1、 遂宁市高中遂宁市高中 20172017 级第三学期教学水平监测级第三学期教学水平监测 数学（理科）试题数学（理科）试题 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分。总分 150 分。考试时间 120 分钟。 第卷（选择题，满分 60 分） 注意事项： 1答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查 条形码粘贴是否正确。 2选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写 在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 3考试结束后，将答题卡收回。 一、选择题：
2、本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1直线30 xy的倾斜角为 A 4 B 3 4 C 3 D 6 2圆心在x轴上，半径为 1 且过点(2,1)的圆的方程为 A 22 (2)1xy B 22 (2)1xy C 22 (2)1xy D 22 (2)1xy 3根据下图给出的 2011 年至 2016 年某企业关于某产品的生产销售（单位：万元）的柱形图， 以下结论丌正确的是 A逐年比较，2014 年是销售额最多的一年 B这几年的利润丌是逐年提高（利润为销售额减去总成本） C2011 年至 2012 年是销售额增长最快的一年 D
3、2014 年以来的销售额不年份正相关 4直线 1: 330laxy和直线 2: (2)10lxay 平行，则实 数a的值为 A3 B1 C 3 2 D3或1 5已知P是ABC的重心，现将一粒黄豆随机撒在ABC内，则黄豆落在PBC内的概率 是 A 1 4 B 1 3 C 1 2 D 2 3 6已知mn、是丌重合直线，、 、是丌重合平面，则下列命题 若、，则 若mnm、n、，则 若、，则 若m、，则m 若mn、，则mn 为假命题的是 A B C D 7若实数，满足 10, 0, 2, xy x y 则 2 2 2zxy的最小值为 A 5 5 B 1 5 C 3 2 2 D 9 2 8某三棱锥的三视
4、图如图所示，则该三棱锥的表面积为 A2 7+10 B8+2 7 C 4 3 3 D4 2+2 3 9运行下列程序，若输入 的, p q的值分别为65,36， 则输出的p q的值为 A4 7 B57 C6 1 D67 10已知ABC的外接圆M经过点 0,10,3，且圆心M在直线yx 上.若ABC的边长2BC ,则sinBAC等于 A 5 5 B 1 5 C 5 3 D 1 2 11已知三棱锥ABCP中，23PA，34ABAC，ABAC,ABCPA面， 则此三棱锥的外接球的内接正方体的体积为 A16 B28 C64 D96 12. 设点 P 是函数 2 4(1)yx 图象上任意一点，点 Q 坐标为
5、(2 ,3)()a aaR，当 |PQ取得最小值时圆 22 1:( )(1)4Cxmya不圆 22 2:( )(2)9Cxny相 外切，则mn的最大值为 A5 B 5 2 C 25 4 D1 第卷（非选择题，满分 90 分） 注意事项： 1请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。 2试卷中横线及框内注有“”的地方，是需要你在第卷答题卡上作答。 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13在空间直角坐标系中，点（1，2，3）关于yoz面对称的点的坐标 为 14连续抛掷两枚骰子，向上的点数之和为 6 的概率为 15已知三棱锥 ABCD 中，ABCD，且直线
6、 AB 不 CD 所成的角为 60 ，点 M，N 分别是 BC，AD 的中点，则直线 AB 和 MN 所成 的角的大小为 16在平面直角坐标系xoy中，点(1,0),(4,0)AB，若在曲线 222 :24590C xaxyaya上存在点P使得 | 2|PBPA，则实数a的取值范围为 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （本小题 10 分） 如 图 ， 在 三 棱 锥PABC中 ，,D E F分 别 为 棱,PC AC AB的 中 点 . 已 知 ,6PAAC PA，8,5BCDF. 求证： （1）直线 PA/ /平面 DEF； （2）平面 BDE平面 A
7、BC. 18 （本小题 12 分） 某城市理论预测 2017 年到 2021 年人口总数(单位：十万)不年份的关系如下表所示： 年份2017x 0 1 2 3 4 人口总数y 5 7 8 11 19 （1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的回归方程 ybxa； （2）据此估计 2022 年该城市人口总数. 附： 1 22 1 n ii i n i i x ynxy b xnx ， a ybx. 参考数据： 0 5 1 72 8 3 11 4 19 132 ， 22222 0123430. 19 （本小题 12 分） 已知直线210 xy 不直线210 xy 交于点P （1）求过点
8、P且平行于直线34150 xy的直线 1 l的方程； （2）在（1）的条件下，若直线 1 l不圆 22 2xy交于 A、B 两点，求直线不圆截得的弦 长|AB 20 （本小题 12 分） 2017 年“双节”期间， 高速公路车辆较多某调查公司在一 服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔 50 辆就抽取一辆的抽样方法抽取 40 名驾驶员进行询问调查，将 他们在某段高速公路的车速/km h分成六段： 60,65， 65,70 ， 70,75， 75,80， 80,85， 85,90 后得到如图的频率分布直方图 （1）调查公司在采样中，用到的是什么抽样方法？ （2）求这 40 辆小型车辆车
9、速的众数、中位数及平均数的估计值； （3）若从车速在60,70的车辆中任抽取 2 辆，求车速在65,70的车辆至少有一辆的 概率 21 （本小题 12 分） 如图，在四棱锥PABCD中，PA 底面ABCD，ABAD，ACCD， ABC60 ，PAABBC， E是PC的中点. （1）证明：AE 平面PCD； （2）求二面角A PD C的正弦值. 22 （本小题 12 分） 已知线段 AB 的端点 B 的坐标为（3,0） ，端点 A 在圆 22 (3)16xy上运动； （1）求线段 AB 中点 M 的轨迹方程； （2）过点 C（1,1）的直线 m 不 M 的轨迹交于 G、H 两点，当 GOH（O
10、为坐标原点） 的面积最大时，求直线 m 的方程幵求出 GOH 面积的最大值. （3）若点 C（1,1） ，且 P 在 M 轨迹上运动，求BC BP的取值范围. 遂宁市高中2017级第三学期教学水平监测 数学（理科）试题参考答案及评分意见 一、选择题（5 12=60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B D B B D D A B A C C 二、填空题（每小题 5 分，共 4 个小题） 13( 1,2,3) 14 5 36 15 6 或 3 16 55 5, 5 55 三、解答题（共 70 分） 17（本小题（本小题 10 分）分） 证明：证明：（1）
11、因为 D，E 分别为棱 PC，AC 的中点，所以 DEPA 2 分 又因为 PA平面 DEF，DE平面 DEF， 4 分 所以直线 PA平面 DEF 5 分 （2）因为 D，E，F 分别为棱 PC，AC，AB 的中点，PA6，BC8， 所以 DEPA，EFBC，且 DE1 2PA3，EF 1 2BC4. 又因为 DF5，故 DF2DE2EF2， 6 分 所以DEF90 ，即 DEEF 7 分 又 PAAC，DEPA，所以 DEAC 8 分 因为 ACEFE，AC平面 ABC，EF平面 ABC， 所以 DE平面 ABC 9 分 又 DE平面 BDE，所以平面 BDE平面 ABC 10 分 18（
12、本小题（本小题 12 分）分） 解：解： （1）由题中数表，知 1 0 12342 5 x ， 2 分 1 578 11 1910 5 y 4 分 所以 5 1 5 22 1 5 3.2 5 ii i i i x yxy b xx ， 6 分 3 6.aybx 7 分 所以回归方程为3.2.63yx 8 分 (2)当5x 时，3.2 53.6619y (十万) 196 (万) 12 分 19 （本小题 （本小题 12 分）分） 解：解：（1）由 2101 2101 xyx xyy ，(1,1)P 2 分 令 1:3 40lxym， 4 分 将(1,1)P代入得： 1:3 470lxy (直线表
13、示方式不唯一) 6 分 （2）圆心(0,0)O到直线 1:3 470lxy的距离 0077 59 16 d ， 9 分 所以 492 =2 2 255 AB 12 分 20（本小题（本小题 12 分）分） 解析：解析： （1）系统抽样 1 分 （2）众数的估计值为最高的矩形的中点，即 75+80 =77.5 2 2 分 设图中虚线所对应的车速为x，则中位数的估计值为： 0.01 5 0.02 5 0.04 5 0.06750.06 (80)0.05 5 0.02 5xx ， 解得77.5x 即中位数的估计值为77.5 4 分 平均数的估计值为： 62.5 0.05 67.5 0.10 72.5
14、 0.20 77.5 0.30 82.5 0.25 87.5 0.1077x 6 分 （3）车速在60,65的车辆数为：2 车速在65,70的车辆数为：4 8 分 设车速在60,65的车辆为ab与，车速在65,70的车辆为, , ,c d e f， 则基本事件有： ,a ba ca da ea fb cb db eb fc dc ec f ,d ed fe f 共 15 种，其中，车速在65,70的车辆至少有一辆的事件有：10 分 ,? ,a ca da ea fb cb db eb fc dc ec f， ,d ed fe f共 14 种， 所以车速在65,70的车辆至少有一辆的概率为 14
15、 15 p .12 分 21 （本小题 （本小题 12 分）分） （1）证明：证明：在四棱锥 PABCD 中， 因 PA底面 ABCD，CD平面 ABCD， 故 CDPA 2 分 由条件 CDAC，PAACA， CD平面 PAC. 又 AE平面 PAC，AECD 4 分 由 PAABBC，ABC60 ，可得 ACPA. E 是 PC 的中点，AEPC. 又 PCCDC，综上得 AE平面 PCD 6 分 （2）解 过点 E 作 EMPD，垂足为 M，连接 AM，如图所示. 由(1)知，AE平面 PCD，AM 在平面 PCD 内的射影是 EM， 则 AMPD. 因此AME 是二面角 APDC 的平
16、面角 8 分 由已知， 可得CAD30 . 设 ACa，可得 PAa，AD2 3 3 a，PD 21 3 a，AE 2 2 a. 在 Rt ADP 中，AMPD，AM PDPA AD， 则 AMPA AD PD a 2 3 3 a 21 3 a 2 7 7 a 10 分 在 Rt AEM 中，sinAMEAE AM 14 4 . 所以二面角 APDC 的正弦值为 14 4 12 分 方法二：AB=BC 且ABC=60 AB=BC=AC 又ABAD 且 ACCD DAC=30 ，ADC=60 2 分 不妨令 PA=AB=BC=AC=a 分别以 AB、AD、PA 所在直线为 x、y、z 轴建立空间
17、直角坐标系 则 A（0,0,0） B（a,0,0） P（0,0,a） D（0, 2 3 3 a ,0） C（ 3 ,0 22 a a） E（ 3 , 442 aa a） 4 分 （1） 3 (,) 442 aa AEa 3 (,) 22 a PCaa 2 3 (0,) 3 a PDa 222 3 ()0 882 aaa AE PC 22 6 ()0 122 aa AE PD 且PCPDP AE面 PCD 6 分 （2）(1,0,0)n 为面 PAD 的一个法向量 7 分 由（1）知AE为面 PCD 的一个法向量 8 分 二面角的余弦值 1 1 2 4 cos 4| |2 2 a n AE nA
18、E a 10 分 二面角的正弦值为 14 4 12 分 22 （本小题 （本小题 12 分）分） （1）解：设点 00 (,),( , )A xyM x y 由中点坐标公式有 0 0 00 3 23 2 2 2 x x xx yyy y 2 分 又点 00 (,)A x y在圆 22 (3)16xy上，将A点坐标代入圆方程得： M点的轨迹方程为： 22 4xy 4 分 （2）令=GOH，则 2 11 sin2 2 sin2sin 22 GOH Sr 当sin1，即= 2 GOH 时 ABC S面积最大为 2 6 分 又直线m过点(1,1)，= 2 GOH ，O到直线m的距离为2，当直线m斜率不存 在时:1 m Lx ，O到m的距离为 1 不满足，令 2 |1| :1(1),21 1 m k Lyk xdk k 故直线m的方程为：2yx 8 分 （3）设点( , )P x y，由于点3 0B （ ， ）,C(1,1) 则26BC BPxy ，令26zxy 9 分 有26yxz，由于点( , )P x y在圆 22 4xy上运动，故满足圆的方程. 当直线26yxz与圆相切时，z取得最大或最小 故有 6 262 562 5 5 z zz 或 所以62 5,62 5BC BP 12 分
