1、金版教程金版教程20212021高考科学复习创新方案高考科学复习创新方案- -理数理数 （创新版）（创新版） 【精品课件精品课件】 第第5 5讲讲 数学归纳法数学归纳法 第十一章 算法、复数与推理 证明 考纲解读 1.了解数学归纳法的原理， 能用数学归纳法证明一 些简单的命题(重点) 2数学归纳法的主要作用是证明与自然数有关的不等式及数 列问题(难点) 考向预测 从近三年高考情况来看，对本讲并没有直接涉及， 当遇到与正整数 n 有关的不等式的证明， 且其他方法不易证时， 可以考虑用数学归纳法进行证明求解. 1 基础知识过关基础知识过关 PART ONE 数学归纳法的定义 一般地，证明一个与正整
2、数 n 有关的命题，可按下列步骤进行： 1(归纳奠基)证明当 n 取第一个值 n0(n0N*)时命题成立； 2 (归纳递推)假设 nk(kn0， kN*)时命题成立， 证明当 n01 _时命题也成立 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n0开始的所有正整数 n 都成立，上述证明方法叫做数学归纳法 k1 答案答案 1概念辨析 (1)用数学归纳法证明问题时， 第一步是验证当 n1 时结论成立 ( ) (2)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由 nk 到 nk1 时，项数都增加了一项( ) (3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用( ) 答案 (1) (2) (3) 2小题热身 (
3、1)下列结论能用数学归纳法证明的是( ) Axsinx，x(0，) Bexx1(xR) C11 2 1 22 1 2n 12 1 2 n1(nN*) Dsin()sincoscossin(，R) 解析 数学归纳法是用来证明与自然数有关的命题的一种方法，由此 可知 C 符合题意 答案答案 解析解析 (2)(2019 德州模拟)用数学归纳法证明“12222n 22n3 1”，在验证 n1 时，左边计算所得的式子为( ) A1 B.12 C1222 D.122223 解析 n1 时，左边计算所得的式子为 122223. 答案答案 解析解析 (3)用数学归纳法证明“当 n 为正奇数时，xnyn能被 x
4、y 整除”，当 第二步假设 n2k1(kN*)命题为真时，进而需证 n_时，命题 亦真 解析 由于步长为 2，所以 2k1 后一个奇数应为 2k1. 2k1 解析解析 2 经典题型冲关经典题型冲关 PART TWO (2019 杭州模拟)已知函数 f(n)135(1)n (2n1)(n N*) (1)求 f(n1)f(n)； (2)用数学归纳法证明：f(n)(1)n n. 题型题型 一一 用数学归纳法证明恒等式用数学归纳法证明恒等式 解 (1)f(n)135(1)n (2n1)(nN*) f(n1)f(n)(1)n 1(2n1) (2)证明：n1 时，f(1)1 成立 假设 nk(kN*)时成
5、立，即 f(k)(1)k k. 则 nk1 时，f(k1)f(k)(1)k 1(2k1) (1)k k(1)k 1(2k1)(1)k1(2k1k)(1)k1(k1) nk1 时也成立 综上可得，对于任意 nN*，f(n)(1)n n. 解解 应用数学归纳法证明等式的思路和注意点 (1)思路：用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式 两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值 n0是多少 (2)注意点：由 nk 时等式成立，推出 nk1 时等式成立，一要 找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设， 进行合理变形，正确写出证明过程 提醒：归纳假设就是证明 nk1 时命
6、题成立的条件，必须用上， 否则就不是数学归纳法. 求证：(n1)(n2) (nn)2n 1 3 5 (2n1)(nN*) 证明 (1)当 n1 时，等式左边2，右边2，故等式成立； (2)假设当 nk(kN*)时等式成立， 即(k1)(k2) (kk)2k 1 3 5 (2k1)， 那么当 nk1 时， 左边(k11)(k12) (k1k1) (k2)(k3) (kk)(2k1)(2k2) 2k 1 3 5 (2k1)(2k1) 2 2k 1 1 3 5 (2k1)(2k1) 这就是说当 nk1 时等式也成立， 故由(1)(2)可知，对所有 nN*等式成立 证明证明 用数学归纳法证明：对一切大
7、于 1 的自然数，不等式 11 3 11 5 1 1 2n1 2n1 2 均成立 题型题型 二二 用数学归纳法证明不等式用数学归纳法证明不等式 证明 当 n2 时，左边11 3 4 3，右边 5 2 . 左边右边，不等式成立 假设当 nk(k2，且 kN*)时不等式成立 即 11 3 11 5 1 1 2k1 2k1 2 . 证明证明 则 当n k 1时 ， 11 3 11 5 1 1 2k1 1 1 2k11 2k1 2 2k2 2k1 2k2 2 2k1 4k28k4 2 2k1 4k28k3 2 2k1 2k3 2k1 2 2k1 2k11 2 . 当 nk1 时，不等式也成立 由知对于
8、一切大于 1 的自然数 n，不等式成立 证明证明 应用数学归纳法证明不等式应注意的问题 (1)适用范围：当遇到与正整数 n 有关的不等式证明时，应用其他 办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法 (2)关键：用数学归纳法证明不等式的关键是由 nk 成立，推证 n k1 时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、 求差(求商)比较法、放缩法等证明. 用数学归纳法证明 1 n1 1 n2 1 3n 5 6(nN *) 证明 当 n1 时，左边1 2 1 3 5 6， 所以当 n1 时，命题成立； 假设当 nk(kN*)时，命题成立， 则有 1 k1 1 k2 1 3k 5 6， 当 nk1
9、 时，左边 1 k2 1 k3 1 3k3 证明证明 1 k1 1 k2 1 k3 1 3k 1 3k1 1 3k2 1 3k3 1 k1 5 6 1 3k33 1 k1 5 6， 所以当 nk1 时，命题也成立 综合可知原命题成立 证明证明 如图，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，Pn(xn， yn)(0y1y20，所以 a12， 同理可得 a26，a312. 解解 (2)依题意，得 xna n1an 2 ，yn 3 anan1 2 ， 由此及 y2 n3xn得 3 anan1 2 23 2(an1an)， 即(anan1)22(an1an) 由(1)可猜想：ann(n1)(nN*)
10、下面用数学归纳法予以证明： 当 n1 时，命题显然成立； 假设当 nk 时命题成立，即有 ank(k1)， 则当 nk1 时， 由归纳假设及(ak1ak)22(akak1)得 解解 ak1k(k1)22k(k1)ak1， 即 a2 k12(k 2k1)a k1k(k1) (k1)(k2)0，解得 ak1(k 1)(k2)或 ak1k(k1)0，f(x) ax ax，令 a11，an 1f(an)，nN*. (1)写出 a2，a3，a4的值，并猜想数列an的通项公式； (2)用数学归纳法证明你的结论 假设 nk 时猜想正确，即 ak a k1a， 则 ak1f(ak) a ak aak a a
11、k1a a a k1a a k1a1 a k11a. 这说明，nk1 时猜想正确 由知，对于任何 nN*，都有 an a n1a. 解解 3 课时作业课时作业 PART THREE 1 设 f(x)是定义在正整数集上的函数， 且 f(x)满足当 f(k)k1 成立时， 总能推出 f(k1)k2 成立，那么下列命题总成立的是( ) A若 f(1)2 成立，则 f(10)11 成立 B若 f(3)4 成立，则当 k1 时，均有 f(k)k1 成立 C若 f(2)3 成立，则 f(1)2 成立 D若 f(4)5 成立，则当 k4 时，均有 f(k)k1 成立 A组组 基础关基础关 答案答案 解析 当
12、 f(k)k1 成立时，总能推出 f(k1)k2 成立，说明如果 当 kn 时，f(n)n1 成立，那么当 kn1 时，f(n1)n2 也成立， 所以如果当 k4 时，f(4)5 成立，那么当 k4 时，f(k)k1 也成立 解析解析 2对于不等式 n2nn1(nN*)，某同学用数学归纳法证明的过程 如下： (1)当 n1 时， 12111，不等式成立 (2)假设当 nk(kN*)时，不等式成立，即 k2kk1，则当 nk1 时， k12k1 k23k2 k23k2k2 k22(k 1)1. 所以当 nk1 时，不等式成立 则上述证法( ) A过程全部正确 Bn1 验证得不正确 C归纳假设不正
13、确 D从 nk 到 nk1 的推理不正确 答案答案 解析 从 nk 到 nk1 的推理不正确应该是：假设当 nk 时，不 等式成立，即 k2kk1，得 k2k(k1)2成立得(k1)2(k1)k2 3k2(k1)22k2k24k41x4x6，猜想：数列x2n是递减数列 下面用数学归纳法证明 x2nx2n2. 当 n1 时，已证命题成立 假设当 nk(kN*，k1)时命题成立， 即 x2kx2k2，易知 xk0，那么 解解 2 已知函数 f(x) 1 1x， xn 1f(xn)， 且 x11 2， nN *.猜想数列x 2n 的单调性，并证明你的结论 x2k2x2k4 1 1x2k1 1 1x2k3 x2k3x2k1 1x2k11x2k3 1 1x2k2 1 1x2k 1x2k11x2k3 x2kx2k2 1x2k1x2k11x2k21x2k30， 即 x2(k1)x2(k1)2. 所以当 nk1 时命题也成立 结合知，命题 x2nx2n2对于任何 nN*成立 故数列x2n是递减数列 解解 本课结束本课结束
