1、金版教程金版教程20212021高考科学复习创新方案高考科学复习创新方案- -理数理数 （创新版）（创新版） 【精品课件精品课件】 第第9 9讲讲 离散型随机变量的均值、离散型随机变量的均值、 方差和正态分布方差和正态分布 第十章 计数原理、概率、 随机变量及其分布 考纲解读 1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、 方差的 概念，并能根据分布列正确求出期望与方差，并能解决一些实际 问题(重点、难点) 2 借助直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义， 掌 握正态曲线的相关性质，并能进行正确求解 考向预测 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的热点题 型预计 2021 年将会考查：与分布
2、列相结合求期望与方差，通 过设置密切贴近现实生活的情景，考查概率思想的应用意识和创 新意识；正态分布的考查，尤其是正态总体在某一区间内的概 率题型为解答题中的一问，试题难度不会太大，属中档题型. 1 基础知识过关基础知识过关 PART ONE 1.离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量 X 的分布列为 X x1 x2 xi xn P p1 p2 pi pn (1)均值：称 E(X)01 _为随机变 量 X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的02 _ (2)D(X) i1 n (xiE(X)2pi为随机变量 X 的方差，它刻画了随机变 量 X 与其均值 E(X)的03 _，其算
3、术平方根 DX为随机变 量 X 的标准差 x1p1x2p2xipixnpn 平均水平 平均偏离程度 2均值与方差的性质 (1)E(aXb)01 _； (2)D(aXb)02 _(a，b 为常数) 3两点分布与二项分布的均值、方差 X X 服从两点分布 XB(n，p) E(X) 01 _ 02 _ D(X) 03 _ 04 _ aE(X)b a2D(X) p np p(1p) np(1p) 4正态曲线 (1)正态曲线的定义 函数， (x) 1 2e x2 22 ， x(， )， 其中实数和(0) 为参数，称 ，(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线( 是正 态分布的期望， 是正态分布的标准
4、差) (2)正态曲线的特点 曲线位于 x 轴上方，与 x 轴不相交； 曲线是单峰的，关于直线01 _对称； x 曲线在02 _处达到峰值 1 2； 曲线与 x 轴之间的面积为 1； 当 一定时，曲线的位置由 确定，曲线随着 的变化而沿 x 轴平移； 当 一定时， 曲线的形状由 确定，03 _， 曲线越“高瘦”， 表示总体的分布越集中；04 _，曲线越“矮胖”，表示总体的分 布越分散 x 越大 越小 5.正态分布 (1)正态分布的定义及表示 如果对于任何实数 a，b(ab)，随机变量 X 满足 P(aXb) a b ， (x)dx(即 xa，xb，正态曲线及 x 轴围成的曲边梯形的面积)，则称
5、随机变量 X 服从正态分布，记作 XN(，2) (2)正态分布的三个常用数据 P(X)01 _； P(2X2)02 _； P(3X3)03 _. 0.6826 0.9544 0.9974 答案答案 1概念辨析 (1)随机变量不可以是负数，随机变量所对应的概率可以是负数，随机 变量的均值不可以是负数( ) (2)正态分布中的参数 和 完全确定了正态分布，参数 是正态分布 的期望， 是正态分布的标准差( ) (3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程 度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小. ( ) (4)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作 用
6、结果之和，它就服从或近似服从正态分布( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2小题热身 (1)已知随机变量 X 的分布列如下， X 2 0 2 P 1 3 1 3 1 3 则 E(X)与 D(X)的值分别为( ) A0,2 B.0，8 3 C2,0 D. 8 3，0 解析 E(X)(2)1 30 1 32 1 30，D(X)(20) 21 3(0 0)21 3(20) 21 3 8 3. 答案答案 解析解析 (2)设 B(n，p)，若 E()15，D()11.25，则 n( ) A45 B.50 C55 D.60 解析 由 Enp15， Dnp1p11.25， 解得 p0.25， n60
7、. 答案答案 解析解析 (3)(2019 凉山州模拟)已知随机变量 ，且 N(，2)，若 P(3 1)P(35)，则 ( ) A4 B.2 C1 D.0 解析 依题意，P(31)P(35)， 又区间(3，1)和(3,5)关于 x1 对称， 结合正态分布的知识，关于 x 对称的区域所对应的概率相等，所以 1. 答案答案 解析解析 (4)已知X的分布列为 ， 且 YaX3， E(Y)7 3，则 a 为( ) A1 B.2 C3 D.4 答案答案 解析 先求出 E(X)(1)1 20 1 31 1 6 1 3.再由 YaX3，得 E(Y)aE(X)3. 7 3a 1 3 3.解得 a2. 解析解析
8、2 经典题型冲关经典题型冲关 PART TWO 角度 1 离散型随机变量均值与方差的计算 问题 1不透明袋子中装有大小、材质完全相同的 2 个红球和 5 个黑球，现 从中逐个不放回地摸出小球，直到取出所有红球为止，则摸取次数 X 的数 学期望是( ) A.18 5 B.9 2 C.36 7 D.16 3 答案答案 题型 一 离散型随机变量的均值、方差 解析 当 xk 时，第 k 次取出的必然是红球，而前 k1 次中，有且只 有 1 次取出的是红球，其余次数取出的皆为黑球，故 P(Xk)C 1 k1 C2 7 k1 21 ， 于是得到 X 的分布列如下 X 2 3 4 5 6 7 P 1 21
9、2 21 1 7 4 21 5 21 2 7 故 E(X)2 1 213 2 214 1 75 4 216 5 217 2 7 16 3 . 解析解析 2(2019 济南模拟)已知离散型随机变量 X 的分布列如表所示，若 E(X) 0，D(X)1，则 P(X1)_. X 1 0 1 2 P a b c 1 12 2 3 解析 E(X)0，D(X)1， abc 1 121， 1a0b1c2 1 120， 12a02b12c22 1 121， 又 a，b，c0,1，a 5 12，b 1 4，c 1 4，P(X7.879， 所以有 99.5%的把握认为用户是否活跃与所在城市有关 解解 (2)由统计数
10、据可知，城市 M 中活跃用户占3 5，城市 N 中活跃用户占 4 5. 设从城市 M 中任选的 2 名用户中活跃用户数为 X，则 XB 2，3 5 . 设从城市 N 中任选的 1 名用户中活跃用户数为 Y， 则 Y 服从两点分布，其中 P(Y1)4 5. 由题意可得， 的所有可能的取值为 0,1,2,3. P(0)P(X0) P(Y0)C0 2 2 5 2 1 5 4 125； 解解 P(1)P(X0) P(Y1)P(X1) P(Y0)C 0 2 2 5 2 4 5C 1 2 3 5 2 5 1 5 28 125； P(2)P(X1) P(Y1)P(X2) P(Y0)C 1 2 2 5 3 5
11、 4 5C 2 2 3 5 2 1 5 57 125； P(3)P(X2) P(Y1)C2 2 3 5 2 4 5 36 125. 解解 所以 的分布列为 0 1 2 3 P 4 125 28 125 57 125 36 125 E()0 4 1251 28 1252 57 1253 36 1252. 解解 (3)由已知条件得 x 1234 4 2.5. 又 y 12.3， 代入y 4xa ，得 12.342.5a ，解得a 2.3，所以y 4x2.3. 将 x5 代入上式，得y 452.322.3(百万小时)， 所以 2020 年第一季度该读书 App 用户使用时长约为 22.3 百万小时
12、解解 角度 3 超几何分布的均值、方差问题 5(2019 青岛二中模拟)随着经济的发展和个人收入的提高，自 2018 年 10 月 1 日起，个人所得税起征点和税率依法进行调整其中， 纳税人的工资、薪金所得，先行以每月收入额减除费用五千元以及专 项扣除和依法确定的其他扣除后的余额为应纳税所得额，依照个人所 得税税率表，调整前后的计算方法如下表： 个人所得税税率表(调整前) 免征额 3500 元 级数 全月应纳税所得额 税率(%) 1 不超过 1500 元的部分 3 2 超过 1500 元至 4500 元的部分 10 3 超过 4500 元至 9000 元的部分 20 个人所得税税率表(调整后)
13、 免征额 5000 元 级数 全月应纳税所得额 税率(%) 1 不超过 3000 元的部分 3 2 超过 3000 元至 12000 元的部分 10 3 超过 12000 元至 25000 元的部分 20 (1)假如小李某月的工资、薪金等所得税前收入为 7500 元(无专项 扣除和依法确定的其他扣除)，请你帮小李算一下调整后小李的实际收 入比调整前增加了多少？ (2)某税务部门在小李所在公司利用分层抽样方法抽取某月 100 个 不同级别员工的税前收入，并制成下面的频数分布表： 收入/元 3000， 5000) 5000， 7000) 7000， 9000) 9000， 11000) 11000
14、， 13000) 13000， 15000 人数 30 40 10 8 7 5 先从收入在3000,5000)及5000,7000)的员工中按分层抽样抽取 7 人， 再 从中选 4 人作为新纳税法知识宣讲员用 a 表示抽到作为宣讲员的收入在 3000,5000)元的人数，b 表示抽到作为宣讲员的收入在5000,7000)元的人 数设随机变量 Z|ab|，求 Z 的分布列、数学期望及方差 解 (1)由于小李的工资、薪金等所得税前收入为 7500 元，按调整前起 征点应纳个税为 15003%250010%295(元) 按调整后起征点应纳个税为 25003%75(元) 比较两个纳税方案可知，按调整后
15、起征点应纳个税比调整前少交 220 元 所以调整后小李的实际收入比调整前增加了 220 元 解解 (2)由频数分布表可知从收入在3000,5000)及5000,7000)的员工中抽 取 7 个，其中收入在3000,5000)内的有 3 人，收入在5000,7000)内的有 4 人，再从这 7 人中选 4 人，所以 Z 的所有可能的取值为 0,2,4. P(Z0)P(a2，b2)C 2 3C 2 4 C4 7 18 35， P(Z2)P(a1，b3)P(a3，b1) C 1 3C 3 4C 3 3C 1 4 C4 7 16 35， P(Z4)P(a0，b4)C 0 3C 4 4 C4 7 1 3
16、5. 解解 所以 Z 的分布列如下， Z 0 2 4 P 18 35 16 35 1 35 数学期望 E(Z)018 352 16 354 1 35 36 35. 方差 D(Z)18 35 036 35 216 35 236 35 2 1 35 436 35 21504 1225. 解解 (1)求离散型随机变量 X 的均值与方差的步骤 理解 X 的意义，写出 X 的全部可能取值 求 X 取每个值的概率 写出 X 的分布列 由均值的定义求 E(X) 由方差的定义求 D(X) (2)注意性质的应用：若随机变量 X 的均值为 E(X)，则对应随机变 量 aXb 的均值是 aE(X)b，方差为 a2D
17、(X) (3)如果 B(n，p)，则用公式 E()np，D()np(1p)求解，可大大 减少计算量见举例说明 3. 1(2020 南充市高三摸底)设离散型随机变量 X 可能的取值为 1,2,3,4， P(Xk)akb，又 X 的数学期望为 E(X)3，则 ab( ) A. 1 10 B.0 C 1 10 D.1 5 解析 设离散型随机变量 可能取的值为 1,2,3,4.P(k)akb(k 1,2,3,4)，(ab)(2ab)(3ab)(4ab)1，即 10a4b1，又 的数学期望 E()3，则(ab)2(2ab)3(3ab)4(4ab)3，即 30a 10b3，a 1 10，b0，ab 1 1
18、0. 答案答案 解析解析 2(2019 沈阳模拟)随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手 机软件层出不穷为调查某款订餐软件上商家的服务情况，统计了 10 次订餐“送达时间”(单位：分)，得到茎叶图如下： (1)请计算“送达时间”的平均数与方差； (2)根据茎叶图填写下表： 送达时间 35 分钟以内(包括 35 分钟) 超过 35 分钟 频数 A B 频率 C D (3)在(2)的情况下， 以频率代替概率 现有 3 个客户用此软件订餐， 求出在 35 分钟以内(包括 35 分钟)收到餐品的人数 X 的分布列， 并求出 数学期望 解 (1)“ 送达时间”的平均数为 282932343435363
19、84143 10 35(分)， 方差为 1 10(2835) 2(2935)2(3235)2(3435)2(3435)2 (3535)2(3635)2(3835)2(4135)2(4335)220.6. (2)A6，B4，C0.6，D0.4. (3)由题意知， 在 35 分钟以内(包括 35 分钟)收到餐品的人数 X 的所有可 能的取值为 0,1,2,3. P(X0)C0 30.6 00.430.064； P(X1)C1 30.60.4 20.288； 解解 P(X2)C2 30.6 20.40.432； P(X3)C3 30.6 30.400.216. 所以 X 的分布列如下， X 0 1
20、2 3 P 0.064 0.288 0.432 0.216 所以 E(X)00.06410.28820.43230.2161.8(或 X 服从 二项分布 B(3,0.6)，E(X)30.61.8) 解解 3(2019 漳州二模)某市电视台举办纪念红军长征胜利知识回答活 动，宣传长征精神，首先在甲、乙、丙、丁四个不同的公园进行支持 签名活动 公园 甲 乙 丙 丁 获得签名人数 45 60 30 15 然后在各公园签名的人中按分层抽样的方式抽取10名幸运之星回 答问题， 从 10 个关于长征的问题中随机抽取 4 个问题让幸运之星回答， 全部答对的幸运之星获得一份纪念品 (1)求此活动中各公园幸运之
21、星的人数； (2)若乙公园中每位幸运之星对每个问题答对的概率均为 2 2 ，求乙 公园中恰好 2 位幸运之星获得纪念品的概率； (3)若幸运之星小李对其中 8 个问题能答对，而另外 2 个问题答不 对，记小李答对的问题数为 X，求 X 的分布列、期望及方差 解 (1)甲、 乙、 丙、 丁四个公园幸运之星的人数分别为 45 150103， 60 150 104， 30 150102， 15 150101. (2)根据题意，乙公园中每位幸运之星获得纪念品的概率为 C4 4 2 2 41 4， 所以乙公园中恰好 2 位幸运之星获得纪念品的概率为 C2 4 1 4 2 3 4 2 27 128. (3
22、)由题意， 知 X 的所有可能取值 2,3,4， 服从超几何分布， P(X2)C 2 8C 2 2 C4 10 2 15， 解解 P(X3)C 3 8C 1 2 C4 10 8 15，P(X4) C4 8C 0 2 C4 10 1 3. 所以 X 的分布列为 X 2 3 4 P 2 15 8 15 1 3 期望 E(X)2 2 153 8 154 1 3 16 5 ， 方差 D(X) 2 15 216 5 2 8 15 316 5 21 3 416 5 232 75. 解解 题型题型 二二 均值与方差在决策中的应用均值与方差在决策中的应用 (2019 南昌模拟)市面上有某品牌 A 型和 B 型
23、两种节能灯，假定 A 型节能灯使用寿命都超过 5000 小时 经销商对 B 型节能灯使用寿命进 行了调查统计，得到如下频率分布直方图， 某商家因原店面需重新装修，需租赁一家新店面进行周转，合约 期一年新店面需安装该品牌节能灯 5 只(同种型号)即可正常营业经 了解，A 型 20 瓦和 B 型 55 瓦的两种节能灯照明效果相当，都适合安 装已知 A 型和 B 型节能灯每只的价格分别为 120 元、25 元，当地商 业电价为 0.75 元/千瓦时 假定该店面正常营业一年的照明时间为 3600 小时，若正常营业期间灯坏了立即购买同型灯更换(用频率估计概率) (1)若该商家新店面全部安装了 B 型节能
24、灯，求一年内恰好更换了 2 只灯的概率； (2)若只考虑灯的成本和消耗电费，你认为该商家应选择哪种型号 的节能灯，请说明理由 解 (1)由频率分布直方图可知，B 型节能灯使用寿命超过 3600 小时的 频率为 0.0010(38003600)0.2.用频率估计概率，得 B 型节能灯使用寿 命超过 3600 小时的概率为1 5. 所以一年内一只 B 型节能灯在使用期间需要更换的概率为4 5. 所以一年内 5 只节能灯恰好更换了 2 只的概率为 C2 5 4 5 2 1 5 3 32 625. 解解 (2)该商家应选择 A 型节能灯理由如下： 一共需要安装 5 只同种节能灯 若选择 A 型节能灯，
25、一年共需花费 512036005200.7510 3 870(元) 若选择 B 型节能灯，由于 B 型节能灯一年内需更换的只数服从二项分 布 B 5，4 5 ，所以一年需更换灯的只数的数学期望为 54 54(只) 所以一年共需花费(54)2536005550.7510 3967.5(元) 因为 967.3870，所以该商家应选择 A 型节能灯 解解 解离散型随机变量的期望和方差应用问题的方法 (1)求离散型随机变量的期望与方差关键是确定随机变量的所有可 能值，写出随机变量的分布列，正确运用期望、方差公式进行计算 (2)要注意观察随机变量的概率分布特征，若属于二项分布，可用 二项分布的期望与方差
26、公式计算，则更为简单 (3)在实际问题中，若两个随机变量 1，2，有 E(1)E(2)或 E(1) 与 E(2)较为接近时，就需要用 D(1)与 D(2)来比较两个随机变量的稳 定程度即一般地将期望最大(或最小)的方案作为最优方案，若各方案 的期望相同，则选择方差最小(或最大)的方案作为最优方案. (2019 湖北四地七校联考)有甲、乙两家公司都需要招聘求职者， 这两家公司的聘用信息如下： 甲公司 乙公司 职位 A B C D 职位 A B C D 月薪/元 6000 7000 8000 9000 月薪/元 5000 7000 9000 11000 获得相应 职位概率 0.4 0.3 0.2
27、0.1 获得相应 职位概率 0.4 0.3 0.2 0.1 (1)根据以上信息，如果你是该求职者，你会选择哪一家公司？说 明理由； (2)某课外实习作业小组调查了 1000 名职场人士， 就选择这两家公 司的意愿做了统计，得到以下数据分布： 选择意愿 人员结构 40 岁以上(含 40 岁)男性 40 岁以上(含 40 岁)女性 40 岁以 下男性 40 岁以 下女性 选择甲公司 110 120 140 80 选择乙公司 150 90 200 110 若分析选择意愿与年龄这两个分类变量，计算得到的 K2的观测值 为 k15.5513， 则得出“选择意愿与年龄有关系”的结论犯错误的概率 的上限是多
28、少？并用统计学知识分析，选择意愿与年龄变量和性别变 量哪一个关联性更大？ 附：K2 nadbc2 abcdacbd，nabcd. P(K2k0) 0.050 0.025 0.010 0.005 k0 3.841 5.024 6.635 7.879 解 (1)设甲公司与乙公司的月薪分别为随机变量 X，Y， 则 E(X)60000.470000.380000.290000.17000， E(Y)50000.470000.390000.2110000.17000， D(X)(60007000)20.4(70007000)20.3(80007000)20.2 (90007000)20.110002，
29、D(Y)(50007000)20.4(70007000)20.3(90007000)20.2 (110007000)20.120002， 则 E(X)E(Y)，D(X)D(Y)， 我希望不同职位的月薪差距小一些，故选择甲公司； 或我希望不同职位的月薪差距大一些，故选择乙公司 解解 (2)因为 k15.55135.024，根据表中对应值， 得出“选择意愿与年龄有关系”的结论犯错误的概率的上限是 0.025， 由数据分布可得选择意愿与性别两个分类变量的 22 列联表如下： 选择甲公司 选择乙公司 总计 男 250 350 600 女 200 200 400 总计 450 550 1000 解解 计
30、算 K21000250200350200 2 600400450550 2000 297 6.734， 且 K26.7346.635， 对照临界值表得出结论“选择意愿与性别有关”的犯错误的概率上限 为 0.01， 由 0.010.025，所以与年龄相比，选择意愿与性别关联性更大 解解 题型 三 正态分布的应用 1设 XN(1,1)，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形 ABCD 中随机投掷 10000 个点， 则落入阴影部分的点的个数的估计值是 ( ) (注： 若 XN(， 2)， 则 P(X)68.26%， P(2X 2)95.44%) A7539 B.6038 C7028 D.6587
31、 解析 XN(1,1)，1，1，2， P(X)68.26%，则 P(0X2)68.26%， 则 P(1X2)34.13%， 阴影部分的面积为 0.6587， 点落入题图中阴影部分的概率 P0.6587 1 0.6587. 正方形 ABCD 中随机投掷 10000 个点，则落入阴影部分的点的个数 的估计值是 6587.故选 D. 答案答案 解析解析 条件探究 若将本例中“正方形”改为“矩形”，“XN(1,1)”变为 “XN(1,1)，阴影部分如图所示”，则落入阴影部分的点的个数的估 计值是_ 9547 解析 对于正态分布 N(1,1)，可知 1，1，正态曲线关于直 线 x1 对称，故 P(0X1
32、)1 2P(3X1)P(2X0) 1 2P( 2X2)P(X)1 2(0.95440.6826)0.1359， 所以点落入题图中阴影部分的概率 P130.1359 13 0.9547， 投入 10000 个点，落入阴影部分的个数约为 100000.95479547. 解析解析 2(2019 蚌埠三模)我市高三年级第二次质量检测的数学成绩 X 近似服 从正态分布 N(82，2)，且 P(74X82)0.42.已知我市某校有 800 人参加此 次考试，据此估计该校数学成绩不低于 90 分的人数为_ 解析 因为数学成绩 X 近似服从正态分布 N(82，2)，所以数学成绩 X 关于 X82 对称，因为
33、 P(74X82)0.42.所以 P(82X0)和 N(2， 2 2)(20)的密度函数图象 如图所示，则有( ) A12，12 B.12，12 C12，12 D.12，12 答案答案 解析 反映正态分布的平均水平， x 是正态曲线的对称轴， 由图知 12， 反映正态分布的离散程度， 越大，曲线越“矮胖”，表明越分散， 越小，曲线越“高瘦”，表明越集中，由图知 12. 解析解析 2(2019 九江三模)已知某公司生产的一种产品的质量 X(单位：千克) 服从正态分布 N(90,64)现从该产品的生产线上随机抽取 10000 件产品，其 中质量在区间(82,106)内的产品估计有(若 XN(，2)
34、，则 P(X )0.6826，P(2X2)0.9544)( ) A8185 件 B.6826 件 C4772 件 D.2718 件 解析 依题意， 90， 8， P(82X106)0.95440.95440.6826 2 0.8185，质量在区间(82,106)内的产品估计有 100000.81858185 件 答案答案 解析解析 3 课时作业课时作业 PART THREE 1(2019 保定二模)已知随机变量 服从正态分布 N(，2)，若 P(6)0.1，则 P(24)为( ) A0.7 B.0.5 C0.4 D.0.35 A组组 基础关基础关 解析 由 P(6)0.1，可得 4，且 P(2
35、E(X)，故甲比乙生产的产品质量好 答案答案 解析解析 4(2020 浙江嘉兴适应性训练)随机变量 X 的分布列如下表，且 E(X) 2，则 D(2X3)( ) X 0 2 a P 1 6 p 1 3 A2 B.3 C4 D.5 解析 p11 6 1 3 1 2，E(X)0 1 62 1 2a 1 32a3，D(X) (02)21 6(22) 21 2(32) 21 31.D(2X3)2 2D(X)4. 答案答案 解析解析 5(2019 广州二模)从某班 6 名学生(其中男生 4 人，女生 2 人)中任选 3 人参加学校组织的社会实践活动设所选 3 人中女生人数为 ，则数学期望 E()( )
36、A.4 5 B.1 C.7 5 D.2 解析 因为 0,1,2，所以 P(0)C 3 4 C3 6 1 5，P(1) C2 4C 1 2 C3 6 3 5，P( 2)C 1 4C 2 2 C3 6 1 5，因此 E()0 1 51 3 52 1 51. 答案答案 解析解析 6(2019 浙江金丽衢十二校第一次联考)五人进行过关游戏，每人随机 出现左路和右路两种选择若选择同一条路的人数超过 2 人，则他们每人 得 1 分；若选择同一条路的人数小于 3 人，则他们每人得 0 分，记小强游 戏得分为 ，则 E()( ) A. 5 16 B.11 16 C.5 8 D.1 2 答案答案 解析 五人进行
37、过关游戏，每人随机出现左路和右路两种选择若选 择同一条路的人数超过 2 人，则他们每人得 1 分；若选择同一条路的人数 小于 3人， 则他们每人得 0分， P(1)C2 4 1 2 2 1 2 2C3 4 1 2 3 1 2 C4 4 1 2 411 16 ， P(0)111 16 5 16 ，E()1 11 160 5 16 11 16. 解析解析 7 已知抛物线 yax2bxc(a0)的对称轴在 y 轴的左侧， 其中 a， b， c3，2，1,0,1,2,3，在这些抛物线中记随机变量 “|ab|的取 值”，则 的数学期望 E()为( ) A.8 9 B.3 5 C.2 5 D.1 3 答案
38、答案 解析 由于对称轴在 y 轴左侧，故 b 2a0，故 a，b 同号，基本事件有 3372126， 的可能取值有 0,1,2 三种P(0)67 126 1 3，P(1) 87 126 4 9，P(2) 47 126 2 9，故期望值为 0 1 31 4 92 2 9 8 9，故选 A. 解析解析 8 (2019 日照模拟)某市高三理科学生有 15000 名， 在一次调研测试中， 数学成绩 服从正态分布 N(100，2)，已知 P(80120)1 212P(80 x 乙，乙车间工人生产效率更高 (3)由题意，得第一组生产时间少于 75 min 的工人有 6 人，其中生产时 间少于 65 min
39、 的有 2 人，从中抽取 3 人，则 X 可能的取值为 0,1,2，且 P(X 0)C 0 2C 3 4 C3 6 4 20 1 5，P(X1) C1 2C 2 4 C3 6 12 20 3 5，P(X2) C2 2C 1 4 C3 6 4 20 1 5， 解解 则 X 的分布列如下， X 0 1 2 P 1 5 3 5 1 5 故数学期望 E(X)01 51 3 52 1 51. 解解 C组组 素养关素养关 1(2019 马鞍山三模)二项分布与正态分布是概率统计中两大非常 重要的分布在现实生活中，很多随机变量都服从或近似地服从这两 大分布，例如检查产品的不合格品数，射击比赛中射中目标的次数等
40、 近似服从二项分布；长度的测量误差，零件的尺寸，电子管的使用寿 命等服从或近似服从正态分布并且这两大分布的关系非常密切，经 研究表明， 如果一个随机变量 X 服从二项分布 B(n， p)， 当 np5 且 np(1 p)5 时，二项分布就可以用正态分布近似替代即 P(Xx)P(Yx)， 其中随机变量 YN(np，np(1p) (1)如果某射手每次射击击中目标的概率为 0.6， 每次射击的结果相 互独立 计算他在连续三次射击中恰连续两次命中目标的概率； 他在 10 次射击中，击中目标几次的概率最大？并说明理由； (2)如果某射手每次射击击中目标的概率为 0.8， 每次射击的结果相 互独立， 在1
41、00次的射击中， 记击中目标的次数为， 计算P(6892) 参考数据：N(，2)，P()0.6826， P(22)0.9544， P(33)0.9974. 解 (1)依题意，设事件 Ai(i1,2,3，)表示第 i 次击中目标，A i(i 1,2,3，)表示第 i 次没有击中目标，B 表示连续三次射击中恰连续两次 命中目标 所以 P(B)P(A1A2A 3)P(A 1A2A3) 0.60.60.40.40.60.60.288. 在 10 次射击中，击中 6 次的概率最大 10 次射击中击中目标 k 次的概率为 PkCk 100.6 k(10.6)10k， 解解 由 Pk Pk11， Pk Pk
42、11， 得 k6. (2)因为 E(X)1000.8805， D(X) 1000.80.2 165 ， 所 以 近 似 为 N(80,16) ， 所 以 P(6892)P(80348034)0.9974. 解解 2(2019 湖北宜昌模拟)计算 的最为稀奇的方法之一，要数 18 世纪法国的博物学家 C 蒲丰和他的投针试验：在一个平面上，用尺画 一组相距为 a 的平行线，一根长度为 a 的针，扔到画了平行线的平面 上，如果针与线相交，则该次扔出被认为是有利的，否则是不利的 如图 1，记针的中点为 M，设 M 到平行线的最短距离为 y，针与平 行线所成角度为 x，容易发现随机情况下满足 y0，a
43、2， x0， 且针与线 相交时需 ya 2sinx. 记试验次数为 n，其中有利次数为 m， (1)结合图 2，利用几何概率模型计算一次试验结果有利的概率值； (2)求出该试验中 的估计值； (3)若试验进行了 10000 次，以 X 表示有利次数，试求 X 的期望(用 表示)，并求当 的估计值与实际值误差小于 0.01 的概率 附：P(k) i0 k Ci 10000 2 i 12 10000i k 6345 6346 6385 6386 P(k) 0.3332 0.3408 0.6556 0.6632 参考数值： 1 0.010.3193， 1 0.010.3173. 解 (1)由已知条件作出 x，y 所符合的平面区域， 即为符合 ya 2sinx 的区域，而 S 阴影 0 a 2sinxdxa， 所以 P(有利)S 阴影 S矩形 a a 2 2 . (2)因为 P(有利)2 m n ，故 的估计值为2n m . 解解 (3)由题意，得 XB 10000，2 ， 所以 E(X)10000 2 20000 ， 估计值2n m 20000 X ，所以由20000 X 0.01，得 20000 0.01X 20000 0.01， 由参考数值知 6346X6386. 故所求概率为 P(6346X6386)P(6386)P(6346)0.3224. 解解 本课结束本课结束
