1、 四川省雅安市四川省雅安市 20182018- -20192019 学年高二上学期期末考试学年高二上学期期末考试 数学（理）试题数学（理）试题 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1212 小题，共小题，共 60.060.0 分）分） 1.直线 ：和 ：垂直，则实数 A. B. 1 C. 或 1 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】 本题可以根据直线 与直线 的解析式以及两直线垂直的相关性质列出算式，然后通过计算得 出结果。 【详解】由，解得，故选 A。 【点睛】本题考查两直线之间的位置关系，主要考查两直线垂直的相关性质，有直线 和直线垂直，则有，考查计算能力，是简单 题。 2.若命
2、题p：，则为 A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】 本题首先可以判断出命题是特称命题，然后根据特称命题的否定是全称命题，分别对量词和 结论进行否定即可得出结果。 【详解】命题是特称命题，则命题的否定是：，故选C。 【点睛】本题考查命题的否定，主要考查了全称命题与特称命题的否定的应用，特称命题的 否定是全称命题，需要对量词和结论进行否定，是简单题。 3.中，若，则该三角形的形状是： （ ） A. 锐角三角形 B. 等边三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】 利用空间向量模的公式求出三角形三边的长，从而可得结果. 【详解】因
3、为， 所以， ， ， 所以，且， 是等腰直角三角形，故选 D. 【点睛】本题主要考查空间向量的线性运算以及空间向量模的公式的应用，意在考查灵活运 用所学知识解答问题的能力，属于中档题. 4.“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 先得出，由子集关系可得解。 【详解】，但由包含了，得是充 分不必要条件。故选 A 【点睛】在判断充分不必要条件，必要不充分条件，充分必要条件时转化为集合的关系。 等价于 是 的子集。 5.执行如图所示的程序框图，输出的s值为 A. B. C. D. 【答案】B
4、【解析】 分析：初始化数值，执行循环结构，判断条件是否成立， 详解：初始化数值 循环结果执行如下： 第一次：不成立； 第二次：成立， 循环结束，输出， 故选 B. 点睛：此题考查循环结构型程序框图，解决此类问题的关键在于：第一，要确定是利用 当型还是直到型循环结构；第二，要准确表示累计变量；第三，要注意从哪一步开始循 环，弄清进入或终止的循环条件、循环次数. 6.已知圆，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 试题分析：在圆上任取一点,则此点关于直线的对称点在圆 上,所以有，即,所以答案为 ,故选 B. 考点：曲线关于直线的对称曲线方程的求法. 7
5、.如图，将矩形沿对角线把折起，使 移到点，且在平面上的射影 恰 好在上，则与所成角是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由线面垂直的性质可得 ，由矩形的性质可得 ,由此可得 平面 ，从而可得 ，进而可得结果. 【详解】因为在平面上的射影 恰好在上， 所以 平面，因为在平面内， 所以 ，又因为 ,与在平面内相交， 所以， 平面，在平面内， 所以 ，、成的角为，故选 D. 【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，以及线面垂直的判定与性质，属于中档题. 解答 空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系 进行转化，转化时要正确运用有关的定
6、理，找出足够的条件进行推理. 8.某校高三年级共有学生 900 人，编号为 1，2，3，900，现用系统抽样的方法抽取一个 容量为 45 的样本，若在第一组抽取的编号是 5，则抽取的 45 人中，编号落在区间的 人数为 A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】 本题首先可以通过总量以及样本数量计算出样本组距，然后根据区间的间距以及系 统抽样的性质即可得出结果。 【详解】900 人中抽取样本容量为 45 的样本，样本组距为：； 则编号落在区间的人数为， 故选C。 【点睛】本题考查的是系统抽样的相关性质，牢记系统抽样的定义与性质并正确求出样本间 距是解决本题的
7、关键，考查计算能力，是简单题。 9.三棱锥中，平面，则和平面所成角 的正切值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 在平面内过 作，垂足为 ，连接 ，可证明平面，即是和平 面 所成的角，利用等腰三角形的性质与勾股定理求出，的值，从而可得结果. 【详解】在平面内过 作，垂足为 ，连接 ， 因为，所以 是的中点， 且， 平面， 平面， 即是和平面 所成的角， ， 和平面 所成角的正切值是 ，故选 B. 【点睛】本题主要考查直线与平面所成的角，属于与中档题. 求线面角的方法：1、根据图形 正确作出线面角是解决问题的关键，但这要求学生必须具有较强的空间想象能力，同时还应
8、写出必要的作、证、算过程；2、对于特殊的几何体，如长方体、正方体等当比较容易建立空 间直角坐标系时，也可采用向量法求解. 10.已知直线与圆相交于A、B两点，则大小为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 本题首先可以通过圆的方程得出圆心O的坐标以及半径，然后利用点到直线距离公式求出圆 心到直线AB的距离， 接下来通过圆心到直线AB的距离以及圆的半径就可以求出线段AB的长， 最后得出的形状以及大小。 【详解】根据题意，圆的圆心O的坐标为，半径， 则圆心到直线AB的距离， 因为直线与圆相交于A、B两点， 所以， 则有，则为等边三角形， 所以，故选C。 【点睛】本题考查圆的相关性
9、质，主要考查圆与直线相交的相关性质，考查点到直线距离公 式，锻炼了学生的推理能力与计算能力，培养了学生的数形结合思想，是中档题。 11.已知三棱锥中，且、两两垂直， 是三棱锥外接 球面上一动点，则 到平面的距离的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 是棱长为 1 的正方体上具有公共顶点 的三条棱,以 为原点, 分别为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系,三棱锥外接球就是正方体的 外接球，由正方体及球的几何性质可得点 与 重合时，点 到平面的距离最大，求出平面 的法向量，由点到直线的距离公式即可得结果. 【详解】 三棱锥，满足两两垂直，且， 如图是棱长为 1 的
10、正方体上具有公共顶点 的三条棱, 以 为原点,分别为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系, 则， ， 设平面的法向量， 则，取，得， 三棱锥外接球就是棱长为 1 的正方体的外接球， 是三棱锥外接球上一动点， 由正方体与球的几何性质可得，点 点与 重合时， 点 到平面的距离最大， 点 到平面的距离的最大值为.故选 C. 【点睛】求出相应直线的方向向量； （3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为 零列出方程组求出法向量； （4）将空间位置关系转化为向量关系； （5）根据定理结论求出相 应的角和距离. 12.已知圆，过圆上一点P作圆 的两条切线，切点分别是E、F，则的最小值是 A. 6 B
11、. 5 C. 4 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】 本题首先可以通过圆的方程得出圆的圆心轨迹， 然后画出圆的圆心轨迹图像以及圆的 图像，通过图像可以得出线段的取值范围以及的解析式，最后通过函数性质即可得 出结果。 【详解】由可得： 圆的圆心在圆的圆周上运动， 设，则， 由图可知：， ， 由在上为增函数可知， 当时，取最小值 6，故选A。 【点睛】本题考查圆的相关性质，主要考查圆的方程的相关性质以及圆的切线的相关性质， 考查推理能力，考查数形结合思想、方程思想以及化归思想，是难题。 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 4 小题，共小题，共 20.020.0 分）分） 13.若直
12、线 ：和 ：平行，则实数_ 【答案】1 【解析】 【分析】 本题可以通过直线 与直线 的直线方程以及两直线平行的相关性质列出等式，然后通过计算 即可得出结果。 【详解】由，解得 经过验证可得满足条件，故答案为 1。 【点睛】本题考查两直线的位置关系，主要考查两直线平行的相关性质，若直线 和直线平行，则有，同时要注意两直线不能 重合，考查计算能力，是简单题。 14.若直线在x轴上的截距在范围内，则该直线在y轴上的截距大于 1 的概率是 _ 【答案】 【解析】 【分析】 本题首先可以通过“直线在x轴上的截距在范围内”确定所有的基本事件构成 的区间长度，然后确定“直线在y轴上的截距b大于 1”包含的
13、基本事件构成的区间长度，最 后根据几何概型概率公式进行计算即可得出结果。 【详解】所有的基本事件构成的区间长度为， 因为直线在y轴上的截距b大于 1， 所以直线横截距小于， 所以“直线在y轴上的截距b大于 1”包含的基本事件构成的区间长度为， 由几何概型概率公式可得“直线在y轴上的截距b大于 1”的概率为， 故答案为 。 【点睛】本题考查了几何概型的相关性质，主要考查几何概型中的长度型的相关性质，解决 本题的重点在于找到所有的基本事件构成的区间长度以及满足题目条件的基本事件构成的区 间长度，考查推理能力，是简单题。 15.已知命题 ：，为真命题，则实数 的取值范围是_ 【答案】 【解析】 【分
14、析】 分两种情况讨论，结合抛物线的图象，列不等式求解即可. 【详解】当时，为真命题，符合题意； 当时，要使，为真命题， 则对应的抛物线开口向上且与 轴没有交点， 可得， 综上可得实数 的取值范围是，故答案为. 【点睛】本题主要考查全称命题的定义，以及一元二次不等式恒成立问题，属于简单题. 一 元二次不等式恒成立问题主要方法： （1）若实数集上恒成立，考虑判别式小于零即可； （2） 若在给定区间上恒成立，则考虑运用“分离参数法”转化为求最值问题. 16.正三角形边长为，其所在平面上有点 、 满足：，则的最大 值为_ 【答案】 【解析】 【分析】 如图所示，建立直角坐标系，点 的轨迹方程为 ，令，
15、又，可得 ，代入，即可得出结果. 【详解】 如图所示，建立直角坐标系， 满足， 点 的轨迹方程为， 令， 又， 则， ， 的最大值是. 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算以及换元法的应用、三角函数求最值，属于难题. 求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种：化成的形式利用配方法 求最值；形如的可化为的形式利用三角函数有界性求最值； 型，可化为求最值 . 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 6 小题，共小题，共 70.070.0 分）分） 17.已知三角形的三个顶点， 求AC边所在直线方程； 求线段BC的中垂线所在直线方程 【答案】 （1）（2） 【解析】 【分析】 可通过两点坐标
16、以及直线的截距式方程即可求出AC边所在直线方程； 首先可通过两点坐标计算出BC中点坐标，然后通过直线BC的斜率计算出线段BC的中 垂线斜率，最后通过直线的点斜式方程即可得出结果。 【详解】由、知直线AC所在直线方程为，即； 由、可知BC中点为， 又因为，所以线段BC的中垂线斜率为 ， 所以线段BC的中垂线所在直线方程为，即。 【点睛】本题考查的是直线的相关性质，主要考查的是直线的截距式方程、直线的点斜式方 程、两直线垂直的相关性质，考查计算能力，考查对直线的基础性质的理解，是简单题。 18.半期考试后，班长小王统计了 50 名同学的数学成绩，绘制频率分布直方图如图所示 根据频率分布直方图，估计
17、这 50 名同学的数学平均成绩； 用分层抽样的方法从成绩低于 115 的同学中抽取 6 名，再在抽取的这 6 名同学中任选 2 名， 求这两名同学数学成绩均在中的概率 【答案】 （1）（2） 【解析】 【分析】 用频率分布直方图中的每一组数据的平均数乘以对应的概率并求和即可得出结果； 首先可通过分层抽样确定 6 人中在分数段以及分数段中的人数， 然后分别 写出所有的基本事件以及满足题意中“两名同学数学成绩均在中”的基本事件，最 后两者相除，即可得出结果。 【详解】由频率分布表，估计这 50 名同学的数学平均成绩为： ； 由频率分布直方图可知分数低于 115 分的同学有人， 则用分层抽样抽取 6
18、 人中，分数在有 1 人，用a表示， 分数在中的有 5 人，用、表示， 则基本事件有、 、，共 15 个， 满足条件的基本事件为、 ，共 10 个， 所以这两名同学分数均在中的概率为。 【点睛】本题考查了频率分布直方图以及古典概型的相关性质，解决本题的关键是对频率分 布直方图的理解以及对古典概型概率的计算公式的使用，考查推理能力，是简单题。 19.如图，四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD中，又， ，E为PC中点 求证：平面PAD； 求异面直线PA与CB所成角 【答案】 （1）见解析（2） 【解析】 【分析】 (1)首先可以取的中点为 并连接、，然后利用三角形中位线的相关性质证明出四边形 为平
19、行四边形以及，即可得出结果； (2)首先可以取中点 并连接， 然后通过证明得出异面直线PA与CB所成角即 ，最后利用三边长即可得出结果。 【详解】(1)取的中点为 ，连接、， 则在中，且， 因为且，所以且， 所以四边形为平行四边形， 因为平面，平面， 所以平面。 (2)取中点 ，连接， 因为且，所以为平行四边形， 所以或其补角 为PA与CB所成角， 由题意得， 所以，与所成角为。 【点睛】本题考查线面平行的证明以及异面直线所成角的求解，线面平行可以通过线线平行 来证明，而异面直线所成角则可以通过线线平行将其转化为同一平面内的直线所成角并求解， 考查数形结合思想，是中档题。 20.对某城市居民家
20、庭年收入 （万元）和年“享受资料消费” （万元）进行统计分析，得数 据如表所示. 6 8 10 12 2 3 5 6 （1）请根据表中提供的数据，用最小二乘法求出 关于 的线性回归方程. （2）若某家庭年收入为 18 万元，预测该家庭年“享受资料消费”为多少？ （参考公式：，） 【答案】 （1）（2）10.3 万元 【解析】 【分析】 (1)根据所给的数据，做出变量的平均数，求出最小二乘法所需要的数据，可得线性回归方 程的系数 ,再根据样本中心点一定在线性回归方程上，求出 的值，写出线性回归方程； (2) 根据上一问做出的线性回归方程和家庭年收入为 18 万元,代入线性回归方程求出对应的 的
21、值，即可预测该家庭年“享受资料消费”. 【详解】 （1）由数据求得， ， 故 y 关于 x 的线性回归方程为：. （2）当 x=18 时，由线性回归方程求得， 故家庭年收入为 18 万元时，预测该家庭年“享受资料消费”为 10.3 万元 【点睛】本题主要考查线性回归方程的求解与应用，属于中档题.求回归直线方程的步骤： 依据样本数据确定两个变量具有线性相关关系；计算的值；计算回归系数 ；写出回归直线方程为； 回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线 性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势. 21.如图，在以 、 、 、 、 、 为顶点的五面体中，是平行四边形，平 面平面，. （
22、1）求证：； （2）若，与平面所成角为，求该五面体的体积. 【答案】 （1）详见解析（2） 【解析】 【分析】 （1） 过 作于 ， 连接， 根据面面垂直的性质可证明平面， 可得， 利用全等三角形以及等腰直角三角形的性质可得即， 由线面垂直的判定定理 可得平面，从而可得结果； （2）由（1）知为与平面所成角，可得 ，由可得结果. 【详解】 （1）过 作，连接， 平面平面，且交线为 平面，而 ，又 ， ，而 ，又 ，而 . （2）由知， 而 由（1）知为等腰直角三角形，而， 又由（1）知为与平面所成角， ， 0 而， 【点睛】本题主要考查线面垂直的判定与性质及空间几何体的体积，属于中档题. 空间
23、几何 体体积问题的常见类型及解题策略： （1）求简单几何体的体积时若所给的几何体为柱体锥体 或台体，则可直接利用公式求解(2)求组合体的体积时若所给定的几何体是组合体，不能直接 利用公式求解，则常用转换法、分割法、补形法等进行求解. 22.已知圆O：，直线l： 若直线l与圆O交于不同的两点A、B，当为锐角时，求k的取值范围； 若，P是直线l上的动点，过P作圆O的两条切线PC、PD，切点为C、D，则直线CD是 否过定点？若是，求出定点，并说明理由 若EF、GH为圆O的两条相互垂直的弦，垂足为，求四边形EGFH的面积的最大值 【答案】 （1）或； （2）直线CD恒过定点详见解析（3） 【解析】 【
24、分析】 (1)首先可以设出两点坐标，然后联立圆与直线方程并得出的值，最后根据 以及即可得出结果； (2)首先将带入直线方程得出直线的解析式，然后设出 点坐标并写出以为直径的圆的 方程，最后将其与圆 方程联立即可得出直线的方程并根据直线的方程得出定点坐标； (3)首先可以设圆心 到直线的距离分别为、 ，然后通过勾股定理即可得出的 值，再然后写出与，通过即可求出四边形的面积的最大值。 【详解】(1)根据题意，设， 将代入，整理得到：， 则有，解可得：， 而， 为锐角， 又由， 解可得：， 又由，则， 解可得：或； (2)时，直线l的方程为：， 设，则以为直径的圆的方程为， 即，将其和圆O：联立，消去平方项得：， 即为直线的方程， 将其化为知该直线恒过定点， 故直线CD恒过定点； (3)设圆心O到直线EF、GH的距离分别为、， 则， 所以， 所以， 当且仅当即 时，取“”， 所以四边形EGFH的面积的最大值为 。 【点睛】本题考查圆的相关性质，主要考查圆与直线相交、圆的切线、相交圆的公共弦方程 的相关性质，考查推理能力与计算能力，考查化归与转化思想，体现了基础性和综合性，是 难题。
