中， 3 3,1, 4 ABD ADABS，
17、所以 6 A ， 5 分 2 3 1 32 3cos42 31 62 BD ，得1BD ， 7 分 所以1, 3 BDBCCDBDC ，所以 3 sin 2 BDC 10 分 如选，在ABD中， 1 3,1,cos 2 ADABABD ， 5 分 由正弦定理可得， 6 BADADB ， 7 分 所以 3 sin 2 BDC 10 分 18 （12 分） 【解析】 （1）因为 2 3 22 n n Sn， 所以当2n时， 2 1 31 (1) 22 n n Sn ， 2 分 两式相减并化简得32 n an 4 分 当1n 时， 11 1aS符合上式，故32 n an 5 分 （2） 【解法一】由
18、（1）知32 n an，所以( 1) (32) n n bn ， 当n为偶数时， 3 147 103(1)232 2 n Tnnn ； 8 分 当n为奇数时， 31 3 1 47 103(1)2321(1) 22 n n Tnnn ； 11 分 所以 1 3 , 2 3 , 2 n n n T n n 为奇数 为偶数 12 分 【解法二】( 1)n nn ba ，即( 1) (32) n n bn ， 231 1 1 ( 1)4( 1)7( 1)3(1)2( 1) (32) nn n Tnn ， 2341 ( 1)1 ( 1)4( 1)7( 1) 3(1)2( 1)(32) nn n Tnn
19、23 21 1 ( 1)3( 1)3( 1)3( 1) (32) nn n Tn 11 ( 1) 32( 1) (32) 1 ( 1) n n n ， 131 ( 1) 424 n n n T （酌情给分） 19 （12 分） 【解析】证明： （1）因为90SAB ，所以SAAB，又22,5SAADSD，所以SAAD， ABADA，所以SA面ABCD， 2 分 所以SABC，又90ABC ， 即ABBC，所以BC 平面SAB， 所以平面SAB平面SBC 4 分 （2）取BC中点E，连接DE，因为tan2BCD， 因为22ABAD，所以1BE ，又5CD ， 所以2DE ，且DEBC，所以ABE
20、D为平行四边形， 6 分 所以/ADBC， 又AD平面,SBC BC 平面SBC，所以AD平面SBC 8 分 （3）由题意可知二面角A SD CD为钝角，设为 由（1） ， （2）可知，,SA AD AB两两垂直， 所以分别以,AD AB AS为, ,x y z轴建立空间坐标系，所以设平面SAD的法向量为(0,1,0)m ，平面 SCD的法向量( , , )nx y z， 又(0,0,2),(1,0,0),(2,2,0),( 1,0,2),(1,2,0)SDCDSDC ， 所以 20, 20, DS nxz DC nxy 所以(2, 1,1)n ， 10 分 所以 16 cos 6|6 m n
21、 m n 所以二面角A SD C的余弦值为 6 6 12 分 20 （12 分） 【解析】 （1）甲恰好答对 4 道必答题的概率为 4 4 5 41256 55625 PC 5 分 （2）依题意，每道题选择回答并答对的概率为 121 255 ，选择回答且答错的概率为 133 2510 ，选择放 弃回答的概率为 1 2 7 分 甲得分的可能性为4分，2分，0 分，3 分，5 分和 10 分 8 分 所以 9 (4) 100 P X ， 1 2 1133 (2)C 22510 P X ， 111 (0) 224 P X ， 1 2 11233 (3)C 225525 P X ， 2 1121 (1
22、0) 22525 P X 10 分 所以X的分布列为 X 4 2 0 3 5 10 P 9 100 3 10 1 4 3 25 1 5 1 25 12 分 21 （12 分） 【解析】 （1）由题意得 22 1 13 1 4 b ab ， 2 分 解得2,1ab， 4 分 所以椭圆E的标准方程为 2 2 1 4 x y 5 分 （2）设,A B的坐标为 1122 ,x yx y，依题意可设直线方程为2ykx， 联立方程组 2 2 1 4 2 x y ykx 消去y，得 22 1416120kxkx 7 分 222 3 (16 )48 140, 4 kkk ， 1212 22 1612 , 1
23、41 4 k xxx x kk ， 9 分 1 212 OA OBx xy y 1 212 22x xkxkx 2 1212 124kx xk xx 2 22 1216 124 1414 k kk kk 2 2 1220 40 1 4 k k ， 11 分 22 2 2 12204 16 0,4 1 4 kk k k ，解得2k ， 所以所求直线l的方程为22yx或22yx ，即220 xy或220 xy 12 分 22 （12 分） 【解析】 （1）因为( )e(1)ee xxx fxxx ， 2 分 所以(0)0f ， 当0 x时，( )0fx ，当0 x时，( )0fx ， 故( )f
24、x在(,0)上单调递减，在(0,)上单调递增； 4 分 所以函数( )f x的极小值为(0)1fm 5 分 （2）由 3 ( )0f xx得 3 ee xx mxx，令 3 ( )ee xx g xxx 由 3 ( )0f xx在 1 ,1 3 有解知， 3 ee xx mxx在 1 ,1 3 有解， 则m小于或等于函数( )g x在 1 ,1 3 上的最大值 7 分 2 ( )3e3e xx g xxxxx ， 令( )3exh xx，则( )3 e ,( ) x h xh x 在(,ln3递增，在ln3,)递减， 即( )h x在 1 ,1 3 递增 1 3 1 1 e0, (1)3 e0 3 hh ， 10 分 0 1 ,1 3 x ， 使得 0 0h x， 即 0 0gx ， 且 0 1 3 xx时， 0 0, ( )gxg x 递减， 1 ( )1 3 g xg ； 当 0 1xx 时， 0 0, ( )gxg x 递增 所以，当 1 ,1 3 x 时， max 1 ( )max, (1)(1)1 3 g xggg 综上所述，实数m的取值范围是,1 12 分
