1、 2020-2021 学年上学期高三期中备考金卷 理科理科数数学（学（A） 注意事项：注意事项： 1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上的指定位置。 2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第第卷卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 小题，小题，每小题每小题 5 5 分，分，
2、共共 6060 分分在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1已知集合 | 13Axx ， |ln1Bxx，求AB （ ） A | 1 xxe B |01xx C |0 xxe D |3x ex 2我国古代数学名著九章算术中有如下问题“今有北乡八千七百五十八，西乡七千二百三十六， 南乡八千三百五十六，凡三乡，发役三百七十八人，欲以算数多少出之，何各几何?”意思是：北乡 有8758人，西乡有7236人，南乡有8356人，现要按人数多少从三乡共征集378人，问从各乡征 集多少人?在上述问题中，需从西乡征集的人数是（ ） A102 B1
3、12 C130 D136 3若复数 1 1 2iz ， 2 4izm，且 12 zzR，则实数m的值为（ ） A2 B4 C2 D4 4若O为坐标原点，P是直线20 xy上的动点，则|OP的最小值为（ ） A 2 2 B 2 C3 D2 5设R，则“ 0 3 ”是“ 3sincos21”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 6方舱医院的创设，在抗击新冠肺炎疫情中发挥了不可替代的重要作用某方舱医院医疗小组有七 名护士，每名护士从周一到周日轮流值一个夜班若甲的夜班比丙晚一天，丁的夜班比戊晚两天， 乙的夜班比庚早三天，己的夜班在周四，且恰好在乙和丙的正中间
4、，则周五值夜班的护士为（ ） A甲 B丙 C戊 D庚 7等差数列 n a的前n项和为 n S， 若公差 2d ，3 21S ， 则当 n S取得最大值时，n的值为 （ ） A10 B9 C6 D5 8公元前3世纪，古希腊欧几里得在几何原本里提出：“球的体积（V）与它的直径（a）的 立方成正比”，即 3 Vka，欧几里得未给出k的值17世纪日本数学家们对求球的体积的方法还 不了解，他们将体积公式 3 Vka中的常数k称为“立圆率”或“玉积率”类似地，对于等边圆柱 （轴截面是正方形的圆柱）、正方体也可利用公式 3 Vka求体积（在等边圆柱中，a表示底面圆的 直径；在正方体中，a表示棱长）假设运用此
5、体积公式求得球、等边圆柱、正方体的“玉积率” 分别为 1 k、 2 k、 3 k，那么 123 :kkk （ ） A2:3:6 B3:2:6 C2:3:12 D3:2:12 9设变量x，y满足约束条件34 2 yx xy x ，则|3 |zxy的最大值为（ ） A4 B6 C8 D10 10已知函数( )f x对定义域R内的任意x都有( )(4)f xfx，且当2x时，其导函数( )fx 满 足( )2( )xfxfx ，若24a，则（ ） A2(2 ) (3)(log) a fffa B 2 (3)(log)(2 ) a ffaf C 2 (log)(3)(2 ) a faff D 2 (l
6、og)(2 )(3) a faff 11已知椭圆 22 1 95 xy 的右焦点为F，P是椭圆上一点，点(0,2 3)A，当APF的周长最大 时，APF的面积为（ ） A11 4 B11 3 4 C 21 4 D 21 3 4 12已知函数 2 ( )(2 )sin(1)1f xxxxx在 1,3 上的最大值为M，最小值为m， 则Mm（ ） 此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 A4 B2 C1 D0 第第卷卷 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分分，共共 2020 分分 13在 6 2 ()x x 的二项展开式中，常数项等于
7、_ 14在平面直角坐标系xOy中，已知(3, 1)OA，(0,2)OB 若 0OC AB ，AC OB ， 则实数的值为_ 15若将函数 13 ( )sin(2)cos(2)(0) 22 f xxx的图象向左平移 4 个单位长度， 平移后的图象关于点 (,0) 2 对称， 则函数 3 ( )sin() 2 g xx在 , 2 6 上的最小值为_ 16数列 n a满足 1 1a ， 1 1 nn n aa n ， 其中1,5， 若存在正整数m， 当nm时总有0 n a ， 则的取值范围是_ 三、解答题：三、解答题：本大题共本大题共 6 大大题，共题，共 70 分，分，解答应写出文字说明、证明过程
8、或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（12 分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 3 A ， 222 3 3 bcabca （1）求a的值； （2）若1b，求ABC的面积 18（12 分）唐三彩，中国古代陶瓷烧制工艺的珍品，它吸取了中国国画、雕塑等工艺美术的特点， 在中国文化中占有重要的历史地位，在陶瓷史上留下了浓墨重彩的一笔唐三彩的生产至今已有 1300多年的历史，制作工艺十分复杂，它的制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后 方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立。某陶瓷厂准备仿制甲、乙、丙三件不同的唐三彩工 艺品，根据该厂全面治污后的技
9、术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件工艺品合格的概率依 次为 1 2 ， 4 5 ， 3 5 ，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件工艺品合格的概率依次为 4 5 ， 1 2 ， 2 3 （1）求第一次烧制后甲、乙、丙三件中恰有一件工艺品合格的概率； （2）经过前后两次烧制后，甲、乙、丙三件工艺品成为合格工艺品的件数为X，求随机变量X的 数学期望 19（12 分）如图，在六面体ABCDEFG中，平面ABC平面DEFG，AD 平面DEFG， DEDG，EFDG，且2ABADDEDG，1ACEF （1）求证：BF平面ACGD； （2）求锐二面角D CGF的余弦值 20（12 分）如图，已知椭圆 2
10、 2 :1 4 x Cy，F为其右焦点，直线: (0)l ykxm km 与椭圆 相交于 11 ( ,)P x y， 22 (,)Q xy两点， 点A，B在l上， 且满足| |PAPF，| |QBQF，| |OAOB （点A，P，Q，B从上到下依次排序） （1）试用 1 x表示|PF； （2）证明：原点O到直线l的距离为定值 21（12 分）已知函数( )ln(1)(1) 1()f xxk xkR （1）求函数( )f x的单调区间； （2）若在定义域内( )0f x 恒成立，求实数 的取值范围； （3）证明： 2 * ln2ln3ln4ln (2,) 34514 nnn nn n N 请考生
11、在请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 22（10 分）【选修 4-4：坐标系与参数方程】 在直角坐标系xOy中， 曲线C的参数方程为 32cos 1 2sin x y （为参数） ， 以坐标原点O为极点， 以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为3 cos4 sin120 （1）求曲线C与直线l的普通方程； （2）若点P在曲线C上，Q在直线l上，求|PQ的最小值 23（10 分）【选修 4-5：不等式选讲】 已知函数( ) |21|f xxax，aR （1）当1a 时，求不等式( )3f x
12、 的解集； （2）若关于x的不等式( ) |21|f xx的解集包含集合 1 ,1 2 ，求实数a的取值范围 2020-2021 学年上学期高三期中备考金卷 理科理科数数学（学（A）答案答案 第第卷卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，分，共共 6060 分分在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 【答案】C 【解析】 |ln1Bxx， |0Bxxe， 又 | 13Axx ， |0ABxxe 2【答案】B 【解析】由题意得，三乡总人数为8758 7236 83562435
13、0人 共征集378人，需从西乡征集的人数是 7236 378112 24350 ，故选 B 3【答案】A 【解析】 12 (8)(24)iz zmmR，故2 40m，2m 4【答案】B 【解析】由题意，为使|OP取最小值，只需OP与直线20 xy垂直， 由点到直线距离公式可得 min 22 |2| |2 1( 1) OP 5【答案】A 【解析】 2 3sincos23sin1 2sin ， 当 0 3 时， 3 0sin 2 ， 此时令sint，则 2 231ytt 在 3 0 2 t 上，满足 1y ， 反之，当 2 3sin1 2sin1 时， 3 0sin 2 ，不一定有 0 3 ，比如
14、 5 6 ， “ 0 3 ”是“ 3sincos21 ”的充分不必要条件 6【答案】D 【解析】已知己的夜班在周四，假设乙和丙的夜班分别在周三和周五， 则“甲的夜班比丙晚一天”与“乙的夜班比庚早三天”矛盾 因为“甲的夜班比丙晚一天”，所以丙的夜班不可能在周日， 所以乙和丙的夜班分别在周二和周六 由“甲的夜班比丙晚一天”，得甲的夜班在周日， 由“乙的夜班比庚早三天”，得庚的夜班在周五，故选 D 7【答案】D 【解析】由2d ， 3 21S ，得 1 9a ， 又因为 5 1a ， 6 1a ，故当 5n时， n S取最大值 8【答案】C 【解析】由题意得，球的体积为 333 11 44 ( )
15、3326 6 a VRak； 等边圆柱的体积为 223 22 4 ( ) 24 a VR aaak， 正方体的体积 33 3 1aVk，所以 123 :12:3:12 6 4 kkk 9【答案】C 【解析】由题意作出满足条件的可行域如图中阴影部分， 则对于目标函数|3 |zxy，平移直线 1 3 yx可知， 当直线经过点( 2,2)A 时，3zxy取得最小值8， 当直线经过点( 2, 2)B 时，3zxy取得最大值4， 所以38,4xy ，即|3 | 0,8xy 10【答案】C 【解析】由( )2( )xfxfx ，得(2)( )0 xfx ， 则当2x时，( )0fx ，所以( )f x在(
16、2,)上为增函数 因为24a，所以4216 a ， 2 1log2a 又由( )(4)f xfx知函数图象的对称轴为2x， 所以 22 (log)(4log)fafa且 2 24log32aa， 所以 2 (4log)(3)(2 ) a faff，即 2 (log)(3)(2 ) a faff，故选 C 11【答案】D 【解析】由椭圆方程 22 1 95 xy ，得3a ，5b ， 22 2cab ， 设椭圆左焦点为 F ，则APF的周长为 | | 2| 46 | 10 |AFAPPFAFAPaPFAPPFAF ， 当且仅当A，P， F 三点共线，且P在 AF的延长线上时取等号， (0,2 3
17、)A，( 2,0)F ， 直线 AF 的方程为 1 22 3 xy ，即32 30 xy， 由 22 32 30 1 95 xy xy ，得 2 3220 3750yy， P的纵坐标为 5 3 8 ，当APF的周长最大时， 该三角形的面积为 15 321 3 | | 2 |2 3| 284 AP FFyy 12【答案】A 【解析】注意到 2 ( )(1)1sin(1)1f xxxx， 可令1tx ， 2 ( )(1)sing tttt，则 ( )( )2yf xg t ， 2,2t ， 显然 max ( )2Mg t， min ( )2mg t 又( )g t为奇函数，则 maxmin ( )
18、( )0g tg t，所以 4Mm，故选 A 第第卷卷 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分分，共共 2020 分分 13 【答案】160 【解析】根据所给二项式的构成，常数项只有一项，就是 333 46 2 C()160Tx x 14【答案】2 【解析】(3, 1)OA，(0,2)OB ，( 3,3)ABOBOA ， 设( , )OCm n，则 330OC ABmn 又(3,1)ACOCOAmn，AC OB ，30m 且12n 由可得3m，3n，2 15【答案】 3 【解析】 13 ( )sin(2)cos(2)sin(2) 22 3 f x
19、xxx， 向左移 4 得sin(2)cos(2) 233 yxx， 图象关于点 (,0) 2 对称，cos(2)cos() cos()0 233 3 ， 0， 6 ，故 3 ( )sin() 6 2 g xx， 33 6 x，3( )0g x 16【答案】(1,2)(3,4) 【解析】记 1 n n n b ， （1n ，2，） ， 根据题意可知，n(*)nN，这时总存在 0 *n N，满足：当 0 nn时，0 n b ； 当 0 1nn时，0 n b 所以由 1nnn ab a 及 1 10a 可知， 若 0 n为偶数，则 0 0 n a ，从而当 0 nn时0 n a ； 若 0 n为奇数
20、，则 0 0 n a ，从而当 0 nn时0 n a 因此“存在*mN，当nm时，总有0 n a ”的充分必要条件是： 0 n为偶数，记 0 2nk（ 1k ， 2，），则满足 2 21 2 0 21 21 0 2 k k k b k k b k ， 故的取值范围是(21,2 )kk， 又1,5，(1,2)(3,4) 三、解答题：三、解答题：本大题共本大题共 6 大大题，共题，共 70 分，分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17【答案】 （1） 3a ； （2） 3 2 ABC S 【解析】 （1）由题意，得 222 3 3 bcaabc， 22
21、2 2cosbcabcA， 3 2cos 3 bcAabc， 3 A ， 2 3cos3aA （2）3a ，由正弦定理 sinsin ab AB ，可得 1 sin 2 B ab， 6 B ， 2 CAB， 13 sin 22 ABC SabC 18【答案】 （1） 13 50 ； （2）()1.2E X 【解析】分别记甲乙丙第一次烧制后合格为事件 1 A， 2 A， 3 A， （1）设事件E表示第一次烧制后恰好有一件合格， 则 11214211313 ( ) 25525525550 P E （2）因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为 2 5 p ， 所以随机变量(3,0.4)XB， 所
22、以()3 0.41.2E Xnp 19【答案】 （1）证明见解析； （2） 6 6 【解析】 （1）设DG的中点为M，连接AM，FM， 易证：四边形DEFM是平行四边形， MFDE，且MFDE， 平面ABC平面DEFG，ABDE， ABDE，MFAB，且MFAB， 四边形ABFM是平行四边形，BFAM， 又BF 平面ACGD，AM 平面ACGD，故BF平面ACGD （2）由题意可得AD，DE，DG两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系， 则(0,2,0)(2,1,0)( 2,1,0)FG ，(0,1, 2)CG ， 设平面BCGF的法向量为 1 ( , , )x y zn， 则 1 1 2
23、0 20 FGxy CGzy n n ，令2y ，则 1 (1,2,1)n； 又平面ADGC的法向量为 2 (1,0,0)n， 2 12 12 12 22222 1 16 cos, |6 121100 n n n n nn ， 由于所求的二面角为锐二面角，二面角D CGF的余弦值为 6 6 20【答案】 （1） 1 3 2| 2 |xPF ； （2）证明见解析 【解析】 （1）椭圆 2 2 :1 4 x Cy，故( 3,0)F， 22222 1111111 1 33 |(3)(3)1 2 2 34 44 2PFxyxxxxx （2）设 33 (,)A x y， 44 (,)B x y， 则将y
24、kxm代入 2 2 1 4 x y，得到 222 (41)8440kxkmxm， 故 12 2 8 41 km xx k ， 2 12 2 44 41 m x x k ， 2 1 2 2 2 4 41 | 41 km xx k ， | |OAOB，故 3434 3434 ()21yyk xxm xxxxk ，得到 34 2 2 1 km xx k ， | |PAPF，故 2 131 3 1| 2 2 kxxx ，同理 2 422 3 1| 2 2 kxxx ， 由已知得 3124 xxxx或 3124 xxxx， 故 2 123421 3 1|()()| 2 kxxxxxx， 即 22 2 2
25、22 8241 1| 2 3 41141 kmkmkm k kkk ，化简得到 22 1mk， 故原点O到直线l的距离为 2 | 1 1 m d k 为定值 21【答案】 （1）见解析； （2）1k ； （3）证明见解析 【解析】 （1）定义域为(1,)， 11 ( ) 11 kkx fxk xx ， 若0k ， 1 ( )0 1 fxk x ，( )f x在(1,)上单调递增； 若0k ， 1 () ( ) 1 k k x k fx x ， 所以，当( )0fx 时， 1 11x k ，当( )0fx 时， 1 1x k 综上：若0k ，( )f x在(1,)上单调递增； 若0k ，( )f
26、 x在 1 (1,1) k 上单调递增，在 1 (1,) k 上单调递减 （2）由（1）知，0k 时， (2)10fk 不可能成立； 若0k ，( )0f x 恒成立， 1 (1)ln0fk k ，得1k ， 综上，1k （3）由（2）知，当1k 时，有( )0f x 在(1,)上恒成立，即ln(1)2xx， 令 2 1(,1)xn nNn ，得 22 ln1nn，即 ln1 12 nn n ， ln2ln3ln4ln1231(1) 345122224 nnn n n ，得证 22【答案】 （1） 22 :(3)(1)4Cxy，:34120lxy； （2）3 【解析】 （1）由 32cos 1
27、 2sin x y ，消去，得 22 (3)(1)4xy， 因为3 cos4sin120， 由直角坐标与极坐标的转化公式可得34120 xy， 所以曲线C的普通方程为 22 (3)(1)4xy，直线l的普通方程为3 4120 xy （2）由（1）知： 22 :(3)(1)4Cxy，得圆心为( 3,1) ，半径为2， :34120lxy ， |PQ的最小值即圆心( 3,1) 到直线34120 xy的距离减去圆的半径， 因为( 3,1)到直线34120 xy的距离 22 |3 ( 3)( 4) 1 12| 5 34 d ， 所以|PQ的最小值为5 23 23【答案】 （1） 15 | 33 xx；
28、 （2） 5 1, 2 【解析】 （1）当1a 时，( ) |1|21|f xxx， 所以不等式( )3f x ，即为|1|21| 3xx， 等价于 1 2 (1)(1 2 )3 x xx 或 1 1 2 (1)(21)3 x xx 或 1 (1)(21)3 x xx ， 即 1 2 1 3 x x 或 1 1 2 3 x x 或 1 5 3 x x ， 解得 11 32 x或 1 1 2 x或 5 1 3 x， 15 33 x， 原不等式的解集为 15 | 33 xx （2）不等式( ) |21|f xx的解集包含集合 1 ,1 2 ， 当 1 ,1 2 x时，不等式( ) |21|f xx恒成立， 即|21| |21|xaxx对 1 ,1 2 x恒成立， | 2xa对 1 ,1 2 x恒成立， 22xax 对 1 ,1 2 x恒成立 又当 1 ,1 2 x时，21x ， 5 2 2 x， 5 1 2 a ， 实数a的取值范围为 5 1, 2
