1、金版教程金版教程20212021高考科学复习创新方案高考科学复习创新方案- -理数理数 （创新版）（创新版） 【精品课件精品课件】 第三章 三角函数、解三角形 第 5 讲 第 1 课时 两角和、差 及倍角公式 考纲解读 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式 2会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式 3会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，推导 出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系(重点) 4能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、 半角公式，但对这三组公式不要求记忆)(难点) 考向预测 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一
2、个必考内容，但 很少独立命题预测 2021 年高考仍是以两角和与差的公式为基础，结合 辅助角公式及三角函数的相关性质，如周期性、单调性、最值、对称性求 三角函数的值等题型既可能是客观题，也可能是解答题，难度属中档. 1 基础知识过关基础知识过关 PART ONE 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)C()：cos()01 . C()：cos()02 . (2)S()：sin()03 . S()：sin()04 . (3)T()：tan()05 _ ， 2k，kZ . T()：tan()06 _ ， 2k，kZ coscossinsin coscossinsin sincoscossin
3、 sincoscossin tantan 1tantan tantan 1tantan 2二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S2：sin201 . (2)C2：cos202 03 04 . (3)T2：tan205 _ 4k，且k 2，kZ . 2sincos cos2sin2 2cos21 12sin2 2tan 1tan2 3公式的常用变形 (1)tan tan01 (2)cos202 _，sin203 _. (3)1 sin2(sin cos)2，sin cos 2sin 4 . (4)asinbcos04 _，其中 cos a a2b2，sin b a2b2，tan b a(a0)
4、tan( )(1tantan) 1cos2 2 1cos2 2 a2b2sin() 1概念辨析 (1)公式 C( )，S( )，S2，C2中的角 ， 是任意的( ) (2)存在实数 ，使等式 sin()sinsin 成立( ) (3)在锐角ABC 中，sinAsinB 和 cosAcosB 大小关系不确定( ) (4)公式 tan() tantan 1tantan可以变形为 tantantan()(1 tantan)，且对任意角 ， 都成立( ) (5)对任意角 都有 1sin 3 sin 6cos 6 2.( ) 答案 (1) (2) (3) (4) (5) 答案答案 2小题热身 (1)若
5、cos4 5， 是第三象限的角，则 sin 4 ( ) A 2 10 B. 2 10 C7 2 10 D.7 2 10 解析 因为 cos4 5， 是第三象限的角， 所以 sin1cos23 5， 所以 sin 4 sincos 4cossin 4 3 5 2 2 4 5 2 2 7 2 10 . 解析解析 答案答案 (2)计算：cos()cossin()sin( ) Asin(2) Bsin Ccos(2) Dcos 解析 cos()cossin()sincos()cos. 解析解析 答案答案 (3)已知 cosx3 4，则 cos2x( ) A1 4 B.1 4 C1 8 D.1 8 解析
6、 cos2x2cos2x12 3 4 211 8. 解析解析 答案答案 (4)在平面直角坐标系 xOy 中， 角 与角 均以 Ox 为始边， 它们的终边 关于 y 轴对称若 tan3 5，则 tan()的值为( ) A0 B.30 34 C. 9 16 D.15 8 解析 由角与角的始边相同，终边关于y轴对称可知tantan. 又 tan3 5，所以 tan 3 5， 所以 tan() tantan 1tantan 3 5 3 5 13 5 3 5 15 8 ，故选 D. 解析解析 答案答案 2 经典题型冲关经典题型冲关 PART TWO 1(2019 山西大学附中模拟)已知 cos 2 2c
7、os()，则 tan 4 ( ) A4 B4 C1 3 D.1 3 题型题型 一一 两角和、差及倍角公式的直接应两角和、差及倍角公式的直接应用用 答案答案 解析 因为 cos 2 2cos()，所以sin2cos，所以 tan 2，所以 tan 4 1tan 1tan 1 3. 解析解析 2(2019 长沙模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，角 的顶点在原点，始 边与 x 轴的非负半轴重合，终边过点 1 2， 3 2 ，则 cos 2 3 _. 1 解析 由已知条件，得 cos1 2，sin 3 2 ，所以 cos2cos2sin2 1 2，sin22sincos 3 2 ， 所以 cos 2
8、 3 cos2cos 3sin2sin 3 1 2 1 2 3 2 3 2 1. 解析解析 3已知 2， ，sin 5 5 ，则 sin 5 6 2 的值为_ 34 3 10 解析 因为 2， ，sin 5 5 . 所以 cos1sin22 5 5 . 所以 sin22sincos4 5，cos2cos 2sin23 5， 所以 sin 5 6 2 sin5 6 cos2cos5 6 sin2 1 2 3 5 3 2 4 5 34 3 10 . 解析解析 应用三角公式化简求值的策略 (1)使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号 变化规律例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘
9、，符号反”如 举例说明 2. (2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综 合应用如举例说明 1,3. (3)使用公式求值，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用 1(2019 石家庄质检)若 sin()1 3，且 2，则 sin2 的值为 ( ) A4 2 9 B2 2 9 C.2 2 9 D.4 2 9 答案答案 解析 sin()1 3， sin 1 3，又 2， cos1sin22 2 3 ， sin22sincos21 3 2 2 3 4 2 9 . 解析解析 2(2019 武威模拟)已知角 在第二象限，若 sin3 5，则 tan2( ) A.2 3 B.24
10、7 C24 7 D3 4 答案答案 解析 因为 是第二象限角，且 sin3 5， 所以 cos1sin24 5. 所以 tan sin cos 3 4. 所以 tan2 2tan 1tan2 2 3 4 1 3 4 2 24 7 . 解析解析 3若 sin()1 2，sin() 1 3，则 tan tan等于( ) A5 B1 C6 D.1 6 解析 由题意可得 sincoscossin1 2， sincoscossin1 3，解得 sincos 5 12， cossin 1 12， tan tan5. 解析解析 答案答案 1计算sin133 cos197 cos47 cos73 的结果为(
11、) A.1 2 B. 3 3 C. 2 2 D. 3 2 答案答案 题型题型 二二 两角和、差及倍角公式的逆用和变形用两角和、差及倍角公式的逆用和变形用 解析 sin133 cos197 cos47 cos73 sin47 (cos17 )cos47 sin17 sin(47 17 )sin30 1 2. 解析解析 2(1tan18 )(1tan27 )的值是( ) A. 3 B1 2 C2 D2(tan18 tan27 ) 解析 (1tan18 )(1tan27 ) 1tan18 tan27 tan18 tan27 1tan45 (1tan18 tan27 )tan18 tan27 2. 解
12、析解析 答案答案 3已知 sincos 5 2 ，则 cos4_. 7 8 解析 由sincos 5 2 ，得sin2cos22sincos1sin25 4， 所以 sin21 4，从而 cos412sin 2212 1 4 27 8. 解析解析 1注意三角函数公式逆用和变形用的两个问题 (1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系 (2)注意特殊角的应用，当式子中出现 1 2 ，1， 3 2 ， 3等这些数值 时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式 2熟记三角函数公式的两类变式 (1)和差角公式变形 sinsincos()coscos， cossinsin()si
13、ncos， tan tantan( ) (1tantan)如举例说明 2. (2)倍角公式变形 降幂公式 cos21cos2 2 ，sin21cos2 2 ， 配方变形：1 sin sin 2 cos 2 2,1cos2cos2 2，1cos2sin 2 2. 1若 x0，sinx 3sin 2x 3 cosx 3cos 2x 3 ，则 x 的值是( ) A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 解析 由已知得，cosx 3cos 2x 3 sinx 3sin 2x 3 cosx0. x0， x 2. 解析解析 答案答案 2已知 ， 0， 2 ，且 sinsinsin，coscoscos，那 么
14、 ( ) A. 6 B 3 C. 3 D 3 答案答案 解析 由已知得 sinsinsin， coscoscos， 由22得 22(sinsincoscos)1， 所以 cos()1 2. 因为 ， 0， 2 ，所以 2， 2 ， 因为 0， 2 ，所以 sinsinsin0， 所以 ，所以 0， 2 ，所以 3. 解析解析 3已知 atanb(abtan)tan，且 6与 的终边相同，则 b a的值 为( ) A. 2 3 B. 3 3 C.2 2 3 D. 3 4 答案答案 解析 已知等式可化为 atanbatanbtantan， 即 b(1tantan)a(tantan)， b a ta
15、ntan 1tantantan()， 又 6与 的终边相同， 即 2k 6(kZ)， tan()tan 2k 6 tan 6 3 3 ， 即b a 3 3 ，故选 B. 解析解析 角度 1 角的变换 1(2019 南开区模拟)已知 0 2，cos 4 1 3，sin() 4 5. (1)求 sin2 的值； (2)求 cos 4 的值 题型题型 三三 两角和、差及倍角公式的灵活应用两角和、差及倍角公式的灵活应用 解 (1)sin2cos 22 2cos 2 4 17 9. (2)因为 0 2，所以 20，cos()0，所以 3是第一象限 角，所以 cos 3 1sin2 3 4 5，所以 si
16、n 12 sin 3 4 2 2 sin 3 2 2 cos 3 2 2 3 5 2 2 4 5 2 10 . 解析解析 2 10 2(2019 吉林第三次调研)若 sin 6 1 3，则 cos 2 6 2 _. 解析 因为 sin 6 sin 2 3 cos 3 1 3，所以 cos 2 6 2 1cos 3 2 11 3 2 2 3. 解析解析 2 3 3(2018 江苏高考)已知 ， 为锐角，tan4 3，cos() 5 5 . (1)求 cos2 的值； (2)求 tan()的值 解 (1)因为 tan4 3，tan sin cos，所以 sin 4 3cos. 因为 sin2cos
17、21，所以 cos2 9 25， 因此，cos22cos21 7 25. 解解 (2)因为 ， 为锐角，所以 (0，) 又因为 cos() 5 5 ， 所以 sin()1cos22 5 5 ， 因此 tan()2. 因为 tan4 3，所以 tan2 2tan 1tan2 24 7 ， 因此，tan()tan2() tan2tan 1tan2tan 2 11. 解解 思想方法思想方法 三角恒等变换中的拆角、凑角思想三角恒等变换中的拆角、凑角思想 典例 1 (2019 濮阳模拟)设0 90 ， 若sin(75 2)3 5， 则sin(15 )sin(75 )( ) A. 1 10 B. 2 20
18、 C 1 10 D 2 20 答案答案 解析 因为 0 90 ，所以 75 75 2255 ，又因为 sin(75 2)3 50，所以 180 75 2255 ，角 75 2 为第三象限角， 所 以 cos(75 2) 4 5 .所 以 sin(15 )sin(75 )sin(15 )cos(15 ) 1 2 sin(30 2) 1 2 sin(75 2)45 1 2 sin(75 2)cos45 cos(75 2)sin45 1 2 3 5 2 2 4 5 2 2 2 20 ，故选 B. 解析解析 典例 2 若 tan1 3，tan() 1 2，则 tan_. 解析解析 1 7 解析 因为
19、tan1 3，tan() 1 2，所以 tantan() tantan 1tantan 1 2 1 3 11 2 1 3 1 7. 方法指导 三角变换的关键是找到条件和结论中的角和式 子结构之间的联系变换中可以通过适当地拆角、凑角或对式 子整体变形达到目的 3 课时作业课时作业 PART THREE 1(2019 潍坊模拟)若 cos 2 3 3 ，则 cos2( ) A2 3 B1 3 C.1 3 D.2 3 A组组 基础关基础关 解析 因为 cos 2 sin 3 3 ，所以 sin 3 3 ，所以 cos2 12sin2121 3 1 3. 答案答案 解析解析 2(2020 武威摸底)已
20、知角 的终边经过点 P(1， 3)，则 sin2 的值 为( ) A. 3 2 B 3 2 C1 2 D 3 4 解析 因为角 的终边经过点 P(1， 3)，所以由任意角三角函数 的定义知，sin 3 2 ，cos1 2，所以 sin22sincos 3 2 . 答案答案 解析解析 3sin(65 x)cos(x20 )cos(65 x)cos(110 x)的值为( ) A. 2 B. 2 2 C.1 2 D. 3 2 解析 原式sin(65 x)cos(x20 )cos(65 x)cos90 (x20 ) sin(65 x)cos(x20 )cos(65 x)sin(x20 )sin(65
21、x)(x20 ) sin45 2 2 . 答案答案 解析解析 4(2019 全国卷)已知 0， 2 ，2sin2cos21，则 sin( ) A.1 5 B. 5 5 C. 3 3 D.2 5 5 解析 由 2sin2cos21，得 4sincos2cos2. 又 0， 2 ， tan1 2， sin 5 5 .故选 B. 答案答案 解析解析 5.sin7 cos15 sin8 cos7 sin15 sin8 的值为( ) A2 3 B2 3 C2 D.1 2 解 析 原 式 sin15 8 cos15 sin8 cos15 8 sin15 sin8 sin15 cos8 cos15 cos8
22、 2sin15 cos15 2cos215 sin30 1cos30 1 2 1 3 2 2 3. 答案答案 解析解析 6(2019 六安模拟)已知 sin2cos 10 2 ，则 tan2( ) A4 3 B.3 4 C3 4 D.3 4或 4 3 答案答案 解析 因为 sin2cos 10 2 ，所以(sin2cos)25 2，即 sin 2 4sincos4cos25 2.可得 sin24sincos4cos2 sin2cos2 5 2，所以 tan24tan4 tan21 5 2，解得 tan 3 或 tan1 3.当 tan3 时，tan2 2tan 1tan2 23 132 3 4
23、.当 tan 1 3 时，tan2 2tan 1tan2 21 3 1 1 3 2 3 4. 解析解析 7已知 cos x 6 1 3，则 cosxcos x 3 ( ) A. 3 2 B. 3 C.1 2 D. 3 3 答案答案 解析 cosxcos x 3 cos x 6 6 cos x 6 6 2cos x 6 cos 6 3 3 ，故选 D. 解析解析 8(2019 河南六市联考)已知 tan x 4 2，x 是第三象限角，则 cosx _. 3 10 10 解析 因为 tan x 4 2，所以 tanx1 1tanx2，解得 tanx 1 3，即 sinx 1 3 cosx，又 si
24、n2xcos2x1，所以 cos2x 9 10，又 x 是第三象限角，所以 cosx 3 10 10 . 解析解析 9化简： 2tan45 1tan245 sincos cos2sin2_. 1 2 解 析 原 式 tan(90 2) 1 2sin2 cos2 sin90 2 cos90 2 1 2sin2 cos2 cos2 sin2 1 2sin2 cos2 1 2. 解析解析 10定义运算 d b c a adbc.若 cos1 7， cos sin cos sin )3 3 14 ，0 2， 则 _. 3 解析 依题意有 sincoscossinsin()3 3 14 .又 0 2，
25、0 2，故 cos() 1sin213 14，而 cos 1 7， sin4 3 7 ，于是 sinsin()sincos()cossin( )4 3 7 13 14 1 7 3 3 14 3 2 ， 故 3. 解析解析 1(2019 辽宁五校协作体模拟)若 sin 3 1 3，则 cos 32 ( ) A.7 9 B.2 3 C2 3 D7 9 B组组 能力关能力关 答案答案 解析 sin 3 1 3， cos 6 1 3， cos 32 cos 2 6 2cos 2 6 1 7 9. 解析解析 2(2019 银川一中模拟)在数学解题中，常会碰到形如“ xy 1xy”的结 构， 这时可类比正
26、切的和角公式 如： 设a， b是非零实数， 且满足 asin 5bcos 5 acos 5bsin 5 tan8 15，则 b a( ) A4 B. 15 C2 D. 3 答案答案 解析 tan8 15 tan 5 b a 1b atan 5 tan 5 ，且 tan b a， 5k 8 15， k 3，kZ， tantan k 3 3. b a 3. 解析解析 3 已知 为第二象限角， 且 tantan 122tantan 122， 则 sin 5 6 等于( ) A 10 10 B. 10 10 C3 10 10 D.3 10 10 答案答案 解析 tantan 122tantan 122
27、 tantan 12 1tantan 12 2tan 12 2， 是第二象限角， sin 12 2 5 5 ，cos 12 5 5 ，则 sin 5 6 sin 6 sin 12 4 cos 12 sin 4 sin 12 cos 4 3 10 10 . 解析解析 4(2018 浙江高考)已知角 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负 半轴重合，它的终边过点 P 3 5， 4 5 . (1)求 sin()的值； (2)若角 满足 sin() 5 13，求 cos 的值 解 (1)由角 的终边过点 P 3 5， 4 5 ，得 sin4 5，所以 sin()sin 4 5. (2)由角 的终
28、边过点 P 3 5， 4 5 ，得 cos3 5， 由 sin() 5 13得 cos() 12 13. 由 () 得 coscos()cossin()sin， 所以 cos56 65或 cos 16 65. 解解 5已知 cos 6 cos 3 1 4， 3， 2 . (1)求 sin2 的值； (2)求 tan 1 tan的值 解 (1)cos 6 cos 3 cos 6 sin 6 1 2sin 2 3 1 4， 即 sin 2 3 1 2. 3， 2 ， 2 3 ，4 3 ， cos 2 3 3 2 ， sin2sin 2 3 3 sin 2 3 cos 3cos 2 3 sin 3 1 2 1 2 3 2 3 2 1 2. 解解 (2) 3， 2 ， 2 2 3 ， ， 又由(1)知 sin21 2， cos2 3 2 . tan 1 tan sin cos cos sin sin 2cos2 sincos 2cos2 sin2 2 3 2 1 2 2 3. 解解 本课结束本课结束
