1、金版教程金版教程20212021高考科学复习创新方案高考科学复习创新方案- -理数理数 （创新版）（创新版） 【精品课件精品课件】 第第6 6讲讲 对数与对数函数对数与对数函数 第二章 函数、导数及其应用 考纲解读 1.理解对数的概念及其运算性质，能用换底公式将一般对数转 化成自然对数或常用对数，熟悉对数在简化运算中的作用 2理解对数函数的概念及对数函数的相关性质，掌握其图象通过的特殊点 (重点、难点) 3通过具体实例了解对数函数模型所刻画的数量关系，并体会对数函数是 一类重要的函数模型 4了解指数函数yax(a0且a1)与对数函数ylogax(a0且a1)互为反函数 考向预测 从近三年高考情
2、况来看，本讲为高考中的一个热点预测2021 年高考主要以考查对数函数的单调性的应用、最值、比较大小为主要命题 方向，此外，与对数函数有关的复合函数也是一个重要的考查方向，主要 以复合函数的单调性、恒成立问题呈现. 1 基础知识过关基础知识过关 PART ONE 1.对数的概念 如果axN(a0，且a1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作01 _，其中02 _叫做对数的底数，03 _叫做真数 2对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 alogaN01 _ (a0，且a1)；logaaN02 _ (a0，且 a1)；零和负数没有对数 a N N N xlogaN (2)对数的运算法则(a0，且a
3、1，M 0，N0) loga(M N)03 _； logaM N 04 _； logaMn05 _(nR) (3)对数的换底公式 logablogcb logca(a0，且a1；c0，且c1；b0) logaMlogaN logaMlogaN nlogaM 3对数函数的图象与性质 函数 ylogax(a0，且a1) a1 0a0，且a1) 在y_轴01 ，过定点(1,0) 图象 特征 当x逐渐增大时， 图象是02 _的 当x逐渐增大时， 图象是03 _的 右侧 上升 下降 定义域 04 _ 值域 R 单调性 在(0，)上是05 _ 在(0，)上是06 _ 性 质 函数值 变化 规律 当x1时，
4、y0 当x1时，07 _； 当0x1时，09 _； 当0x0 y0 y0 4反函数 指数函数yax(a0，且a1)与对数函数01 _(a0，且 a1)互为反函数，它们的图象关于直线02 _对称 ylogax yx 1概念辨析 (1)若MN0，则loga(MN)logaMlogaN.( ) (2)若a，b均大于零且不等于1，则logab 1 logba.( ) (3)函数ylogax2与函数y2logax是相等函数( ) (4)若MN0，则logaMlogaN.( ) (5)对数函数ylogax(a0且a1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)， 1 a，1 .( ) 答案 (1) (2)
5、(3) (4) (5) 答案答案 2小题热身 (1)已知函数yloga(xc)(a，c为常数，其中a0， a1)的图象如图，则下列结论成立的是( ) Aa1，c1 Ba1,0c1 C0a1，c1 D0a1,0c1 解析 由选项可知，只需研究c0的情况ylogax的图象向左平移c 个单位可得函数yloga(xc)的图象，结合图象可知0a1,0c1. 答案答案 解析解析 (2)若alog0.20.3，blog0.20.4，c20.2，则( ) Aabc Bbac Cbca Dacb 解析 因为ylog0.2x是减函数，所以log0.20.2log0.20.3log0.20.4，即1 ab.又c20
6、.2201，所以bac. 答案答案 解析解析 (3)有下列结论：lg (lg 10)0；lg (ln e)0；若lg x1，则x 10；若log22x，则x1；若logmn log3m2，则n9.其中正确结论的 序号是_ 解析 lg (lg 10)lg 10，故正确；lg (ln e)lg 10，故正确； 正确；logmn log3m log3n log3m log3mlog3n2，故n9，故正确 解析解析 (4)若函数yf(x)是函数y2x的反函数，则f(2)_. 解析 由已知得f(x)log2x，所以f(2)log221. 解析解析 1 2 经典题型冲关经典题型冲关 PART TWO 1计
7、算log29log342log510log50.25等于( ) A0 B2 C4 D6 题型题型 一一 对数式的化简与求值对数式的化简与求值 解析 log29log342log510log50.252log23 log24 log23 log5(1020.25) 426. 答案答案 解析解析 2设2a5bm，且1 a 1 b2，则m等于( ) A. 10 B10 C20 D100 解析 由2a5bm，得alog2m，blog5m，所以 1 a 1 b logm2 logm5logm102，所以m 10. 答案答案 解析解析 3已知log189a,18b5，则用a，b表示log3645_. 解析
8、 因为log189a,18b5，所以log185b，于是log3645 log1845 log1836 log1895 1log182 ab 1log1818 9 ab 2a. 解析解析 ab 2a 4(2019 全国卷)已知f(x)是奇函数，且当x0，则x0. 当x0，且a1)对题目条件进行转 化如举例说明2. 利用换底公式化为同底数的对数运算如举例说明3. (2)恒等式：关注loga10，logaaNN，alogaNN的应用如举例说 明4. (3)拆分：将真数化为积、商或底数的指数幂形式，正用对数的运算法 则化简如举例说明3. (4)合并：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用
9、对 数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算如举例说明1. 1(2019 山东省实验中学模拟)已知正实数a，b，c满足log2alog3b log6c，则( ) Aabc Bb2ac Ccab Dc2ab 解析 设log2alog3blog6ck，则a2k，b3k，c6k，所以ab 2k 3k(23)k6kc. 答案答案 解析解析 2计算(lg 2)2lg 2lg 50lg 25的结果为_ 解析 原式lg 2(lg 2lg 50)lg 52lg 2lg 1002lg 52(lg 2lg 5)2lg 102. 解析解析 2 3设35x49，若用含x的式子表示log535，则log535
10、_. 解析 因为35x49，所以xlog3549 log549 log535 2log57 log535 2log535 5 log535 2log5351 log535 ，解得log535 2 2x. 解析解析 2 2x 1(2019 浙江高考)在同一直角坐标系中，函数y 1 ax ，yloga x1 2 (a0，且a1)的图象可能是( ) 答案答案 题型题型 二二 对数函数的图象及应用对数函数的图象及应用 解析 当0a1时，函数yax的图象过定点(0,1)，在R上单调递增，于是函数y 1 ax 的图象过定点(0,1)，在R上单调递减，函数yloga x1 2 的图象过定点 1 2，0 ，在
11、 1 2， 上单调递增显然A，B，C都不符合故选D. 解析解析 2当0x1 2时，4 xlog ax，则a的取值范围是( ) A. 0， 2 2 B. 2 2 ，1 C(1， 2) D( 2，2) 解析 构造函数f(x)4x和g(x)logax，要使0 x 1 2 时，4xlogax，只需f(x)在 0，1 2 上的图象在g(x)的图象下 方即可当a1时不满足条件；当0a1时，画出两个 函数在 0，1 2 上的图象，可知只需f 1 2 g 1 2 ，即2loga1 2， 则a 2 2 ，所以a的取值范围为 2 2 ，1 . 答案答案 解析解析 条件探究1 将本例变为：若方程4xlogax在 0
12、，1 2 上有解，则实数a的 取值范围是_ 解析 若方程4xlogax在 0，1 2 上有解，则函数y4x和函数ylogax在 0，1 2 上有交点，由图象知 0a1， loga1 22， 解得0a 2 2 . 解析解析 0， 2 2 条件探究2 将本例变为：若不等式x2logax0对x 0，1 2 恒成立，则 实数a的取值范围是_ 解析 由x2logax0得x2logax，设f1(x)x2，f2(x)logax，要使x 0，1 2 时，不等式x21时，显然不成立； 解析解析 1 16，1 当0a1时，如图所示，要使x2logax在x 0，1 2 上恒成立，需f1 1 2 f2 1 2 ，所以
13、有 1 2 2log a1 2，解得 a 1 16，所以 1 16a1时，图象上升；0a1时，图象下降如举例说 明1. (2)对数函数在同一直角坐标系中的图象如图， 其中图象的相对位置与底数大小有关，图中 0cd1a1 和0a0且a1，b0且b1)，则函数f(x)ax与g(x) logbx的图象可能是( ) 解析 因为lg alg b0，所以lg (ab)0，所以ab1，即b 1 a ，故 g(x)logbxlog 1 axlogax，则f(x)与g(x)互为反函数，其图象关于直线y x对称，结合图象知，B正确 答案答案 解析解析 2设实数a，b是关于x的方程|lg x|c的两个不同实数根，且
14、ab10， 则abc的取值范围是_ 解析 由图象可知0a1b10，又|lg a|lg b|c，所以lg ac，lg bc，即lg alg b，lg alg b0，所以ab1，于是abcc，而0c1. 故abc的取值范围是(0,1) 解析解析 (0,1) 角度1 比较对数值的大小 1(2019 天津高考)已知alog52，blog0.50.2，c0.50.2，则a，b，c 的大小关系为( ) Aacb Babc Cbca Dcab 解析 因为ylog5x是增函数，所以alog52log0.50.51.因为y0.5x是减函数，所以 0.50.51c0.50.20.501，即0.5c1.所以ac0，
15、 log1 2x，xf(a)，则实数a的取值范 围是( ) A(1,0)(0,1) B(，1)(1，) C(1,0)(1，) D(，1)(0,1) 答案答案 解析 若a0，则log2alog1 2a，即2log2a0，所以a1. 若alog2(a)，即2log2(a)0， 所以0a1，所以1a0，2ax在区间0,1上是减函数ylogau应为 增函数，且u2ax在区间0,1上应恒大于零， a1， 2a0， 1alogab 借助ylogax的单调性求解，如果a的取值不确定，需 分a1与0ab 需先将b化为以a为底的对数式的形式，再借助ylogax 的单调性求解 3解与对数函数有关的函数性质问题的三
16、个关注点 (1)定义域，所有问题都必须在定义域内讨论如举例说明3. (2)底数与1的大小关系 (3)复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的 1(2019 遵义模拟)已知alog26，blog515，clog721，则a，b，c 的大小关系为( ) Aabc Bcba Ccab Dbca 解析 因为alog26log242，blog5151log53，clog7211 log73，又log37log351，所以 1 log37 1 log351，即log73log531，所以 cb2a. 答案答案 解析解析 2函数ylog2 32x1的定义域是( ) A1,2 B1,2) C. 1
17、2，1 D. 1 2，1 解析 要使函数解析式有意义，须有log 2 3 (2x1)0，所以02x 11，所以1 2x1，所以函数y log2 32x1的定义域是 1 2，1 . 答案答案 解析解析 3函数f(x)log2x log 2(2x)的最小值为_ 解析 f(x) 1 2 log2x 2log2(2x)log2x(log22log2x)log2x(log2x)2 log2x1 2 21 4，所以当log2x 1 2，即x 2 2 时，f(x)取得最小值1 4. 解析解析 1 4 3 课时作业课时作业 PART THREE 1(2019 沈阳模拟)设函数f(x) 4x1，x0， log2
18、x，x0， 则f 1 2 ( ) A1 B1 C1 2 D. 2 2 A组组 基础关基础关 解析 f 1 2 log21 21. 答案答案 解析解析 2(2019 全国卷)已知alog20.2，b20.2，c0.20.3，则( ) Aabc Bacb Ccab Dbca 解析 因为alog20.21,0c0.20.3ca.故选B. 答案答案 解析解析 3函数f(x)loga(xb)的大致图象如图，则函数g(x)axb的图象可 能是( ) 答案答案 解析 由图象可知0a1且0f(0)1， 即 0a1， 0logab1， 由得loga1logablogaa，0a1，由对数函数的单调性可知 ab1，
19、结合可得a，b满足的关系为0ab1log 1 4a，得 loga2 31， log1 4a1时，a2 3，此时a；当0a 2 3，则 2 3a1 4.因此 2 3a1时，ylogax在2,4上为增函数 由已知得loga4loga21，所以loga21，所以a2. 当0a1时，ylogax在2,4上为减函数 由已知得loga2loga41， 所以loga1 21，所以a 1 2. 综上可知，a的值为2或1 2. 2或1 2 解析解析 1设x，y，z为正数，且2x3y5z，则( ) A2x3y5z B5z2x3y C3y5z2x D3y2x5z B组组 能力关能力关 解析 2x3y5z，ln 2x
20、ln 3yln 5z，xln 2yln 3zln 5，x y ln 3 ln 2， 2x 3y 2ln 3 3ln 2 ln 32 ln 23 ln 9 ln 81，2x3y，同理可得2x5z.3y2x 5z.故选D. 答案答案 解析解析 2(2020 北京海淀模拟)如图，点A，B在函数y log2x2的图象上，点C在函数ylog2x的图象上，若 ABC为等边三角形，且直线BCy轴，设点A的坐标为 (m，n)，则m( ) A2 B3 C. 2 D. 3 解析 因为直线BCy轴，所以B，C的横坐标相同；又B在函数y log2x2的图象上，点C在函数ylog2x的图象上，所以|BC|2.即正三角形
21、 ABC的边长为2.由点A的坐标为(m，n)，得B(m3，n1)，所以 nlog2m2， n1log2m 32， 所以log2m21log2(m 3)2，所以m 3. 答案答案 解析解析 3(2019 湖北宜昌一中模拟)若函数f(x)log0.9(54xx2)在区间(a 1，a1)上单调递增，且blg 0.9，c20.9，则( ) Acba Bbca Cabc Dba0，得1x5，又函数t54xx2的对称轴方程 为x2，复合函数f(x)log0.9(54xx2)的单调递增区间为(2,5)，函数 f(x)log0.9(54xx2)在区间(a1，a1)上单调递增， a12， a15， 则 3a4，
22、而blg 0.90，1c20.92，所以bcb1，若logablogba 5 2 ，abba，则a_，b _. 解析 令logabt，ab1，0t1，由logablogba 5 2 得，t 1 t 5 2 ，解得t 1 2 或t2(舍去)，即logab 1 2 ，ba ，又abba，a a ( a)a，即a aaa 2，亦即 a a 2，解得a4，b2. 解析解析 4 2 6若函数f(x)loga(x2ax1)(a0且a1)没有最小值，则a的取值 范围是_ 解析 当0a1时，函数f(x)loga(x2ax1)(a0且a1)没有最小 值，当a1时，若函数f(x)loga(x2ax1)(a0且a1)没有最小值，则x2 ax10有解，所以a240，解得a2，综上可知，a的取值范围 是(0,1)2，) 解析解析 (0,1)2，) 本课结束本课结束
